江蘇省鹽城市響水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期暑期檢測數(shù)學(xué)試題

江蘇省響水中學(xué)高二年級暑期檢測試卷數(shù)學(xué)試題考生注意：1、試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁.2、滿分150分，考試試卷120分鐘.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡復(fù)數(shù).【詳解】.故選：A.2.已知一個圓錐母線長為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出底面半徑和高，利用圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為，由

，則，則圓錐的體積為

.故選：A3.為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動，以傳承紅色革命精神，踐行社會主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊，則應(yīng)抽取高三（

）A.5人 B.6人 C.7人 D.8人【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.【詳解】依題意得：某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊，則應(yīng)抽取高三的人數(shù)為：.故選：C.4.已知?兩點，直線：與線段相交，則直線的斜率的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，求出當直線分別經(jīng)過點、時，直線的斜率的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】直線恒過點，則直線的斜率為，直線的斜率為，如圖，由圖可知直線的斜率的取值范圍是，故選：D5.直線與直線平行，則為（）A.1或3 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由兩條直線平行的一般式方程判斷方法求解即可【詳解】若直線與直線平行，則，解得a=1或a=3經(jīng)檢驗a=3舍去，故選:D.6.一個質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.與互斥 B.與對立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】D【解析】【分析】列舉出基本事件，對四個選項一一判斷：對于A：由事件A與D有相同的基本事件，否定結(jié)論；對于B：由事件C與D有相同的基本事件，否定結(jié)論；對于C、D：利用公式法進行判斷.【詳解】連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，基本事件有：.其中事件A包括：.事件B包括：.事件C包括：.事件D包括：.對于A：因為事件A與D有相同的基本事件，故與互斥不成立.故A錯誤；對于B：因為事件C與D有相同的基本事件，故C與對立不成立.故B錯誤；對于C：因為,,而.因為，所以與不是相互獨立.故C錯誤；對于D：因為,,而.因為兩個事件的發(fā)生與否互不影響，且，所以與相互獨立.故D正確.故選：D7.已知圓，直線，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別A、B，當最小時，直線AB的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的切線的有關(guān)知識，判斷出最小時，直線與直線垂直，結(jié)合圖象求得直線的方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為.依圓的知識可知，四點P，A，B，C四點共圓，且AB⊥PC，所以，而，當直線PC⊥l時，最小，此時最小.結(jié)合圖象可知，此時切點為，所以直線的方程為，即.故選：A8.中，，，，點為的外心，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，利用余弦定理求出，再在兩邊同時乘以向量和，利用投影的定義計算出和的值，代入方程中計算，解出和，可得出答案．【詳解】中，，，，則，，，又，同理可得：，代入上式，，解得：，故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是B.若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值集合為C.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D.過兩點的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線的方程即位置關(guān)系分別判斷.【詳解】A選項：直線與軸和軸的交點分別為和，三角形面積為，A選項正確；B選項：三條直線不能構(gòu)成三角形，可得或或直線過點，解得或或，B選項錯誤；C選項：當直線經(jīng)過坐標原點時，，當直線不經(jīng)過坐標原點時，設(shè)直線方程為，代入點，即，解得，故直線為，C選項錯誤；D選項：由兩點式方程可直接判斷D選項正確；故選：AD.10.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象向左平移個單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到A=2，，再根據(jù)函數(shù)圖象過點，求得，得到函數(shù)的解析式，然后再逐項判斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象得：A=2，,所以，又因為函數(shù)圖象過點，所以，即，解得，即，因為，所以，所以，A.，故正確；B.，故錯誤；C.因為，所以，故正確；D.將的圖象向左平移個單位，所得到的函數(shù)是，非奇非偶函數(shù)，故錯誤；故選：AC.11.如圖，正方體的棱長為分別為的中點，則（）A.點與點到平面的距離相等B.直線與平面所成角的正弦值為C.二面角的余弦值為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行判斷A選項,應(yīng)用線面角判斷B選項,根據(jù)二面角判斷C選項,結(jié)合截面判斷D選項.【詳解】對于，如圖1所示，取的中點，連接，則有平面,平面,平面..，,平面.平面平面,平面,平面,,所以平面平面又因為平面，所以平面，點與點到平面的距離相等，故正確；對于，如圖2所示，連接，又平面，所以為直線與平面所成角，由已知得：，所以中，，即B錯誤；對C，如圖3所示，因為平面，作交延長線于，連接，則，故設(shè)二面角的平面角為，由得，所以，即C正確；對于D，如圖4所示，連接，延長交于點，因為分別為的中點，所以，所以四點共面，所以截面即為等腰梯形.，梯形的高為，所以梯形的面積為，故D正確.故選：ACD.12.已知直線與圓相交于兩點，則（）A.直線恒過定點B.過點且與圓相切的直線為：C.圓心到直線的最大距離是D.的最大值為1【答案】ACD【解析】【分析】由直線系方程求得直線恒過定點判斷A，利用直線與圓相切求出直線方程即可判斷B，根據(jù)圓心到直線的最大距離的結(jié)論即可判斷C，利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可判斷D.【詳解】對A，直線即直線，聯(lián)立，解得，，所以直線過定點，故A正確；對B，，圓心，半徑，當直線斜率不存在時，即直線方程為，此時圓心到到該直線的距離等于2，即等于半徑，故該直線也與圓相切，故B錯誤；對C，根據(jù)結(jié)論得圓心到直線的最大距離即為到所過的定點的距離，則最大距離為，故C正確；對D，，要使取到最大值，只需取最大，在中，，所以取最大時，弦長AB最短，當直線AB與圓心和點直線垂直時，弦長AB最短，因為圓心到點的距離為，此時，，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則tanβ=___________.【答案】【解析】分析】由得，根據(jù)倍角正切公式求得，而，利用差角正切公式即可求解.【詳解】由得，所以，．故答案為：14.已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，分類討論，可得其斜率之間的關(guān)系，求得斜率，可得答案.【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，當直線時，顯然點，到直線的距離相等，如下圖：則此時，由，且直線過，則直線的方程為，整理可得；當直線與直線相交時，作于，于，如下圖：若，由，，則，可得，即為的中點，其坐標為，此時直線的斜率，直線的方程為，整理可得.故答案為：或.15.已知圓，直線，若直線與圓交于，兩點，且，則______．【答案】22【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得出圓心坐標和半徑r，利用半徑大于0可得a的取值范圍，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離d，根據(jù)題意有，列出方程，解方程即可.【詳解】由題可得圓的標準方程為，圓心，半徑，由，得或．圓心到直線的距離，因為直線與圓交于，兩點，且，所以，得，解得或，又或，故．故答案為：22

16.在中，所對的三邊分別為，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先由余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理，以及三角恒等變換對應(yīng)的公式，化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，因此，因為，且為三角形內(nèi)角，所以，因此，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理，余弦定理，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)等即可，屬于?？碱}型.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有相異兩解，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合函數(shù)的最小正周期求出，即可得解；（2）依題意可得，則函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個交點，根據(jù)的取值范圍求出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】因為，又的最小正周期為，且，所以，解得，所以.【小問2詳解】由，即，關(guān)于的方程在區(qū)間上有相異兩解，，也即函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個交點，由，得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，要使函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個交點，則有，所以實數(shù)的取值范圍為．18.已知直線l：y＝－x＋1，試求：(1)點P(－2，－1)關(guān)于直線l的對稱點坐標；(2)直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程；(3)直線l關(guān)于點A(1,1)對稱的直線方程．【答案】（1）（2）7x－y－14＝0（3）x＋2y－4＝0【解析】【分析】（1）設(shè)出對稱點的坐標，利用中點在對稱軸上以及斜率乘積等于列方程組，解方程組求得對稱點的坐標.（2）設(shè)上一點的坐標，以及該點對稱點的坐標，利用（1）的方法求得兩個對稱點的坐標的關(guān)系式，代入直線的方程，化簡后求得的方程.（3）設(shè)出對稱直線上任意一點的坐標，和對稱點的坐標，利用中點坐標公式得到兩者的的坐標關(guān)系，代入直線的方程求得對稱直線的方程.【詳解】解:(1)設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P′(x0，y0)，則線段PP′的中點M在直線l上，且PP′⊥l.所以，解得，即.（2）直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱直線為l2，則l2上任一點P1(x，y)關(guān)于l的對稱點P1′(x′，y′)一定在直線l1上，反之也成立．由得把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0.即直線l2的方程為7x－y－14＝0.(3)設(shè)直線l關(guān)于點A(1,1)的對稱直線為l′，直線l上任一點P2(x1，y1)關(guān)于點A的對稱點P2′(x，y)一定在直線l′上，反之也成立．由得，將(x1，y1)代入直線l的方程得：x＋2y－4＝0，∴直線l′的方程為x＋2y－4＝0.【點睛】本小題主要考查點關(guān)于直線對稱點的求法，考查直線關(guān)于點的對稱直線的求法，考查直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.解題關(guān)鍵點在于利用對稱問題，中點和斜率的對應(yīng)關(guān)系來列方程組求解.19.已知圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸相切，點在圓C上，點在圓C外．（1）求圓C的方程；（2）若過點的直線l交圓C于A，B兩點，且，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由題意設(shè)圓的方程為，再將點的坐標代入方程中可求出的值，眾而可求出圓的方程；（2）利用圓心距、弦和半徑的關(guān)系求出圓心距的長，然后分直線的斜率存在和不存在兩種情況，利用點到直線的距離公式列方程求解即可【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑，則圓C的方程可設(shè)為，因為點在圓C上，所以，解得或．因為點在圓C外，經(jīng)檢驗不符，舍去．所以圓C的方程為．（2）由（1）可知圓C的半徑，，所以圓心到直線的距離．當k不存在時，直線方程，符合題意；當k存在時，設(shè)直線方程為，整理得所以圓心C到直線l的距離，即，解得，所以，所以直線l的方程為．∴綜上，直線方程為或．20.如圖，四棱錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）過作垂線，垂足為，由得，．又，可得平面，即可證明．（Ⅱ）易得到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即可求解.【詳解】(Ⅰ)過作垂線，垂足為，由得，．又，∴平面，∴平面平面；（Ⅱ）∵，∴到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的求解、是中檔題．21.已知中，角所對的邊長分別為，且，為邊上一點，且.（1）若為中線，且，求；（2）若為的平分線，且為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得；（2）設(shè)，在和中分別運用正弦定理，兩式相除得到，結(jié)合為銳角三角形得到，進而求解答案.【小問1詳解】如下圖所示，在中，設(shè)，由余弦定理得即，得，所以，在中，由余弦定理得，則，所以【小問2詳解】設(shè)，則，如下圖所示，在和中，由正弦定理得，，得，因為為銳角三角形，所以均為銳角，所以，則，所以，又因為，所以，所以的取值范圍是22.如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，