(完整版)5-3.4相似矩陣

相似矩陣的定義相似矩陣的性質(zhì)利用相似變換將方陣對角化第三節(jié)

相似矩陣稱為對A進行相似變換

設(shè)A,B都是n階方陣,若有可逆矩陣P,使則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似其中可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。對A進行運算一、相似矩陣的概念定義（1）自反性A~A（其中k是正整數(shù)）（5）若A~B，（2）對稱性若A~B，則B~A（3）傳遞性若A~B，B~C，則A~C相似是關(guān)于A的多項式二、相似矩陣的性質(zhì)k個特別地，若有可逆矩陣P,使為對角矩陣，即則，而對于矩陣有利用上述結(jié)論可以很方便計算矩陣A的多項式(6)若n階矩陣A~B,則有秩A=秩B;而可逆矩陣是若干個初等矩陣的乘積,(1)式左端就相當(dāng)于對A施行一系列的初等行變換和列變換,因而秩不變.(8)若A~B,則A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,則相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。證這表明A與B有相同特征值設(shè)A與B相似，推論定理6問題：即如何將方陣A對角化例1三、矩陣的相似對角化的條件P的列向量是與A相似的對角陣中相應(yīng)對角元素的特征向量線性相關(guān)性？A與對角陣相似

A有n個線性無關(guān)的特征向量反之？關(guān)鍵是

P可逆嗎？

A能否與對角陣

相似取決于

A能否有

n

個線性無關(guān)的特征向量且相似變換陣P定理7n階矩陣A與對角陣相似的充要條件

為A有n個線性無關(guān)的特征向量.為P的列向量推論(P.155)

若A有n個互異的特征值，則A與對角陣相似。反之不真

若A

有重特征值,不能馬上斷言A是否與對角陣相似,只要k重特征值正好對應(yīng)k個線性無關(guān)的特征向量即可這時要看重根對應(yīng)的特征向量.例1

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解四、對角化的方法解之得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故不能相似為對角矩陣.

對應(yīng)的特征向量分別為例2設(shè)2階矩陣A

的特征值為1,?5,與特征值求A.解

例3已知與相似,

求x,y.解因為相似矩陣有相同的特征值,而故x=0,y=1.特征值2,y,-1.根據(jù)特征值的性質(zhì),有故A、B有相同的例4若可相似對角化，求解一、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1

實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).證§5.4實對稱矩陣的相似矩陣兩式相減：實對稱矩陣的相異特征值所屬的特征向量必正交。證性質(zhì)2

一般地,能保證矩陣相異特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)但不能保證它們是正交的實對稱矩陣A一定與對角矩陣相似?

定理8

特征值λ

的重數(shù)k≥

λ對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)n–R(λE-A)個

n階實對稱矩陣A的k重特征值λ

所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量恰有k個。R(λE-A)=n－k例

定理9

實對稱陣A一定與對角陣正交相似.證將它們正交規(guī)范化后所構(gòu)成的矩陣記為P，二、實對稱矩陣的相似對角化用正交陣將實對稱矩陣A化為對角陣的步驟：解例1例2利用正交矩陣將對稱矩陣對角化。解：A的特征多項式為故A的特征值為定義設(shè)n階方陣A,B,如果存在可逆矩陣P，使得

則稱A與B合同（或相合）

合同也是矩陣之間的一種關(guān)系，它滿足反身性，對稱性和傳遞性由Th9及正交矩陣的性質(zhì)知，實對稱矩陣必與對角矩陣合同.可以證明，對角矩陣必與形如的對角矩陣合同.推論

任一實對稱矩陣必與對角矩陣合同(其中1與-1的個數(shù)分別是A的特征值個數(shù)與負特征值的個數(shù))§5二次型及其標(biāo)準形旋轉(zhuǎn)變換二次齊次多項式二次曲線可逆線性變換對于n元的二次齊次多項式，能否存在一個線性變換將其變?yōu)橹缓椒巾椀亩锡R次多項式正交變換一、二次型及其標(biāo)準形的概念稱為二次型.只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準形．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準形.1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法2．用矩陣表示三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．解例１設(shè)四、化二次型為標(biāo)準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準形．證明即為對稱矩陣.說明用正交變換化二次型為標(biāo)準形的具體步驟例2求一個正交變換

x=

Py，把二次型化為標(biāo)準形.利用正交矩陣將對稱矩陣對角化.于是問題轉(zhuǎn)化為：解：A的特征多項式為故A的特征值為相應(yīng)于無關(guān)的特征向量只有一個，可取為的特征向量滿足相應(yīng)于無關(guān)的特征向量只有一個，可取為的特征向量滿足相應(yīng)于無關(guān)的特征向量只有一個，可取為的特征向量滿足正交矩陣為所做正交變換為標(biāo)準形為：解例3用正交變換化實二次型為標(biāo)準形，其特點是保持幾何形狀不變．

問題有沒有其它方法，也可以把實二次型化為標(biāo)準形？問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．

1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.例2

所做可逆變換為含有平方項含有的項配方而我們曾用正交變換化標(biāo)準形為：比較解例4由于所給二次型中無平方項，所以再配方，得所用變換矩陣為二次型的標(biāo)準形不唯一，但它們具有共性：注：(1)所含平方項個數(shù)相同，都等于矩陣A的秩；(2)平方項的系數(shù)正負項數(shù)相同。定義：稱標(biāo)準形中正系數(shù)個數(shù)為正慣性指數(shù)；

負系數(shù)個數(shù)為負慣性指數(shù)；正慣性指數(shù)減去負慣性指數(shù)為符號差.例的正慣性指數(shù)為2，負慣性指數(shù)為1，符號差為1.慣性定理第六節(jié)正定二次型正定矩陣；正定二次型定義矩陣的正定與負定是怎樣定義的？一、實二次型的分類負定矩陣；負定二次型，如何證明A是正定陣？A正定

xTAx>0判別法I：

用定義例1證判別法II：用標(biāo)準型二、二次型正定的判別方法正慣性指數(shù)=n證“”：“”：反證證推論1例2判別法III：

用特征值推論2

實對稱矩陣A正定的充要條件是存在可逆矩

陣P,使(負定)例4判別法IV：

用順序主子式定