高二數(shù)學(xué)期望

8.2.6離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望高二數(shù)學(xué)組2021/10/1011、什么叫n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？一.復(fù)習(xí)一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)互相獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(A)＝p＞0。稱這樣的試驗(yàn)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱伯努利試驗(yàn)。2、什么叫二項(xiàng)分布？X0

1

…k

…n

PCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0若X～B(n，p)2021/10/102一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為

x1，x2，……，xi，…，

X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱下表為隨機(jī)變量X的概率分布，

由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．3、隨機(jī)變量的概率分布Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…2021/10/103引例p69全年級(jí)有n=300個(gè)學(xué)生，其中有ni

同學(xué)的身高是xicm身高xi156157158...184185人數(shù)nin1n2n3…n29n30比例ni/nn1/nn2/nn3

/n…n29

/nn30

/nP(xi)=ni/nn1/nn2/nn3

/n…n29

/nn30

/n全年級(jí)同學(xué)身高總和為多少，平均身高u為多少？二、引例從班中任選一位同學(xué)，用X代表身高，則｛X=156｝的概率分布有多少？2021/10/1042021/10/105數(shù)學(xué)期望的定義若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱：EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。三、新課講解2021/10/106小練習(xí)在籃球比賽中，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中得1分的概率為0.7，那么他罰球一次得分設(shè)為X，X的均值是多少？解：該隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布:P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7X01p0.30.72021/10/107四、應(yīng)用例題2021/10/108例2.在只需回答“是”“不是”的知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，每個(gè)選手回答兩個(gè)不同的問題，都回答失敗，輸1分，否則贏0.3分，用X表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)“是”“不是”，計(jì)算X的概率的分布和數(shù)學(xué)期望。解：｛X=-1｝的充分必要條件是兩次猜錯(cuò)，所以

p(X=-1)=1/4=0.25

｛X=0.3｝是｛X=-1｝的對(duì)立事件，所以

p(X=0.3)=3/4=0.75X只取-1和0.3，于是

E(X)=-1×p(X=-1)+(0.3)×p(X=0.3)=-1×0.25+0.3×0.75=-0.0252021/10/1092、如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么

EX=p3、若X～B(n，p)，則EX=np4、超幾何分布五、性質(zhì)1、若Y=aX+b,a,b常數(shù)，則E(aX+b)=aE(X)+b2021/10/1010小練習(xí):某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量x表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則x的數(shù)學(xué)期望是

（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）2021/10/1011變式一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的期望。E(X)==22021/10/1012例3.甲乙比賽時(shí)，甲每局贏的概率是P=0.51，乙每局贏的概率是q=0.49，甲乙一共進(jìn)行了10次比賽，當(dāng)各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，計(jì)算甲平均贏多少局，乙平均贏多少局。解:用X表示10局中甲贏的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B（10，0.51）.E（X）=10×0.51=5.1所以甲平均贏5.1局用Y表示10局中乙贏的次數(shù)，則Y服從二項(xiàng)分布B（10，0.49）.E（Y）=10×0.49=4.9所以乙平均贏4.9局2021/10/1013例4，袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，從中無放回地任取5個(gè)，取到幾個(gè)紅球就得幾分，問平均得幾分。解：用X表示得分?jǐn)?shù)，則X也是取到的紅球數(shù)，X服從超幾何分布H（10，3，5），于是EX=n×M/N=5×3/10=1.5所以平均得到了1.5分。

2021/10/1014互動(dòng)練習(xí)（第一層）1、隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)則Eξ=.

2、隨機(jī)變量ξ的分布列是Eξ=7.5,則a=

b=

.ξ4a910P0.30.1b0.22.40.47(2)若η=2ξ+1，則Eη=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,則a=

b=

.0.40.12021/10/10151、籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分ξ的期望為

．互動(dòng)練習(xí)（第二層）0.7變式：若該運(yùn)動(dòng)員在某次比賽中罰球n次，求他罰球的得分X的均值？2021/10/1016數(shù)學(xué)期望小結(jié)EX表示X所表示的隨機(jī)變量的均值；

E