第一章空間向量與立體幾何單元測(cè)試2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

PAGE第一章空間向量與立體幾何(第一章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知空間四邊形ABCD,G是CD的中點(diǎn),連接AG,則+QUOTE(+)= ()A. B. C. D.QUOTE【解析】選A.在△BCD中,因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn),所以=QUOTE(+),從而+QUOTE(+)=+=.2.已知向量i,j,k是一組單位正交向量,m=8j+3k,n=-i+5j-4k,則m·n=()A.7 B.-20 C.28 D.11【解析】選C.因?yàn)閙=(0,8,3),n=(-1,5,-4),所以m·n=0+40-12=28.3.已知a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,λ),若向量a,b,c共面,則λ=()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】選B.因?yàn)閍=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,λ),三個(gè)向量共面,所以a=xb+yc,所以(2,-1,2)=x(-1,3,-3)+y(13,6,λ),所以QUOTE解得QUOTE4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閗a+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),且ka+b與2a-b互相垂直,所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0?k=QUOTE.5.已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都是2,點(diǎn)E,F分別是AD,DC的中點(diǎn),則·=()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.如圖所示,由題意得=QUOTE,所以·=QUOTE·(-)=-QUOTE×2×2cos60°=-1.6.A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿(mǎn)足·=0,·=0,·=0,M為BC的中點(diǎn),則△AMD ()A.是鈍角三角形 B.是銳角三角形C.是直角三角形 D.不確定【解析】選C.因?yàn)镸為BC的中點(diǎn),所以=QUOTE(+).所以·=QUOTE(+)·=QUOTE·+QUOTE·=0.所以AM⊥AD,△AMD為直角三角形.7.(2020·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))已知在四面體ABCD中,AB=AC=BD=CD=QUOTE,BC=AD=2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)AE,CF所成的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖,因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn),所以=QUOTE(+),=QUOTE(+)=QUOTE(-2),因?yàn)锳B=AC=BD=CD=QUOTE,BC=AD=2,所以AE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,CF=QUOTE=QUOTE=QUOTE,cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE=QUOTE,cos∠BAD=QUOTE=QUOTE,所以·=QUOTE(+)·(-2)=QUOTE(·-2·+·-2)=QUOTE=-1,所以cos<,>==-QUOTE,且0≤<,>≤π,所以<,>=QUOTE,所以異面直線(xiàn)AE,CF所成的夾角為QUOTE.8.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),A1(2,0,4),=(0,2,4),=(-2,0,4),=(0,0,4).設(shè)平面AB1D1的法向量n=(x,y,z),則即QUOTE令x=2,得n=(2,-2,1).所以A1到平面AB1D1的距離d==QUOTE.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直線(xiàn)DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則 ()A.點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4,5,3)B.點(diǎn)C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(5,8,-3)C.點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BD1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0,-5,3)D.點(diǎn)C關(guān)于平面ABB1A1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(8,5,0)【解析】選AD.由圖形及其已知可得:點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4,5,3),故A對(duì);點(diǎn)C1(0,5,3)關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(8,5,-3),故B錯(cuò);點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BD1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為C1(0,5,3),故C錯(cuò);點(diǎn)C(0,5,0)關(guān)于平面ABB1A1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(8,5,0),故D對(duì).10.若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 ()A.cos<a,b>=120° B.a⊥bC.a∥b D.|a|=|b|【解析】選ABC.因?yàn)橄蛄縜=(1,2,0),b=(-2,0,1),所以|a|=QUOTE,|b|=QUOTE,cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.故A,B,C錯(cuò)誤,符合題意,D不符合題意.11.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A(yíng)1D,AC上,且A1E=QUOTEA1D,AF=QUOTEAC,則 ()A.EF⊥A1D B.EF⊥ADC.EF∥BD1 D.EF與BD1異面【解析】選AC.以D為原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3,則A(3,0,0),B(3,3,0),D(0,0,0),D1(0,0,3),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),所以=(1,1,-1),=(-3,-3,3),=(-3,0,-3),=(-3,0,3),因?yàn)椤?-3+0+3=0,所以EF⊥A1D;·=-3+0-3≠0,所以EF與AD1不垂直;=-3,所以EF∥BD1,所以EF⊥A1D,EF∥BD1.12.將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A-BD-C,下列結(jié)論中,正確的是()A.AC⊥BDB.△ACD是等邊三角形C.AB與平面BCD所成的角為QUOTED.AB∥CD【解析】選AB.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為QUOTE,則D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以=(0,-1,1),=(2,0,0),·=0,故AC⊥BD,故A正確.又||=QUOTE,||=QUOTE,||=QUOTE,所以△ACD為等邊三角形,故B正確.對(duì)于C,為平面BCD的法向量,cos<,>==QUOTE=QUOTE=-QUOTE.因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角∈QUOTE,所以AB與平面BCD所成角為QUOTE,故C錯(cuò)誤.又cos<,>==QUOTE=-QUOTE.因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角為銳角或直角,所以AB與CD所成角為QUOTE,故D錯(cuò)誤.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線(xiàn)上)13.已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)為兩平行平面的法向量,則λ=.

【解析】由題意知a∥b,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得λ=2.答案:214.已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.

【解析】|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|·cos60°+(2|b|)2=22+2×2×2×QUOTE+22=4+4+4=12.所以|a+2b|=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE15.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),則直線(xiàn)D1E與A1D所成角的大小是;若D1E⊥EC,則AE=.

【解析】長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),DA所在直線(xiàn)為x軸,DC所在直線(xiàn)為y軸,DD1所在直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,又AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),則D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0),設(shè)E(1,m,0),0≤m≤2,則=(1,m,-1),=(-1,0,-1),所以·=-1+0+1=0,所以直線(xiàn)D1E與A1D所成角的大小是90°.因?yàn)?(1,m,-1),=(-1,2-m,0),D1E⊥EC,所以·=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1,所以AE=1.答案:90°116.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D和F分別為線(xiàn)段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若DG⊥EF,則線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的取值范圍為.

【解析】由題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),EQUOTE,GQUOTE,設(shè)F(x,0,0),D(0,y,0)(0<x<1,0<y<1),由于GD⊥EF,則·=0,所以x+2y-1=0,所以=(x,-y,0)=(-2y+1,-y,0),因?yàn)?<x<1,所以0<y<QUOTE,所以||=QUOTE=QUOTE=QUOTE,當(dāng)y=QUOTE時(shí),線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的最小值是QUOTE,當(dāng)y=0時(shí),線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的最大值是1,而不包括端點(diǎn),故y=0不能取.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c夾角的余弦值.【解析】(1)因?yàn)閍∥b,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得x=2,y=-4,則a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),設(shè)a+c與b+c夾角為θ,因此cosθ=QUOTE=-QUOTE.18.(12分)如圖所示,已知幾何體ABCD-A1B1C1D1是平行六面體.(1)化簡(jiǎn)QUOTE++QUOTE,并在圖上標(biāo)出結(jié)果;(2)設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線(xiàn)BC1上的點(diǎn),且C1N=QUOTEC1B,設(shè)=α+β+γ,試求α,β,γ的值.【解析】(1)取AA1的中點(diǎn)E,在D1C1上取一點(diǎn)F,使得D1F=2FC1,連接EF,則QUOTE++QUOTE=++=.表示如圖所示.(2)=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE(+)+QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以α=QUOTE,β=QUOTE,γ=QUOTE.19.(12分)如圖,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,PA=AD=AB=2,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PAD;(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值.【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系如圖,因?yàn)镻A=AD=AB=2,則P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),M(1,0,0),C(2,2,0),因?yàn)镹是PC的中點(diǎn),所以N(1,1,1),=(0,1,1),又因?yàn)?(2,0,0)是平面PAD的一個(gè)法向量,·=2×0+1×0+1×0=0,所以⊥,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)知=(0,2,-2),=(1,0,-2),=(2,2,-2).設(shè)平面PMC的法向量為n=(x,y,z),則n·=0,n·=0,解得x=2z,y=-z,令z=1,則n=(2,-1,1).設(shè)PD與平面PMC所成角為θ,則sinθ===QUOTE=QUOTE.所以PD與平面PMC所成角的正弦值為QUOTE.20.(12分)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,AA1=5,E,F分別為D1D,B1B上的點(diǎn),且DE=B1F=1.(1)求證:BE⊥平面ACF;(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離.【解析】(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,5),E(0,0,1),F(2,2,4).所以=(-2,2,0),=(0,2,4),=(-2,-2,1),=(-2,0,1).因?yàn)椤?0,·=0,所以BE⊥AC,BE⊥AF,且AC∩AF=A.所以BE⊥平面ACF.(2)由(1)知,為平面ACF的一個(gè)法向量,所以點(diǎn)E到平面ACF的距離d==QUOTE=QUOTE.故點(diǎn)E到平面ACF的距離為QUOTE.21.(12分)如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)證明:AC⊥B1D;(2)求直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【解析】(1)由題意易知,AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=t,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).從而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因?yàn)锳C⊥BD,所以·=-t2+3+0=0.解得t=QUOTE或t=-QUOTE(舍去).于是=(-QUOTE,3,-3),=(QUOTE,1,0).因?yàn)椤?-3+3+0=0,所以⊥,即AC⊥B1D.(2)由(1)知,=(0,3,3),=(QUOTE,1,0),=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,則即QUOTE令x=1,則n=(1,-QUOTE,QUOTE).設(shè)直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角為θ,則sinθ=|cos<n,>|==QUOTE=QUOTE.即直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為QUOTE.22.(12分)如圖所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=QUOTE,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線(xiàn)段AA1上.(1)當(dāng)AE∶EA1=1∶2時(shí),求證:DE⊥BC1;(2)是否存在點(diǎn)E,使平面BDE與平面ABE