江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

景德鎮(zhèn)市20232024學(xué)年上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)卷高二數(shù)學(xué)命題人：程朝鵬（昌江一中）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.空間四邊形中，化簡(jiǎn)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加減運(yùn)算求解.【詳解】.故選：B2.動(dòng)圓經(jīng)過定點(diǎn)，且與軸相切，則圓心的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于動(dòng)圓經(jīng)過定點(diǎn)，且與軸相切，所以到定點(diǎn)的距離，等于到軸的距離，（等于圓的半徑）根據(jù)拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線.故選：D3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：A4.共軛雙曲線與，有（）A.相同離心率 B.公共焦點(diǎn)C.公共頂點(diǎn) D.公共漸近線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率、交點(diǎn)、頂點(diǎn)、漸近線等知識(shí)確定正確答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.雙曲線對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)離心率為，漸近線方程為.雙曲線對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)離心率為，漸近線方程為，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D5.直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）A. B. C.2 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直列方程，從而求得.【詳解】由于，所以，所以，所以.故選：B6.已知方程表示的曲線為，則下列命題正確的個(gè)數(shù)有（）①若曲線為橢圓，則且焦距為常數(shù)②曲線不可能是焦點(diǎn)在軸的雙曲線③若，則曲線上存在點(diǎn)，使，其中為曲線的焦點(diǎn)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的方程的特征逐一求出參數(shù)范圍看判斷①②；對(duì)于③，滿足條件的點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，聯(lián)立方程求解即可判斷.【詳解】曲線是橢圓等價(jià)于，解得，且，，則焦距為常數(shù)，故①正確；若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，為焦點(diǎn)在軸的雙曲線，，故②正確.若，則曲線為，則，若曲線上存在點(diǎn)，使，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，由，解得或，所以有4個(gè)符合條件的點(diǎn)，故③正確,所以正確的命題有3個(gè).故選：D7.已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線距公式求得正確答案.【詳解】，所以點(diǎn)到直線的距離為：.故選：C8.南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為，往杯盞里面放入一個(gè)半徑為的小球，要使小球能觸及杯盞的底部（頂點(diǎn)），則最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)小球大圓圓周方程，聯(lián)立方程組求出，或，分析，可得最大值.【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，故該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)小球大圓圓周方程，聯(lián)立方程組，解得或，要使小球能觸及杯盞的底部（頂點(diǎn)），則小球與杯子有且只有一個(gè)交點(diǎn)，就是拋物線的頂點(diǎn)，所以或無效，考慮到拋物線不可能在軸下方，所以不成立，即，所以，解得，所以最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解小球能觸及杯盞的底部所滿足的條件，從而得解.二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知向量，則（）A. B.C. D.向量的夾角為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，A選項(xiàng)正確.，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，C選項(xiàng)正確.，所以向量的夾角為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上不同的兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C.若，則線段的中點(diǎn)到軸距離為4D.以線段為直徑的圓與軸相切【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義以及方程對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】拋物線，對(duì)應(yīng)，拋物線開口向上，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，根據(jù)拋物線的定義可知，由得，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，根據(jù)拋物線的定義可知，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，則，根據(jù)拋物線的定義可知，所以，所以：以線段為直徑的圓與軸相切，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知正方體，點(diǎn)是四邊形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，為四邊形的中心，則下列說法正確的是（）A.不存在點(diǎn)，使平面B.三棱錐的體積為定值C.直線與直線的夾角為定角D.平面截正方體所得的截面是有一組對(duì)邊平行的四邊形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面平行、錐體體積、線線角、正方體的截面等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，連接，則是的中點(diǎn)，連接交內(nèi)切圓于，由于平面，平面，所以平面，也即平面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于三角形的面積為定值，到平面的距離是定值，也即到平面的距離為定值，所以為定值，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，設(shè)正方形的中心為，則平面，由于平面，所以，所以在以為軸，為母線的圓錐的底面圓的圓上，所以與所成角為定值，也即直線與直線的夾角為定角，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于平面平面，平面平面，設(shè)平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD12.若直線被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，則下列曲線中，與直線一定有公共點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式求出原點(diǎn)到直線的距離范圍，確定直線必過的區(qū)域，再逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，令點(diǎn)到直線的距離為，由，得，平面內(nèi)到原點(diǎn)距離不大于的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及內(nèi)部區(qū)域，因此直線必過區(qū)域，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓方程為，對(duì)于A，圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然，因此圓內(nèi)含于圓，則圓與直線一定有公共點(diǎn)，A是；對(duì)于B，點(diǎn)在拋物線內(nèi)，由消去得，顯然方程無解，即圓與拋物線無公共點(diǎn)，因此圓在拋物線內(nèi)，拋物線與直線一定有公共點(diǎn)，B是；對(duì)于C，圓上的點(diǎn)在橢圓外，直線與橢圓無公共點(diǎn)，而直線過區(qū)域，C不是；對(duì)于D，圓上只有兩點(diǎn)在雙曲線上，其余點(diǎn)都在雙曲線外，直線與雙曲線無公共點(diǎn)，而直線過區(qū)域，D不是.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求出直線必過區(qū)域，再判斷區(qū)域的邊界曲線與各選項(xiàng)中曲線的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案.詳解】依題意，.故答案為：14.焦點(diǎn)為的橢圓上有一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)落在軸上，則______．【答案】【解析】【分析】通過求的坐標(biāo)來求得.【詳解】橢圓的，由于線段的中點(diǎn)落在軸上，而是線段的中點(diǎn)，所以，所以，由解得，不妨設(shè)，則.故答案為：15.在正三棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則直線與平面夾角的正弦值為______．【答案】##【解析】【分析】記分別為直線的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，只需證平面，即可得是與平面所成的角，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】記分別為直線的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，所以在正三棱柱中，，平面平面，平面平面，面，所以平面；又是的中點(diǎn)，所以，所以平面，故即是與平面所成的角；設(shè)，則，，所以.故答案為：.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的右支交與點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】求得點(diǎn)坐標(biāo)并代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.【詳解】直線的斜率為，傾斜角為，所以，由于，所以三角形是等邊三角形，所以，將代入，得，整理得，兩邊除以得，得，解得或（舍去）.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用直接法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得和，從而求得雙曲線的離心率.也可以利用構(gòu)造齊次式的方法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得或的等量關(guān)系式，由此來求得離心率.四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.在直三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得.（2）利用向量法來證得.【小問1詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，.【小問2詳解】因?yàn)?，?18.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）或2．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線方程.（2）將直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得的值.【小問1詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，而離心率，且，，方程為.【小問2詳解】聯(lián)立，得,即，當(dāng)時(shí)，顯然有一個(gè)解，此時(shí)，負(fù)根舍去；當(dāng)時(shí)，，，負(fù)根舍去，綜上，或2．19.在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，，，點(diǎn)在上，且．（1）求異面直線與夾角的余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與夾角的余弦值.（2）利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離．【小問1詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，即異面直線與夾角的余弦值為.【小問2詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，，由，得，于是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)到平面的距離．20.若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓方程.（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【小問1詳解】由已知，得，設(shè)方程為，則，得，橢圓方程.【小問2詳解】因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以可得直線，也即，設(shè)，聯(lián)立，得，即，，．又因?yàn)榈街本€的距離為，.21.某校一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．（1）若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；（2）若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形的方法來證得平面.（2）根據(jù)二面角的知識(shí)求得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值．【小問1詳解】取線段中點(diǎn)，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且，在圖2中，且，且，四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，平面．【小問2詳解】由已知，四邊形是矩形，折疊前后都有，由于平面，所以平面，由于，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，，則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，得，于是平面的一個(gè)法向量，，平面與平面夾角的余弦值為．22.若橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為．（1）求的值；（2）傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，是否存在直線滿足？如果存在求出直線方程，如果不存在說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）求得拋物線的準(zhǔn)線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，