2020-2021學年上海市浦東新區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年上海市浦東新區(qū)高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共3小題，共9.0分)

1,若關(guān)于刀的不等式阿+2|-|%-1|>。的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(3,+8)B.(-3,+co)C.(-oo,3)D.(-oo,-3)

2.設(shè)直線au平面a,則平面a平行于平面/?是直線a平行于平面0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)/(久則/[/(}]的是()

A.1B.-C.eD.3

3e

二、多選題(本大題共1小題，共3.0分)

4.已知關(guān)于％的不等式a/+人％+c>o解集為{%|一2<%<3},貝！J()

A.a>0

B.不等式a%+c>。的解集為<6]

C.a+b+c>0

D.不等式c--fox+a<0的解集為{加一：<%V}}

三、單空題(本大題共12小題，共36.0分)

5.學校運動會上，某班所有的同學都參加了籃球或排球比賽.已知該班共有22人參加了排球賽，

共有26人參加了籃球賽，既參加籃球賽又參加排球賽的有4人，則該班的學生數(shù)是.

6.幕函數(shù)/(%)=是偶函數(shù)，在％G(0,+8)為增函數(shù)，則根的值為

(1)-1;(2)2；(3)4；(4)-1或2.

7.不等式+—3Vo的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是.

8.log24+log42=.

9.函數(shù)f(%)=1+log2x(x>2)的反函數(shù)/T(%)=.

10.函數(shù)y=loga(2x-3)+2的圖象恒過定點產(chǎn)，點P在指數(shù)函數(shù)/(%)的圖象上，則/(—1)=.

11.若函數(shù)y=ax-1(a>0且aH1)的圖象恒過定點4若點A在直線TH%+ny=l(m,n>0)上，則

—+工的最小值為.

mn

12.已知函數(shù)"2久+3)的定義域為[0,1),貝仔(久+1)的定義域為.

14.設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)找出一組b和c的值，使得關(guān)于x的方程嚴(乃+人

f(x)+c=0有7個不同的實根.

15.函數(shù)y=2)2+1的圖象向左、向下分別平移2個單位，得到y(tǒng)=/(久)的圖象，則函數(shù)

/(久)=-------

16.下列四個結(jié)論

①函數(shù)y=Jy_1+J1-/是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)；

②設(shè)函數(shù)y=/(1)定義域為R,則函數(shù)y=/(-X)與y=/口)的圖象關(guān)于y軸對稱；

③若方程13-x2\-a=0有兩個根，則1〉3.

④函數(shù)/卜)=4'+2”+。有零點，則a40

其中正確的有__________________

四、解答題(本大題共5小題，共52.0分)

17.(本題滿分1o分)已知:螺喘獷=嚏普堿舒#:喊$.--鬻書嗨毓一般書…用:喊笈:一期七(其中制e)

(1)求魏:及胤匚宏線；

F1

(2)試比較.鼠與獺-纏瞥#覲了的大小，并說明理由.

18.設(shè)集合力={x|l-a<x<1+a),集合B={x\x<一1或久>5),分別就下列條件求實數(shù)a的取

值范圍：

(1)XAB=0；

(2)/UB=B.

19.研究函數(shù)y=lgm的定義域和奇偶性.(寫出必要的過程和文字說明)

20.銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是為、%萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系分別為為=

myjx+1+a,y2=bx,(其中a,b都為常數(shù))，函數(shù)為，乃對應(yīng)的曲線的、C?如圖所示.

(1)求函數(shù)為、內(nèi)的解析式;

(2)若該商場一共投資4萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值.

21.已知函數(shù)f(x)=+q(a>0).

(I)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(H)已知對任意的x>0,a久(2-bix)W1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(HI)是否存在實數(shù)a使得函數(shù)/(?在［l,e］上最小值為0?若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理

由.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解:|x+2|-|尤-1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到-2和1對應(yīng)點的距離之差，其最大值為3,故當

a>3時，關(guān)于x的不等式|久+2|--1|>a的解集不是空集，故實數(shù)a的取值范圍為(一8,3),

故選：C.

由于|尤+2|-|x-1|表示數(shù)軸上的久對應(yīng)點到-2和1對應(yīng)點的距離之差，其最大值為3,再根據(jù)關(guān)于x

的不等式|久+2|-|x-l|>a的解集不是空集，求出實數(shù)a的取值范圍.

本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，屬于中檔題.

2.答案：A

解析：解：若平面a〃平面0,au平面a,貝i]a〃a；

當直線a平行于平面0時，平面a與平面￡可能相交，

故選A.

根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及判定判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查線面、面面的性質(zhì)以及判定，是一道基礎(chǔ)題.

3.答案：D

解析：

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出/?)=-伍3,進而可得3),計算可得答案.

本題考查函數(shù)值的計算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)=[廠'”?

則/?)=In]=—伍3,

則用(》]=/(—伍3)=產(chǎn)=3；

故選：D.

4.答案:BCD

解析：

-2+3=

由已知可得一2,3是方程。％2+.+。=0的兩根，則由韋達定理可得：且

-2x3=-

a

解得c=-6a,b=-a,然后對應(yīng)各個選項逐個判斷即可.

本題考查了一元二次不等式的解法以及應(yīng)用，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

解：由已知可得一2,3是方程a/+族=o的兩根，

—2+3=--

則由韋達定理可得：c%且a<0,解得c=-6a,b=-a,所以A錯誤，

-2x3=-

a

選項a%+c>0化簡為久一6V0,解得％<6,區(qū)正確，

選項C：a+b+c=a—a—6a=—6a>0,C正確，

選項。：c久2—b久+a<0化簡為：6x2—x—1<0,解得—,〈無<5,。正確，

故選：BCD.

5.答案：44

解析：解：由條件知，每名同學至少參加兩個比賽中的一個,

故不可能出現(xiàn)一名同學不參加籃球或排球比賽，

設(shè)參加籃球或排球比賽的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為4,B,

則card(力nB)=4,card(A)=26,card(B)=22,

由公式card(4UB)=card(X)+card(B)—card^AnB)

知card(4UB)=22+26-4=44

則該班的學生數(shù)是44人.

故答案為：44.

此類問題只進行空洞的分析，很難找到解決問題的切入點，但若能直觀地將個部分人數(shù)用韋恩圖展

示出來，則問題將迎刃而解.

集合中圖形語言具有直觀形象的特點，將集合問題圖形化，利用Ue/m圖的直觀性，可以深刻理解集

合有關(guān)概念、運算公式，而且有助于顯示集合間的關(guān)系.

6.答案:(2)(3)

解析：解：：幕函數(shù)fO)=#1是偶函數(shù)，在久e(0,+8)為增函數(shù)，

zn是正偶數(shù)，

???6的值可能是2或4.

故答案為：(2)(3).

由幕函數(shù)f(x)=x"1是偶函數(shù)，在xe(0,+8)為增函數(shù)，知m是正偶數(shù).

本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意塞函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.

7.答案：—12<aW0

解析：解：(1)當a=0時，得到-3<0,顯然不等式的解集為R；

(2)當a>0時，二次函數(shù)丫=a/+ax—3開口向上，函數(shù)值y不恒小于0,故解集為R不可能.

(3)當a<0時，二次函數(shù)丫=a/+磔―3開口向下，由不等式的解集為R,得到二次函數(shù)與x軸沒有

交點，即△=a2+i2a<0,即a(a+12)<0,解得一12<a<0；

綜上，a的取值范圍為一12<a<0

故答案為：-12<aW0

分三種情況討論：(1)當a等于0時，原不等式變?yōu)?3<0,顯然成立；

(2)當a>0時，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知解集為R不可能；

(3)當a<0時，二次函數(shù)開口向下，且與x軸沒有交點即△小于。時，由此可得結(jié)論.

本題考查解不等式，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：|

解析：

本題考查了對數(shù)運算，根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)即可求得，屬于基礎(chǔ)題.

2

解：log?4+log42=log22+log2.2=2+-

故答案為|.

9.答案：9T(%)=2x-1(x>2)

解析：M："x>2,y=1+log2x>2,由y=l+log2X,解得久=2?T,

故f-iQ)=2>1(久>2).

故答案為：/T(X)=2XT(*22).

由x22,可得y=1+log2%22,由y=l+log2X,解得X=2，T,把x與y互換即可得出反函數(shù).

本題考查了反函數(shù)的求法、指數(shù)與對數(shù)的互化，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案："

2

解析：解：由題意，令2%-3=1,則y=2,

即點P(2,2),

由P在指數(shù)函數(shù)八》)的圖象上可得，

2—a2,

則a=V2,

則/(%)=

則“-1)=爭

故答案為：返.

2

由題意求出點P的坐標，代入/(久)求函數(shù)解析式，再將-1代入即可.

本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：3+2企

解析：

本題考查利用基本不等式求最值、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用了“乘1法”，考查學生的邏輯推理能力和

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題可知，4(1,1),將其代入+=1得m+n=1,再利用“乘1法”即可求得；的最小值.

解：由題可知，4(1,1),

,點4在直線m久+ny=1上，

m+n=1,

；/+工=(2+工)(爪+2=3+生+竺23+2院=3+2迎，

mnmnmnymn

當且僅當生="，即爪=&n時，等號成立，

mn

—+工的最小值為3+2A/2.

mn

故答案為：3+2V2.

12.答案：[2,4]

解析：<<,0<%<1,

.，?3<2%+3<5,

???3<%+1<5,

?，?2<%<4,

故答案為：[2,4].

求出f(%)的定義域，從而求出f(%+1)的定義域即可.

本題考查了函數(shù)的定義域的求法，求復合函數(shù)的定義域時，注意自變量的范圍的變化，本題屬于基

礎(chǔ)題.

13.答案：>

解析：解：因為a>b>c,所以a-b>0,h-c>0,a-c>0,

所以白+—3

a-bb-ca-c

(a-b+b—c)(a—c)—3(a—b)(b—c)

(a—b)(b—c)(a—c)

[(a—b)+(b—c)]2—3(a—b)(b—c)

(a—b)(b—c)(a—c)

_[(a_匕)_(b_c)]2+(a_b)(b_c)〉0

(a-Zj)(Z)-c)(a-c)'

所以七+：＞二.

a-bb-ca-c

故答案為：＞.

利用作差法，進行變形，寫成乘積或平方的形式即可判斷大小.

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，考查作差法的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.答案：b=-l，c=l

解析：解:/(?的圖象如圖所示：

6=—|,c=1滿足條件，理由如下：

設(shè)/(久)=3t2+bt+c=0,

由圖象可得以上有關(guān)于t的方程必須有一解為1,

另一解a在區(qū)間(0,1)中，

才會使得關(guān)于久的方程嚴(%)+b-/(%)+c=0有7個解.

其中，/(%)=1有3個解，

/(x)=ae(0,1)有四個解.

所以可令匕=1,力2=%

即可得方程/-|刀+；0,

則b=-|,c=

故答案為：b=-|,c=[.

根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，結(jié)合絕對值函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，我們易畫出函數(shù)的圖

象；

本題是一個開放題，沒有固定的答案，使得關(guān)于x的方程產(chǎn)(乃+64(%)+。=0有7個不同的實根,

則/(x)=l有3個解，/(x)=a6(0,1)有四個解，只要列出6和c的值，能夠滿足條件即可.

本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷及函數(shù)的圖象，其中根據(jù)絕對值函數(shù)的性質(zhì)及二次

函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象并結(jié)合函數(shù)圖象即可得到答案.

15.答案：y-x2-1

解析：解:函數(shù)y=（%-2/+1的圖象向左平移2個單位，得到y(tǒng)=[（%+2）-2]2+1=x2+1的圖

象；

再向下分別平移2個單位，得到y(tǒng)=%2+1-2=%2-1的圖象；

故答案為：y-x2-1.

根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)圖象的平移變換法則，可得平移后的函數(shù)解析式.

本題考查的知識點是函數(shù)圖象的平移變換，熟練掌握函數(shù)圖象平移變換中“左加右減，上加下減”

的原則，是解答的關(guān)鍵.

16.答案：②④

解析：①函數(shù)裁正刁書版二點是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，故①錯誤；

②由函數(shù)圖象的對稱性可知y=/（-x）與函數(shù)y=/（久）關(guān)于y軸對稱，故②正確；

③當a=0時，方程有兩個根，故③錯誤；

④由-a=4*+2*>0,所以a<0,故④正確.

17.答案：（1）嚏：=皆，.黑=贊一贊（2）當糜=工時，警”:翻T蟒Y飄出；

當?shù)?墨方時，TY：獺一讖皆小奢島當踴更q速管宵’時，T海翻7灣K窩也—7分

解析：試題分析：（1）賦值法求二項展開式的項的系數(shù)：令窸=：1，則唾：=*',令富=鬟,

則邕鰭=赍，??楓.=瞥-皆；（2）要比較獨與獨-繳警”富廠的大小，即比較：督與

:獺一隴皆帶警疹的

大小，這需先歸納：當制=1時，警，，，翻一事瞥'小暑當髓=鬣筆時，瞥/:翩:一丁圖Y翻

當制=時，贊演翻7謂“掌島再猜想當黜反4時，警，，，繇-小瞥書窩漢最后用數(shù)學歸納法

證明，關(guān)鍵將制=施?時的式子與腌=可禽至期情形建立關(guān)系：

鏟“凈曾隱7理#然打=冊磨網(wǎng)#翼袁#妙出除.-鬻皆#魏曾-?.-物

試題解析：解：（I）令:￡,=1，則喙=皆，令害=辦

則邕維=的，?,?/=贊-皆；

,；（!.；?：

（口）要比較.黑與翻-③潸'#警研的大小，即比較：督與翩L：?瞥普富^的大小，一1分

當!?=：1時，費演鰥-十瞥小窩'當畿=重』時,警心翻一須瞥帶膏/;

當糜=<5時，Ta翻-**M；

猜想：當踴受回時，警，?，翻-布:瞥書室汽下面用數(shù)學歸納法證明：

由上述過程可知，源:=可時結(jié)論成立，

假設(shè)當糜=期封哪時結(jié)論成立，即贊?海膏普黔汽

兩邊同乘以3得：獷U；嵋繇7潦邛瑞打=幡帆”#翼金書曾出除.-鬻管）赧合-索-匐I

而僻:一禽曾出4^_可取一翦=:麟:一鞭劈書崛審_蔽一繳#?=■一駕密#耍黛一續(xù):徽帶。帶

.??尹蒯徐*1-耶"#翼氯#曾

即;?=施普工時結(jié)論也成立，

,當於芭可時，T;演，翩-布督玨射丁成立.

綜上得,當制=工時，T凈鰥一丁耀：“籍??；

當?=2獸時，Ty：獺一讖皆小奢島當踴更生通住讖時，T冷翩7灣K窩也一7分

考點：數(shù)學歸納法

18.答案：解：（1）TZ={%|1—a<x<1+a],集合B={x\x<—1或%>5）,且AnB=0,

1—a41+a

.?,4=0或4的解集為一1WxW5,即1-a>1+a或{1-aN—1,

、1+aW5

解得：a<0或0<a<2,

則當4nB=0時，a的取值范圍為aW2；

(2))AVJB=B,AQB,

依題意得：1一口>5或1+(1<-1,

解得：a<—4或a<—2,

則當AUB=B時，a的取值范圍為a<—2.

解析：(1)由集合4和B,且4與B的交集為空集，得到4為空集或4的解集為-1WXW5,列出關(guān)于a的

不等式及不等式組，求出不等式及不等式組的解集，即可得到=0時，a的取值范圍；

(2)由4與B的并集為B,得到力為B的子集，根據(jù)集合4和B中不等式的解集，列出關(guān)于a的不等式，求

出不等式的解集，即可得到滿足題意a的范圍.

此題考查了交集、并集的運算，以及集合間的包含關(guān)系，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

19.答案：解：(1)依題意有：黑>0，

解得：一1<%<1

所以，函數(shù)y=1g霍的定義域為(—1,1),

(2)設(shè)xe(-l,l),則-xe(-l,l),

有：f(r)=恒三一=a(筌)t=一但蕓=一/。)，

故函數(shù)為奇函數(shù).

解析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)成立的條件以及函數(shù)的奇偶性的定義是解決本題的

關(guān)鍵.

20.答案：解：(1)由題意［切.〃=殳解得租=三,。=一三，yi=-Vx+1-(x>0)

(//c?Cv5nnnn

又由題意8b=，得b=I，y2=［久(久N0)

(2)設(shè)銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入(4-%)萬元

由(1)得y=IVx+1-1+|(4-x),(0<x<4)

令V7TT=t,(i<twV5),則有y=—/2+學+：=一如-2)2+i,(i<t<V5),

當t=2即久=3時，y取最大值1.

答：該商場所獲利潤的最大值為1萬元.

解析：(1)根據(jù)所給的圖象知，兩曲線的交點坐標為(8,己,由此列出關(guān)于a的方程組，解出小，a的

O

值，即可得到函數(shù)為、力的解析式;

(2)對甲種商品投資x(萬元)，對乙種商品投資(4-乃(萬元)，根據(jù)公式可得甲、乙兩種商品的總利

潤y(萬元)關(guān)于久的函數(shù)表達式；再利用配方法確定函數(shù)的對稱軸，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求得總

利潤y的最大值.

本題考查了函數(shù)模型的構(gòu)建以及換元法、配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)用數(shù)學知識解決實際問題，屬

于基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(1)函數(shù)的定義域為(0,+8)

求導函數(shù)可得(⑶=12=妥1

-1-1

由/''(X)>0,可得x〉u由/'(>:)<0,可得0<x<￡

.,涵數(shù)/⑶的單調(diào)增區(qū)間為弓,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,》

當x=:時，函數(shù)取得極小值為/(》=-alna+a；

(n)已知對任意的%>o,。%(2—仇%)<1恒成立，則

①2-時，aW裝工商恒成立

]

令刎=許春

Inx—1

■"9⑺=以2f)]2

當Inx<1時，“(%)<0,當1<Inx<2時