通信原理隨機過程講新

通信原理隨機過程講新高斯隨機過程

若隨機過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。

第2頁,共53頁，2024年2月25日，星期天高斯隨機過程

如果各隨機變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有統(tǒng)計獨立第3頁,共53頁，2024年2月25日，星期天余因子對一個矩陣A，在(i,j)的子行列式（余子式）Mij

定義為刪掉A

的第i橫行與第j縱列后得到的行列式。令

Cij:=(?1)i+jMij，

稱為A

在(i,j)的余因子（代數(shù)余子式）。第4頁,共53頁，2024年2月25日，星期天余因子范例第5頁,共53頁，2024年2月25日，星期天由式可以看出,高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。若干個高斯過程之和仍是高斯過程。高斯隨機過程重要性質(zhì)

第6頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

f(x)具有如下特性(1)f(x)對稱于x=a這條直線。

(2)正態(tài)分布的概率密度一維高斯隨機過程

第7頁,共53頁，2024年2月25日，星期天一維高斯隨機過程（3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0，時，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即第8頁,共53頁，2024年2月25日，星期天式中，稱為概率積分函數(shù)，其定義為上式積分不易計算，常引入誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)表示正態(tài)分布一維高斯隨機過程第9頁,共53頁，2024年2月25日，星期天誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)互補誤差函數(shù)誤差函數(shù)第10頁,共53頁，2024年2月25日，星期天引入誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)后，不難求得

誤差函數(shù)、互補誤差函數(shù)和概率積分函數(shù)之間的關(guān)系如下:

誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)第11頁,共53頁，2024年2月25日，星期天這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在τ=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲第12頁,共53頁，2024年2月25日，星期天白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲第13頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。高斯白噪聲功率譜角度概率分布角度第14頁,共53頁，2024年2月25日，星期天隨機過程通過線性系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即若則有第15頁,共53頁，2024年2月25日，星期天若輸入信號有界且線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則或

如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程ξi(t)的每個樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。這樣，就整個過程而言，便有隨機過程通過線性系統(tǒng)第16頁,共53頁，2024年2月25日，星期天思考：平穩(wěn)隨機過程通過線形系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出數(shù)學(xué)期望和輸入數(shù)學(xué)期望之間有什么關(guān)系？第17頁,共53頁，2024年2月25日，星期天假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機過程，則可以分析系統(tǒng)的輸出過程ξo(t)的統(tǒng)計特性。隨機過程通過線性系統(tǒng)1.輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望由此可見,輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無關(guān)。第18頁,共53頁，2024年2月25日，星期天思考：平穩(wěn)隨機過程通過線形系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出自相關(guān)函數(shù)是否與時間起點有關(guān)？第19頁,共53頁，2024年2月25日，星期天可見,ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔τ而與時間起點t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。2.輸出過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)隨機過程通過線性系統(tǒng)第20頁,共53頁，2024年2月25日，星期天思考：平穩(wěn)隨機過程通過線形系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出功率譜密度和輸入功率譜密度之間有什么關(guān)系？第21頁,共53頁，2024年2月25日，星期天3.輸出過程ξo(t)的功率譜密度可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi(ω)與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H(ω)|2的乘積。隨機過程通過線性系統(tǒng)★第22頁,共53頁，2024年2月25日，星期天從原理上看，在已知輸入過程分布的情況總可以確定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。因為從積分原理來看，上式可表示為一個和式的極限，即4.輸出過程ξo(t)的概率分布隨機過程通過線性系統(tǒng)第23頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

由于ξi(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時刻的每項都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機變量，都是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論得知，這個“和”的隨機變量也是高斯隨機變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。隨機過程通過線性系統(tǒng)第24頁,共53頁，2024年2月25日，星期天[例]均值為0，自相關(guān)函數(shù)為的高斯過程，通過（A、B為常數(shù)）的網(wǎng)絡(luò)，試求：（1）輸出過程的一維概率密度函數(shù)；（2）輸入過程的一維概率密度函數(shù)；（3）輸出過程的噪聲功率。第25頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（1）輸入過程均值為0，，所以是寬平穩(wěn)隨機過程，它的總平均功率，即方差，所以可以直接寫出的一維概率密度函數(shù)為（2）因為為高斯過程，所以也是高斯過程。則其中，均值

方差第26頁,共53頁，2024年2月25日，星期天這樣隨機過程的一維概率密度函數(shù)為（3）的噪聲功率

第27頁,共53頁，2024年2月25日，星期天隨機過程通過乘法器

在通信系統(tǒng)中，經(jīng)常進(jìn)行乘法運算，所以乘法器在通信系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛，下面我們計算平穩(wěn)隨機過程通過乘法器后，輸出過程的功率譜密度。

思考：平穩(wěn)隨機過程通過乘法器后，輸出過程是否仍是平穩(wěn)隨機過程呢？第28頁,共53頁，2024年2月25日，星期天圖2-10平穩(wěn)隨機過程通過乘法器第29頁,共53頁，2024年2月25日，星期天設(shè)一平穩(wěn)隨機過程和正弦波信號同時通過乘法器，則其輸出響應(yīng)為

首先計算輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。由自相關(guān)函數(shù)的定義得

第30頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共53頁，2024年2月25日，星期天上式中，是輸入平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，它只與時間間隔有關(guān)。但由上式可知是時間t的函數(shù)，故乘法器的輸出過程不是平穩(wěn)隨機過程。第32頁,共53頁，2024年2月25日，星期天為了求輸出過程的功率譜，上式中第一項可按常規(guī)的傅里葉變換得到功率譜密度，但第二項卻包含有和t兩種時間變量，它的功率譜與t有關(guān)，這種與t有關(guān)的動態(tài)譜分析比較復(fù)雜，這里介紹一種求非平穩(wěn)隨機過程功率譜的近似方法。第33頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

對于非平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度可表示為

式中，是輸出過程自相關(guān)函數(shù)的時間平均值，所以第34頁,共53頁，2024年2月25日，星期天又由于

而的傅里葉變換就是乘法器輸出響應(yīng)的功率譜。即

第35頁,共53頁，2024年2月25日，星期天[例]隨機過程，這里是均值為a、方差為的高斯隨機變量，試求：（1）及的兩個一維概率密度；（2）X(t)是否寬平穩(wěn)；（3）X(t)的功率譜；（4）X(t)的平均功率。第36頁,共53頁，2024年2月25日，星期天解：（1），由題意知，是均值為a、方差為的高斯隨機變量，則第37頁,共53頁，2024年2月25日，星期天同理，則（2）由（1）的結(jié)果表明，X(t)在t=0和t=1時均值不同，所以，其均值與t有關(guān)，不是常數(shù)。下面再求的X(t)自相關(guān)函數(shù)，即第38頁,共53頁，2024年2月25日，星期天可見，X(t)的自相關(guān)函數(shù)是t和的函數(shù)。綜合（1）和（2）的結(jié)果知，X(t)不是寬平穩(wěn)隨機過程。（3）為求X(t)的功率譜，先對由（2）求出的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行時間平均，即第39頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

然后對上結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換，求出X(t)的功率譜為

平均功率為第40頁,共53頁，2024年2月25日，星期天[例]

帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為可見，輸出噪聲的功率譜密度在|ω|≤ωH內(nèi)是均勻的，在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲第41頁,共53頁，2024年2月25日，星期天帶限白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為由此可見，帶限白噪聲只有在τ=k/2fH(k=1,2,3,…)上得到的隨機變量才不相關(guān)。即，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量。帶限白噪聲的平均功率：第42頁,共53頁，2024年2月25日，星期天帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲第43頁,共53頁，2024年2月25日，星期天窄帶隨機過程隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程?？杀硎緸椋旱?4頁,共53頁，2024年2月25日，星期天窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶隨機過程第45頁,共53頁，2024年2月25日，星期天aξ(t)及φξ(t)分別是ξ(t)的隨機包絡(luò)和隨機相位，ξc(t)及ξs(t)分別稱為ξ(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機過程，顯然它們的變化相對于載波cosωct的變化要緩慢得多。ξ(t)的統(tǒng)計特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計特性確定。反之，如果已知ξ(t)的統(tǒng)計特性則可確定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的統(tǒng)計特性。窄帶隨機過程第46頁,共53頁，2024年2月25日，星期天1同相和正交分量的統(tǒng)計特性

設(shè)窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零，方差為?？梢宰C明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與ξ(t)具有相同的方差。

此外，在同一時刻上得到的ξc和ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。窄帶隨機過程第47頁,共53頁，2024年2月25日，星期天2包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性一個均值為零，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)，其包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計獨立的，即有下式成立：窄帶隨機過程瑞利分布第48頁,共53頁，2024年2月25日，星期天正弦波加窄帶高斯噪聲信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲