第三章函數(shù)概念與性質(zhì) 檢測題（綜合卷）【新教材】2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第三章函數(shù)概念與性質(zhì)檢測卷（綜合版）一、單選題1．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)則（）A．0 B． C． D．23．已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）A． B．C． D．4．設(shè)二次函數(shù)，如果，則等于（）A． B． C． D．5．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則使得成立的取值范圍是（）A． B．C． D．6．我們把函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，關(guān)于狄利克雷函數(shù)給出下列結(jié)論：①；②D（x+1）=D（x）；③，④，其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．點在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則（）A． B．C． D．二、多選題9．在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．是周期為的周期函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線軸對稱 D．為偶函數(shù)11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上是增函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C．函數(shù)的圖象上存在兩點，，使得直線軸D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱12．定義在上的函數(shù)満足，且當(dāng)時，，則有（）A．為奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．D．存在非零實數(shù)a，b，使得三、填空題13．已知冪函數(shù)y=xa的圖像經(jīng)過點（3，9），則a=________.14．已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則_________15．已知函數(shù)，，是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則時，______．16．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為_________．四、解答題17．定義在R上的奇函數(shù)在[0，＋∞)上的圖像如圖所示.（1）補全的圖像；（2）解不等式.18．已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求實數(shù)k的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)k的取值范圍．19．若函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，．（1）求函數(shù)的表達(dá)式，畫出函數(shù)的圖象；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．20．已知函數(shù)，.（1）求方程的解集；（2）定義：.已知定義在上的函數(shù).求函數(shù)的解析式，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的簡圖；并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.21．上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？22．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.參考答案1．C【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，列出不等式關(guān)系計算即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即，所以且，即函數(shù)的定義域為.故選：C2．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入即可求解.【詳解】由，.故選：D3．C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)，，的大小以及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小即可．【詳解】解：顯然在遞增，在遞減，而，故（a）（b）（c）.故選：C．4．C【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)可知，代入解析式可求得結(jié)果.【詳解】，關(guān)于的對稱軸對稱，，.故選：C.5．D【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)在的單調(diào)性，從而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又因為，所以，即，故選：D.6．C【分析】按照狄利克雷函數(shù)的定義，對①②③④一一驗證即可.對于①：分x為無理數(shù)和有理數(shù)，驗證；對于②：分x為無理數(shù)和有理數(shù)，驗證；對于③：取x為無理數(shù)，得到；即可判斷；對于④：直接由定義求出值域即可.【詳解】對于①：若x為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，所以；若x為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，所以；故①正確.對于②：若x為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，所以；若x為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，所以；故②正確.對于③：若x為無理數(shù)，則，所以；故③錯誤.對于④：由定義知：若x為無理數(shù)，則；若x為有理數(shù)，則，故.故④正確.故選：C7．B【分析】根據(jù)點在冪函數(shù)的圖象上，求出，求出函數(shù)的定義域，結(jié)合基本不等式即可得出所求.【詳解】解：因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，即，，所以，故，，，因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為.故選：B.8．C【分析】先用導(dǎo)數(shù)法研究的單調(diào)性，再由單調(diào)性比較大小即可【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，，令，∴；；即得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以可得，又因為，，∵，∴，即得.故選：C.9．AC【分析】利用基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個判斷即可【詳解】解：對于A，由于，所以在上單調(diào)遞增，所以A符合題意，對于B，由于，可知此函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，所以B不符合題意，對于C，由于，所以反比例函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以C符合題意，對于D，的對稱軸為直線，所以此函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，所以D，不符合題意，故選：AC10．AD【分析】由，可知的圖象關(guān)于點中心對稱；結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得是周期為以及關(guān)于直線軸對稱，結(jié)合周期，對稱中心和對稱軸可判斷出為偶函數(shù)【詳解】因為，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以是周期為的周期函數(shù)，且它的圖象關(guān)于點中心對稱和關(guān)于直線軸對稱，所以為偶函數(shù).故選：AD.11．AC【分析】，然后畫出其圖象可得答案.【詳解】，其大致圖象如下，結(jié)合函數(shù)圖象可得AC正確，BD錯誤.故選：AC12．ABD【分析】令，得到，再令得，從而得出為奇函數(shù)可判斷選項A;設(shè)，則，所以,可得出單調(diào)性，從而可判斷選項B；由，由單調(diào)性可判斷選項C；由，由單調(diào)性可得，從而可判斷選項D.【詳解】由，令得，得.令得，即所以為奇函數(shù)，故選項A正確.設(shè)，則，所以由條件可得，即所以為上的增函數(shù)，故選項B正確.由為上的增函數(shù)，則，所以，故選項C不正確.由為上的增函數(shù),則，即也即設(shè)，由，則，所以在有解.例如取，則，所以存在非零實數(shù)a，b，使得，故選項D正確.故選：ABD13．2【分析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計算即可.【詳解】由題意知，點在圖像上，所以，所以.故答案為：214．6【分析】利用給定函數(shù)等式的結(jié)構(gòu)特征借助奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則有，又，于是有，所以6.故答案為：615．.【分析】當(dāng)時，，求出的表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求出時函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時，，所以，因為是奇函數(shù)，所以.故答案為：.16．【分析】由已知得函數(shù)是減函數(shù)，由減函數(shù)的定義可解不等式．【詳解】設(shè)，由已知式變形為，所以在上是減函數(shù)，又．所以不等式化為，又，所以．故答案為：，17．（1）作圖見解析；（2）(－2，0)∪(0，2).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，即可得答案；（2）結(jié)合函數(shù)的圖像，可得不等式的解集；【詳解】解：（1）描出點(1，1)，(2，0)關(guān)于原點的對稱點(－1，－1)，(－2，0)，則可得f(x)的圖像如圖所示.（2）結(jié)合函數(shù)的圖像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2).【點睛】本題考查奇函數(shù)圖象的特點及解不等式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)不等式的解集確定對應(yīng)二次方程的根，再根據(jù)韋達(dá)定理解出參數(shù)即可；（2）根據(jù)題意知對稱軸在區(qū)間內(nèi)，列不等式即解得答案.【詳解】解：（1）由已知得方程的兩根為1和3，故由，解得，再由韋達(dá)定理有，得，符合要求，故實數(shù)k的值為；（2）∵函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，二次函數(shù)對稱軸為，∴，解得，所以實數(shù)k的取值范圍為．19．（1）；作圖見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象即可，（2）結(jié)合函數(shù)的圖象可得關(guān)于的不等式，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，．由是偶函數(shù)，得．所以．函數(shù)的圖象，如圖．（2）由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和．要使在上單調(diào)遞減，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．20．（1）或；（2）圖象答案見解析，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其最小值為1.【分析】（1）平方去根號，轉(zhuǎn)化為二次方程求解即得；（2）利用條件將寫成分段函數(shù)的形式，根據(jù)一次函數(shù)和冪函數(shù)的圖像分段畫出圖像，得到整體圖像，從而得到單調(diào)區(qū)間和最小值.【詳解】解：（1）由，得，；（2）由已知得，函數(shù)的圖象如圖實線所示：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其最小值為1.21．（1）；（2）分鐘.【分析】(1)時，求出正比例系數(shù)k，寫出函數(shù)式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比較大小即可得解.【詳解】（1）由題意知，（k為常數(shù)），因，則，所以；（2）由得，即，①當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?；②?dāng)時，在[10，20]上遞減，當(dāng)時Q取最大值24，由①②可知，當(dāng)發(fā)車時間間