函數(shù)和方程、數(shù)形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)思想—函數(shù)和方程、數(shù)形結(jié)合知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想考點(diǎn)：幾種常見題型：構(gòu)造函數(shù)，不等式，最值問題，位置關(guān)系能力：變量間關(guān)系的理解和分析；數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合方法：啟發(fā)式教學(xué)重難點(diǎn)：變量間關(guān)系的理解和分析第一講函數(shù)與方程思想1．函數(shù)的思想函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等。2．方程的思想方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的教學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題，方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。3．函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來龍去脈解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函數(shù)y=f(x)的正負(fù)區(qū)間，再如方程f(x)=g(x)的交點(diǎn)問題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)-g(x)與x軸交點(diǎn)問題，方程f(x)=a有解，當(dāng)且公當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要。4．函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問題（1）函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；②在問題研究中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)；把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。（2）方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：①解方程或解不等式；②帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)應(yīng)用；③需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系；④構(gòu)造方程或不等式求解問題。5.導(dǎo)數(shù)函數(shù)在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：1、曲線在處的切線的斜率等于，且切線方程為。2、若可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值，則。反之，不成立。3、對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。4、函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（不恒為0）.5、函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。在區(qū)間I上無極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立7、若，恒成立，則;若，恒成立，則8、若，使得，則；若，使得，則.9、設(shè)與的定義域的交集為D，若D恒成立，則有.10、若對(duì)、，恒成立，則.若對(duì)，，使得,則.若對(duì)，，使得，則.11、已知在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對(duì),，使得=成立，則。若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.題型一（運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決字母或式子的求值或取值范圍問題）例1、若a、b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍。變式：已知，分別為的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.BCD題型二（運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決方程問題）例2、已知函數(shù)若與的圖象在內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)，試求的取值范圍。變式：設(shè)函數(shù)R. （I）求函數(shù)的最值； （Ⅱ）證明:當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn).題型三：（運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決不等式問題）例3、已知且那么（）變式：設(shè)不等式對(duì)滿足m∈[-2，2]的一切實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍．題型四（運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題）例4、圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為,設(shè)AB=2x,BC=y.（Ⅰ）寫出y關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；（Ⅱ）求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.變式：一根水平放置的長方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比.（1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全?fù)荷變大嗎？為什么？（2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負(fù)荷最大？adadl例5、已知函數(shù),，其中R.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí)，若，，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式：已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x)。.令g(x)＝,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若M≧K對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。模擬訓(xùn)練1：1.已知正數(shù)x,y滿足xy=x+9y+7，則xy的最小值為()(A)32 (B)43 (C)49 (D)602．方程有解，則m的最大值為（）(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-23.一個(gè)高為h0，滿缸水量為V0的魚缸的軸截面如圖所示，其底部有一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，當(dāng)魚缸口高出水面的高度為h時(shí)，魚缸內(nèi)剩余水的體積為V,則函數(shù)V=f(h)的大致圖象可能是（）4.對(duì)任意a∈［-1,1］，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于零，則x的取值范圍是()(A)1<x<3(B)x<1或x>3(C)1<x<2(D)x<1或x>25.若正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba，且a<1,則有()(A)a>b (B)a<b(C)a=b (D)不能確定a,b的大小6．已知圓上任意一點(diǎn)P(x,y)都使不等式恒成立，則m的取值范圍是（）7.國際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉.已知某種鉆石的價(jià)值v（美元）與其重量ω（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元.（1）寫出v關(guān)于ω的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；（3）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時(shí)，按重量比為1∶1切割，價(jià)值損失的百分率最大.第二講數(shù)形結(jié)合思想題型一：（利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題）例1、實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：（1）點(diǎn)（a,b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積；（2）的取值范圍；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．總結(jié)：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對(duì)應(yīng)有：（1）連線的斜率；（2）之間的距離；（3）為直角三角形的三邊；（4）圖象的對(duì)稱軸為x=．只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法．題型二：（用數(shù)形結(jié)合求方程根的個(gè)數(shù)，解決與不等式有關(guān)的問題）例2、已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+1)=f(x-1);②當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個(gè)數(shù)是（）(A)5(B)7(C)9(D)10變式：設(shè)有函數(shù)f(x)=a+和g(x)=,已知x∈[-4,0]時(shí)，恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的范圍．題型三：（數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用）例3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，且長軸長與短軸長的比是．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點(diǎn)，，求證：直線的斜率為定值；（Ⅲ）求面積的最大值．題型四：（數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用）例4、如圖1,在直角梯形中,,,,為線段的中點(diǎn).將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.(Ⅰ)求證:平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.變式：已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點(diǎn)，P到面ABC的距離與到點(diǎn)S的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（）。A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線模擬訓(xùn)練2：1.方程lgx=sinx的根的個(gè)數(shù)()(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為()A．(3,5)B．(-2,+)C．(-2,5)D．(5,+)3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為（）(A)2(B)1(C)(D)4．函數(shù)圖象如圖，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．－23yx0C．D．－23yx05．不等式組有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．6.設(shè)A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0}，則使AB成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.第一講：函數(shù)與方程參考答案：例1解思路精析：用a表示b→根據(jù)b＞0，求a的范圍→把a(bǔ)b看作a的函數(shù)→求此函數(shù)的值域。解析：方法一：（看成函數(shù)的值域）即a＞1或a＜-3.又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0。當(dāng)且僅當(dāng)a-1=，即a=3時(shí)取等號(hào).又a＞3時(shí),a-1++5是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù),∴ab的取值范圍是[9,+∞).方法二(看成不等式的解集)∵a,b為正數(shù),∴a+b≥2,又ab=a+b+3,∴ab≥2+3.即解得方法三:若設(shè)ab=t,則a+b=t-3,∴a,b可看成方程的兩個(gè)正根.從而有,即解得t≥9,即ab≥9.變式：解略例2解思路精析：化簡的解析式→令=→分離→求函數(shù)的值域→確定的范圍解析：與的圖象在內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即有解，即令=，當(dāng)且僅當(dāng)，即cosx=0時(shí)“=”成立?！喈?dāng)a≥2時(shí)，與所組成的方程組在內(nèi)有解，即與的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)。變式2解（I） 令 ……2分① ① 由①知f（x）無最大值. ……6分 （Ⅱ）函數(shù)f（x）在[m，2m]上連續(xù). 上遞增. ……8分 由 ……10分 又 根據(jù)定理，可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m）上存在零點(diǎn). ………………12分例3解：先把它變成等價(jià)形式再構(gòu)造輔助函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性比較．選B．設(shè)因?yàn)榫鶠镽上的增函數(shù)，所以是R上的增函數(shù)．又由，即，即x+y＞0．變式3解：此問題常因?yàn)樗季S定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個(gè)角度，以m為變量，使f(m)=，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常函數(shù)）f(m)的值在[-2，2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件．解：設(shè)f(m)=，則不等式2x-1＞m恒成立恒成立．∴在時(shí)，即解得，∴故x的取值范圍是．例4解析：（Ⅰ）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為.所以，得 -------4分依題意知：得所以，（）.--------------------6分（Ⅱ）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T，橫截面的面積為S，則有 ---------------8分.---11分因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.答:當(dāng)時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.--------------13分變式4解:（1）安全負(fù)荷為正常數(shù)）翻轉(zhuǎn)，安全負(fù)荷變大.…4分當(dāng)，安全負(fù)荷變小.（2）如圖，設(shè)截取的寬為a，高為d，則.∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時(shí)，安全負(fù)荷最大.，當(dāng)且僅當(dāng)，即取，取時(shí)，u最大，即安全負(fù)荷最大.例5、【解題指導(dǎo)】（1）第1問，一般利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論；（2）第2問，一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)恒成立問題解決，最好利用分離參數(shù)法解答；（3）第3問實(shí)際上就是最值問題，等價(jià)于“在上的最大值不小于在上的最大值”，所以先分別求出兩個(gè)函數(shù)的最大值即可。【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，且?-------1分①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；----2分②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.----4分（Ⅱ），的定義域?yàn)?----5分因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)為增函數(shù)，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以-8分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，由得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上，----10分而“，，總有成立”等價(jià)于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值為所以有---------------12分所以實(shí)數(shù)的取值范圍是----------------13分變式5解：（I）當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。（Ⅱ）【法一】：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)即【法二】（反證法）：因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)。假設(shè)，則將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，（Ⅲ）【法一】：（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)）的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí)由有①若，則，，于是②若，則。于是綜上，對(duì)任意的、都有而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為?！痉ǘ浚海?）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí)，即下同解法1模擬訓(xùn)練1：參考答案1．2．3．【解析】選A.設(shè)魚缸底面積為S,則V=f(h)=Sh0-Sh，故V=f(h)是一次函數(shù)且是減函數(shù).4．【解析】選B.由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0得a(x-2)+x2-4x+4>0，令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，由不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在［-1,1］上恒成立.5．6．7.【解析】（1）依題意設(shè)v=kω2,又當(dāng)ω=3時(shí)，v=54000，∴k=6000.故v=6000ω2.第二講:數(shù)形結(jié)合參考答案：例1、思路精析：列出a,b滿足的條件→畫出點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域→求面積→根據(jù)的幾何意義求范圍→根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域．解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)=x2+ax+2b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，由此可得不等式組由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．∴在如圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC（不包括邊界）．（1）△ABC的面積為（h為A到Oa軸的距離）．（2）幾何意義是點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)D(1,2)邊線的斜率．由圖可知（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)(1,2)之間距離的平方，例2、思路精析：畫出f(x)的圖象→畫出y=lgx的圖象→數(shù)出交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解析：選C．由題間可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù)．又f(x)=lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)．由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)．變式2解：f(x)≤g(x)變形為→畫出的圖象→畫出的圖象→尋找成立的位置解：f(x)≤g(x)，即，變形得，令…………①，………………②①變形得，即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；②表示斜率為，縱截距為1-a的平行直線系．設(shè)與圓相切的直線為AT，其傾斜角為，則有tan=,,要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]時(shí)恒成立，則②成立所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．例3解析：（Ⅰ）