專題十七 立體幾何解答題-2022屆天津市各區(qū)高三一模數(shù)學試題分類匯編

2022屆天津市各區(qū)高三年級一模數(shù)學分類匯編專題十七立體幾何【2021天津卷】如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【2020天津卷】如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【2022和平一?！科叫兴倪呅嗡诘钠矫媾c直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點.（1）求證：；（2）求點到平面的距離；（3）若直線上存在點，使得直線所成角的余弦值為，求直線與平面成角的大小.【2022部分區(qū)一?！咳鐖D，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大??；（3）線段PA上是否存在點M，使得直線GM與平面所成角為，若存在，求線段PM的長；若不存在，說明理由.【2022河東一模】如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E、F分別為AD、SC的中點，EF與平面ABCD所成的角為45°．（1）證明：平面SBC；（2）若，求平面SCD和平面BSC的夾角的余弦值.【2022紅橋一?！咳鐖D，正四棱柱中，，點E在上且．（1）證明：平面BED；（2）求異面直線BE與所成角的大??；（3）求二面角的余弦值．【2022河西一?！咳鐖D所示，在三棱柱中，側面ABCD和ADEF都是邊長為2的正方形，平面平面ADEF，點G、M分別是線段AD、BF的中點．

（1）求證：平面BEG；（2）求直線DM與平面BEG所成角的正弦值；（3）求平面BEG與平面ABCD夾角的余弦值．【2022南開一?！咳鐖D，P，O分別是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中點，，．

（1）求證：平面PBC；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC與平面PBC夾角的余弦值．【2022河北一?！咳鐖D，在三棱柱中，，，，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.【2022天津一中四月考】如圖，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大??；（3）求直線與平面所成角的余弦值.【十二區(qū)縣一?！咳鐖D，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求點到平面的距離．專題十七立體幾何（答案及解析）【2021天津卷】如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）.【分析】（I）建立空間直角坐標系，求出及平面的一個法向量，證明，即可得證；（II）求出，由運算即可得解；（III）求得平面的一個法向量，由結合同角三角函數(shù)的平方關系即可得解.【詳解】（I）以為原點，分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則,,,,,,，因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以，，所以,,,設平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，因為平面，所以平面；（II）由（1）得，，設直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值為.【2020天津卷】如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.（Ⅰ）計算出向量和的坐標，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個法向量為，計算出平面的一個法向量為，利用空間向量法計算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關系可求解結果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】依題意，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個法向量，，．設為平面的法向量，則，即，不妨設，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.【2022和平一模】平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點.（1）求證：；（2）求點到平面的距離；（3）若直線上存在點，使得直線所成角的余弦值為，求直線與平面成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）﹒【分析】(1)證明AC⊥AB，從而得AC⊥平面ABEF即可；(2)以A為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，則點到平面的距離為在方向投影的絕對值；(3)根據(jù)E、H、F三點共線，表示出H點坐標，根據(jù)可求出H坐標，求出平面法向量，利用向量即可求出直線與平面成角的大小﹒【小問1詳解】中，，由余弦定理得，，，，平面平面，平面平面＝，平面，平面，.【小問2詳解】以A為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.則，則，，設平面的法向量為，則，即，取，∴點到平面的距離；【小問3詳解】，，，，設點坐標，，∵E、H、F三點共線，∴，，∴，∴，解得，，設平面的法向量為，則，即，令，則，設直線與平面成的角為，，∴直線與平面成的角為.【2022部分區(qū)一模】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大??；（3）線段PA上是否存在點M，使得直線GM與平面所成角為，若存在，求線段PM的長；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）先證、，即可由線線垂直證線面垂直；（2）以O點為原點分別以OA?OG?OP所在直線為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量，即可由法向量的夾角得出兩平面的夾角；（3）設，，求出，可得，整理得，由，方程無解，即可得不存在這樣的點M【小問1詳解】證明：因為是正三角形，O是AD的中點，所以.又因為平面，平面，所以.，AD，平面，所以面.【小問2詳解】如圖，以O點為原點分別以OA?OG?OP所在直線為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標系.則，，，，，，，，，，設平面的法向量為，所以，即，令，則，又平面的法向量，所以.所以平面與平面所成角為.【小問3詳解】假設線段PA上存在點M，使得直線GM與平面所成角為，則直線GM與平面法向量所成的夾角為，設，，，，所以，所以，整理得，，方程無解，所以，不存在這樣的點M.【2022河東一?！咳鐖D，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E、F分別為AD、SC的中點，EF與平面ABCD所成的角為45°．（1）證明：平面SBC；（2）若，求平面SCD和平面BSC的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)取中點，連接和，則可證四邊形為平行四邊形，由此得EF∥AM﹒證明AM⊥SB，AM⊥BC即可證明AM⊥平面SBC，即可證EF⊥平面SBC；(2)以A為原點，AB、AD、AS分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行轉化求解即可．【小問1詳解】取中點，連接和，則MF∥BC，且MF＝，∵E是AD中點，ABCD是矩形，∴AE∥BC，且AE＝，∴MF∥AE，且MF＝AE，∴四邊形為平行四邊形，∴EF∥AM，與底面所成角為，與底面ABCD所成角為，∵SA⊥平面ABCD，SA平面SAB，∴平面SAB⊥平面ABCD，∵AM平面SAB，∴即為與底面ABCD所成角，即，∴為等腰直角三角形，則．平面，BC平面ABCD，，又，SA∩AB＝A，平面，∴BC⊥AM，∵BC∩SB＝B，平面，∴平面；【小問2詳解】以A為原點，AB、AD、AS分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系：若，設，則，連接，取中點，連接、，∵、分別為、的中點，故，∵平面，∴平面，∴，∴∠FEH＝45°，∴，，，∴，2，，，0，，，0，，，則，2，，，2，，，0，，，2，，設平面的法向量為，，，則，則，取，則，0，，設平面的法向量為，，，則，則，取，則，則，1，，則，則平面SCD和平面BSC的夾角的余弦值為．【2022紅橋一?！咳鐖D，正四棱柱中，，點E在上且．（1）證明：平面BED；（2）求異面直線BE與所成角的大??；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）90°（3）【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法來證得平面BED.（2）利用向量法求得異面直線BE與所成角.（3）利用向量法求得二面角余弦值.【小問1詳解】以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示空間直角坐標系．依題設，，，，．，，，．因，，故，，又，所以平面DBE．【小問2詳解】，，則，所以異面直線BE與所成角為90°；【小問3詳解】設向量是平面的法向量，則，．故，．令，則，，．設二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，．【2022河西一?！咳鐖D所示，在三棱柱中，側面ABCD和ADEF都是邊長為2的正方形，平面平面ADEF，點G、M分別是線段AD、BF的中點．

（1）求證：平面BEG；（2）求直線DM與平面BEG所成角的正弦值；（3）求平面BEG與平面ABCD夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由面面垂直的性質可得面，再由面面垂直有，結合已知、、兩兩垂直，構建以A為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系，求面的法向量及，判斷它們的位置關系，即可證結論.（2）由（1），應用空間向量夾角的坐標表示求DM與平面BEG所成角的正弦值；（3）由是面的一個法向量，結合（1）所得面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求平面BEG與平面ABCD夾角的余弦值．【小問1詳解】由四邊形是正方形，則，又面面，面面，面，所以面，而面，則，又，所以、、兩兩垂直.建立以A為原點，以方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系，則，，，，，，，，所以，設為面的法向量，則，令，可得，又，則，所以，又平面，所以平面．【小問2詳解】由（1）知：且為面的法向量，因此，即直線與平面所成角的正弦值為．【小問3詳解】由平面的一個法向量且為面的法向量，因此，即平面與平面夾角余弦值為．【2022南開一模】如圖，P，O分別是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中點，，．

（1）求證：平面PBC；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC與平面PBC夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】(1)建立坐標系，利用平面的法向量與的數(shù)量積為零可證明；(2)利用與平面的法向量可求解；(3)利用平面的法向量可求解.【小問1詳解】以點O為原點，直線OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，

由上得，，，設平面PBC的法向量為，則由得取，得，因為，所以，又平面PBC，所以平面PBC．【小問2詳解】由（1）知平面PBC的法向量為，因為，所以，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．【小問3詳解】顯然，平面POC的法向量為，由（1）知平面PBC的法向量為，設平面POC與平面PBC的夾角為，則．【2022河北一?！咳鐖D，在三棱柱中，，，，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）先證明出平面得到，利用線面垂直的判定定理即可證明平面；以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，用向量法求解（2）（3）.【小問1詳解】∵，為的中點，∴.又，，平面，平面，∴平面，∴.又，，平面，平面，∴平面.【小問2詳解】由（1）可知平面.又.以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，.∴.設平面的法向量為.∵，，∴即不妨取，得.設直線與平面所成的角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設平面的法向量為.∵，，∴即取，得.設平面與平面的夾角為，如圖示，平面與平面的夾角為銳角（或直角），則∴平面與平面的夾角的余弦值為.【2022天津一中四月考】如圖，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大?。唬?）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）取的中點，連接，可得且，證明四邊形為平行四邊形，從而可得證.（2）以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系,利用向量法求解即可.（3）利用（2）中的空間坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接,則且又，所以四邊形為正方形,則且又四邊形ABCD為矩形，則且所以且,則四邊形為平行四邊形所以，又平面,平面【小問2詳解】∵四邊形BCEF為直角梯形，四邊形ABCD為矩形，∴，，又∵平面平面BCEF，且平面平面，∴平面.以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系.，，，，，，設平面的一個法向量為，則，，得∵平面，∴平面一個法向量為，