高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章算法初步統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第2節(jié)抽樣方法教學(xué)案文北師大版

第二節(jié)抽樣方法[最新考綱]1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.2.會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本.3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第177頁(yè))1．抽樣調(diào)查(1)抽樣調(diào)查通常情況下，從調(diào)查對(duì)象中按照一定的方法抽取一部分，進(jìn)行調(diào)查或觀測(cè)，獲取數(shù)據(jù)，并以此對(duì)調(diào)查對(duì)象的某項(xiàng)指標(biāo)作出推斷，這就是抽樣調(diào)查．(2)總體和樣本調(diào)查對(duì)象的全體稱(chēng)為總體，被抽取的一部分稱(chēng)為樣本．(3)抽樣調(diào)查與普查相比有很多優(yōu)點(diǎn)，最突出的有兩點(diǎn)：①迅速、及時(shí)；②節(jié)約人力、物力和財(cái)力．2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)，要保證每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同．(2)通常采用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．3．分層抽樣(1)定義：將總體按其屬性特征分成若干類(lèi)型(有時(shí)稱(chēng)作層)，然后在每個(gè)類(lèi)型中按照所占比例隨機(jī)抽取一定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時(shí)也稱(chēng)為類(lèi)型抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．4．系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣是將總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，等距分組，在第一組中按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取第一個(gè)樣本，然后按分組的間隔(稱(chēng)為抽樣距)抽取其他樣本．這種抽樣方法也叫等距抽樣或機(jī)械抽樣．eq\o([常用結(jié)論])1．無(wú)論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的．2．系統(tǒng)抽樣一般也稱(chēng)為等距抽樣，入樣個(gè)體的編號(hào)相差分段間隔k的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)． ()(2)系統(tǒng)抽樣適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體． ()(3)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)． ()(4)某校即將召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽?。? ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改編1．在“世界讀書(shū)日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在這個(gè)問(wèn)題中，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是()A．總體B．個(gè)體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個(gè)樣本A[從5000名居民某天的閱讀時(shí)間中抽取200名居民的閱讀時(shí)間，樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時(shí)間是一個(gè)樣本，每名居民的閱讀時(shí)間就是一個(gè)個(gè)體，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體．]2．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知3號(hào)，29號(hào)，42號(hào)學(xué)生在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)學(xué)生的學(xué)號(hào)是()A．10B．11C．12D．16D[分段間隔為k＝eq\f(52,4)＝13，則還有一個(gè)學(xué)生的學(xué)號(hào)為16.]3．從編號(hào)為1～50的50枚最新研制的某種型號(hào)的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來(lái)進(jìn)行發(fā)射實(shí)驗(yàn)，若采用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號(hào)可能是()A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32B[分段間隔為k＝eq\f(50,5)＝10，故選B.]4．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個(gè)年齡段分別抽取人數(shù)為()A．33,34,33 B．25,56,19C．20,40,30 D．30,50,20B[因?yàn)?25∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人數(shù)分別為25,56,19.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第178頁(yè))⊙考點(diǎn)1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況．(2)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．1.下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是()A．從某廠(chǎng)生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠(chǎng)生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠(chǎng)生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠(chǎng)生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B[因?yàn)锳，D中總體的個(gè)體數(shù)較大，不適合用抽簽法；C中甲、乙兩廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，因此未達(dá)到攪拌均勻的條件，也不適合用抽簽法；B中總體容量和樣本容量都較小，且同廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品可視為攪拌均勻了．]2．總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01D[從第1行第5列和第6列組成的數(shù)65開(kāi)始由左到右依次選出的數(shù)為08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體編號(hào)為01.]隨機(jī)數(shù)表中每一列數(shù)是由每一行的一個(gè)數(shù)字組成的，而不是4個(gè)數(shù)字組成的．⊙考點(diǎn)2系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣中所抽取編號(hào)的特點(diǎn)系統(tǒng)抽樣又稱(chēng)等距抽樣，所以依次抽取的樣本對(duì)應(yīng)的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號(hào)碼．(1)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)．若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是()A．8號(hào)學(xué)生 B．200號(hào)學(xué)生C．616號(hào)學(xué)生 D．815號(hào)學(xué)生(2)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為001,002，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為009，抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷B的人數(shù)為()A．7 B．9C．10 D．15(1)C(2)C[(1)根據(jù)題意，系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，所以抽樣間隔為eq\f(1000,100)＝10.因?yàn)?6除以10余6，所以抽到的號(hào)碼都是除以10余6的數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)知應(yīng)為616.故選C.(2)從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則將整體分成32組，每組30人，因?yàn)榈谝唤M抽到的號(hào)碼為009，則第二組抽到的號(hào)碼為039，第n組抽到的號(hào)碼為an＝9＋30·(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得eq\f(236,15)≤n≤eq\f(257,10)，所以n＝016,017，…，025，共有25－16＋1＝10(人)．][母題探究]若本例(2)中條件變?yōu)椤叭舻?組抽到的號(hào)碼為129”，求第1組抽到的號(hào)碼．[解]設(shè)第1組抽到的號(hào)碼為x，則第5組抽到的號(hào)碼為x＋(5－1)×30，由x＋(5－1)×30＝129，解得x＝9，因此第1組抽到的號(hào)碼為009.系統(tǒng)抽樣時(shí)，如果總體中的個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可以先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行．1.利用系統(tǒng)抽樣法從編號(hào)分別為1,2,3，…，80的80件不同產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為16的樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一個(gè)產(chǎn)品的編號(hào)為13，則抽到產(chǎn)品的最大編號(hào)為()A．73 B．78C．77 D．76B[分段間隔為k＝eq\f(80,16)＝5，則抽出的產(chǎn)品最小編號(hào)為3，從而抽到產(chǎn)品的最大編號(hào)為3＋15×5＝78，故選B.]2．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查，將840人按001,002，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14B[由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為eq\f(840,42)＝20，每組抽取一人，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為eq\f(720－480,20)＝12，故選B.]⊙考點(diǎn)3分層抽樣分層抽樣問(wèn)題類(lèi)型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．其中抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量).(3)確定是否應(yīng)用分層抽樣：分層抽樣適用于總體中個(gè)體差異較大的情況．(1)(2019·洛陽(yáng)模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()甲乙A．100,10 B．100,20C．200,10 D．200,20(2)某工廠(chǎng)甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n等于()A．9 B．10C．12 D．13(1)D(2)D[(1)由題得樣本容量為(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)為2000×2%＝40，則近視人數(shù)為40×0.5＝20，故選D.(2)抽樣比為eq\f(3,60)＝eq\f(1,20)，則n＝eq\f(1,20)(120＋80＋60)＝13，故選D.]分層抽樣中每一層的抽樣比相同．[教師備選例題]某電視臺(tái)在網(wǎng)上就觀眾對(duì)其某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：最喜愛(ài)喜愛(ài)一般不喜歡4800720064001600電視臺(tái)為了了解觀眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中抽取100人進(jìn)行詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時(shí)，每類(lèi)人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8D[法一：因?yàn)槌闃颖葹閑q\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每類(lèi)人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為4800×eq\f(1,200)＝24,7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.法二：最喜愛(ài)、喜愛(ài)、一般、不喜歡的比例為4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每類(lèi)人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為eq\f(6,6＋9＋8＋2)×100＝24，eq\f(9,6＋9＋8＋2)×100＝36，eq\f(8,6＋9＋8＋2)×100＝32，eq\f(2,6＋9＋8＋2)×100＝8.]甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n等于()A．54 B．90C．45 D．126B[依題意得e