微積分在力學(xué)中的應(yīng)用

PAGEPAGE10微積分在力學(xué)中的應(yīng)用1序言物理學(xué)是研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)、基本相互作用及基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué).物理學(xué)領(lǐng)域的一系列新成果,不僅是對(duì)物理學(xué)本身,而且對(duì)其他學(xué)科的發(fā)展有極大的促進(jìn).同時(shí)物理學(xué)是一門以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，利用數(shù)學(xué)工具對(duì)物理問題進(jìn)行科學(xué)抽象思維和推理的學(xué)科.運(yùn)用數(shù)學(xué)定義物理概念、表達(dá)物理規(guī)律具有簡(jiǎn)潔性、精確性、深刻性.從數(shù)學(xué)的角度歸納總結(jié)各個(gè)類似的物理公式的一般性,找出這些物理公式的共性,用數(shù)學(xué)的思想和方法來解決物理一些重點(diǎn)和難點(diǎn),并用一些簡(jiǎn)單的實(shí)例來闡述,有助于形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)物理知識(shí)、用數(shù)學(xué)理論解決物理問題的能力.2背景介紹2.1微積分的基本概念微積分學(xué)是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支，內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用.函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限.微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)是從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念.牛頓從蘋果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學(xué)工具來刻畫這一事實(shí).積分學(xué)的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分，主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計(jì)算，以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用.不定積分概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來的.聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式是：若在上連續(xù),是的原函數(shù)，則,通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式.2.2力學(xué)中微積分的建立微積分在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛，在力學(xué)中較為突出，也是初學(xué)大學(xué)物理課程時(shí)遇到的一個(gè)困難．要用好微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具，首先應(yīng)在思想上認(rèn)識(shí)到物體在運(yùn)動(dòng)過程中，反映其運(yùn)動(dòng)特征的物理量是隨時(shí)空的變化而變化的．為了精確描述這一變化過程，牛頓采用“微元”處理來分析物理現(xiàn)象，創(chuàng)立了微機(jī)分學(xué)，并在后來的發(fā)展中得到廣泛應(yīng)用.應(yīng)用定積分理論解決力學(xué)實(shí)際問題的第一步是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,這一步往往比較困難,而微元法恰是解決這一困難,實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的有力工具.設(shè)求解實(shí)際問題可化為在區(qū)間[]上的某個(gè)量,如果我們?cè)诰哂写淼娜我恍^(qū)間[]上，以“勻代不勻”或“不變代變”找到這個(gè)量的微分,根據(jù)微分基本定理,這個(gè)量就可以應(yīng)用定積分計(jì)算.顯然，解決問題的關(guān)鍵是在微小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析，尋找并列出正確的微分式，故而這種方法稱為微元法.能夠應(yīng)用微元法求解的物理量應(yīng)該具備下列條件：（i）它是一個(gè)與變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；（ii）它對(duì)于區(qū)間具有可加性，即如果把區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，則它能相應(yīng)地分成若干個(gè)對(duì)應(yīng)的部分量，且該量等于所有部分量之和；（iii）部分量的近似值可表示為,這樣就可以定積分來表示這個(gè)量.將滿足上述條件的量寫成可運(yùn)算的積分表達(dá)式的步驟可歸納為：（i）根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量（例如）作為積分變量并確定它的變化區(qū)間；（ii）將區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作，求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量的近似值，如果能近似地表示為的一個(gè)連續(xù)函數(shù)與的乘積（這里與相差一個(gè)比高階的無窮?。?就可以將它記作為,即=；（iii）以所求量的微元為被積表達(dá)式,在區(qū)間上作定積分得:結(jié)果即作為所求的實(shí)際量,根據(jù)所求問題的不同,它可以是一個(gè)具體的數(shù)值,也可以是一個(gè)函數(shù).綜上所述,微元法把確定的研究對(duì)象分割為無限多個(gè)無限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通過對(duì)所抽取的這一部分的研究，就可以認(rèn)為是整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律，它實(shí)質(zhì)上是“從復(fù)合到單一，從單一到復(fù)合”的分析與綜合思維方法.3微積分在求速度,加速度,變力做功方面的應(yīng)用在數(shù)學(xué)發(fā)展史上微積分是基于解決物理問題而產(chǎn)生的.為了解決速度，加速度問題，許多數(shù)學(xué)家曾采用極限思想來分析這一問題，他們把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程抽象成許多微小的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)過程，如以下分析速度,加速度,變力做功這一過程.3.1速度加速度定義1把趨于零時(shí)的平均速度的極限定義為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度或質(zhì)點(diǎn)的位移和相應(yīng)時(shí)間的比,即=速度是位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；定義2把趨于零時(shí)的平均加速度的極限定義為瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度，即==瞬時(shí)加速度是速度的一階導(dǎo)數(shù)，是位置矢量的二階導(dǎo)數(shù).加速度既反映速度大小的變化，又反映速度方向的變化.例1已知一電子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為 (1)式中,和是常數(shù),均大于零.求電子運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度.解由(1)式可知，電子的直角坐標(biāo)系為cYcYxoy圖1消去時(shí)間，得電子的軌跡方程可見電子作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)(圖1).電子的速度為速度的大小為因和都是常數(shù),故電子作圓周運(yùn)動(dòng)的速率是恒定的.因?yàn)樗耘c垂直，即電子的速度總是沿著圓周的切線方向.電子的加速度為即加速度的大小等于r，而方向始終指向圓心，這樣的加速度稱為向心加速度.可見，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作速率恒定的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度是向心加速度.例2一汽艇以速率沿直線行駛.發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，汽艇因受到阻力而具有與速度成正比且方向相反的加速度=-,式中為大于零的常數(shù).求發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，（i）在任意時(shí)刻汽艇的速度；（ii）汽艇能滑行的距離.解（i）這是一維情況，矢量的方向可用正負(fù)號(hào)表示.故=- (2)分離變量和，并積分可得=-故在發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后時(shí)刻，汽艇的速度為 (3)（ii）注意到并代入(2)式，得變量分離和，并積分,故發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后汽艇能滑行的距離為這個(gè)結(jié)果也可以根據(jù)由(3)式積分得到.注意積分時(shí)，時(shí)間的上、下限分別取為和.圖2例3有一長(zhǎng)為的細(xì)繩,一段固定在點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為的小球.今使小球在鉛直平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).小球的角位置從繩鉛直下垂處算起.當(dāng)時(shí)，小球的速度為.求在任意角度處小球的速度和繩的張力.圖2解小球受到重力和繩的拉力的作用（圖2）.根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，列出法向和切向方程(4)(5)即將此式代入(5)式，并積分得，將上式代入(4)式得 (6)小球恰可通過最高點(diǎn)時(shí)，代入(6)式，得這是使小球恰可完成圓周運(yùn)動(dòng)所需的最小初速度.3.2功的計(jì)算功是能量轉(zhuǎn)換的量度，一般情況下質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中所受的力，其大小和方向都在變，在這種情況下不能直接運(yùn)用直接將功計(jì)算出來，只能將整段曲線分成段(一般取)，先計(jì)算質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過任一段曲線時(shí)外力對(duì)其所作的功（即微功），然后利用積分求出質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷整段曲線時(shí)外力的功.例4如圖3所示,設(shè)有質(zhì)量分別為和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),求在質(zhì)點(diǎn)從位置沿任一路徑運(yùn)動(dòng)到的過程中,萬有引力的功.圖3解取定與質(zhì)點(diǎn)相固結(jié)的參照系，設(shè)相對(duì)于質(zhì)量的徑圖3矢為，將分成許多小段，取其中任一小段（如圖），其元功為：則從到點(diǎn)引力作用的功：例5一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，沿軸方向運(yùn)動(dòng)，其加速度與速度成正比（比例系數(shù)為），方向相反.設(shè)該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初速度為.（i）試寫出該質(zhì)點(diǎn)在軸方向運(yùn)動(dòng)的受力表示式.（ii）該質(zhì)點(diǎn)在軸方向運(yùn)動(dòng)的全過程中所受的力做了多少功？解（i）根據(jù)題意質(zhì)點(diǎn)的加速度所以，質(zhì)點(diǎn)在軸方向的運(yùn)動(dòng)受力的表示式為由此可知該力是阻力.（ii）上述力所的功為 (7)由可得，代入(7)式得4微積分在求引力、動(dòng)量定理、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方面的應(yīng)用4.1引力例6設(shè)有一均勻細(xì)桿,長(zhǎng)為,質(zhì)量為,另有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于細(xì)桿的垂直平分線上距桿為處.求細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.圖4解由于細(xì)桿不能當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，因此不能直接用萬有引力定律求解，但我們可以把細(xì)桿看作無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的組合，且整個(gè)細(xì)桿的質(zhì)量是連續(xù)分布的，這樣就可用微元法求解.圖4解題步驟為：在細(xì)桿上處取長(zhǎng)為的細(xì)桿作為微元（如圖4），該微元的質(zhì)量為，其到質(zhì)點(diǎn)的距離為，根據(jù)萬有引力定律，該微元對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為：力的方向沿和的連線并指向.經(jīng)過分析可知，構(gòu)成細(xì)桿的各微元對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的方向的分量互相抵消,方向的分量方向相同,因此各微元對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和實(shí)際上是這些引力的方向分量之和,從圖可得,在方向的分量為負(fù)號(hào)表示力的方向與坐標(biāo)軸的方向相反.細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力即利用積分公式并代入上下限求解得所以，細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的大小為方向沿細(xì)桿的中垂線并指向細(xì)桿.4.2沖量動(dòng)量定理沖量定義為從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間里力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量.動(dòng)量定理在一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的沖量等于在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量.積分形式微分形式例7如圖5所示，在光滑平面上，一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以角速度沿半徑為的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng).試分別根據(jù)沖量的定義和動(dòng)量定理，求出在從變到的過程中外力的沖量.解根據(jù)題意可設(shè)質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力為圖5圖5根據(jù)沖量的定義按動(dòng)量定理求合力的沖量4.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量,同一剛體對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.利用微元法先求本剛體上任一小部分質(zhì)量（可以是線狀、面狀、體狀）對(duì)指定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后利用積分可算出整個(gè)剛體對(duì)指定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例8計(jì)算質(zhì)量為，半徑為的均勻薄板繞它的一條直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖6解取圓板的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸為軸的直線坐標(biāo)系.（如圖6）圖6在圓板上距圓心處取寬為的窄條作為微元，其長(zhǎng)度為，質(zhì)量為，所以，該小條對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為各小條的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和即為剛體對(duì)已知轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即令得例9計(jì)算球體對(duì)通過球心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解設(shè)圓球的半徑為，如圖7所示.將圓球分成一系列與轉(zhuǎn)軸垂直的極薄的圓板，其中任意一圓板距球心的高度為，圓板的厚度為.可得圓板的半徑為圖7圖7所以任一薄圓板的體積以代表單位體積的質(zhì)量,則圓板的質(zhì)量為注意:圓板的厚度為無窮小,所以這一圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為所以,整個(gè)球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因?yàn)樗赞D(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)特性的一個(gè)重要物理量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與轉(zhuǎn)軸的位置，剛體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有著密切的關(guān)系，因此在計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，一般首先要求出組成剛體各質(zhì)點(diǎn)對(duì)已知轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再通過加和運(yùn)算求出整個(gè)剛體對(duì)已知轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，也就是說，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算可以歸結(jié)為一種和的極限計(jì)算.5小結(jié)綜上所述,微積分在力學(xué)中的應(yīng)用可以重點(diǎn)歸結(jié)為以下幾點(diǎn):第一,根據(jù)實(shí)際問題性質(zhì)確定積分變量及其變化區(qū)間;第二,將變量的變化區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間,求出每個(gè)小區(qū)間內(nèi)待求量表達(dá)式,這就是所謂的“化整為零”；第三,待求量在變量的變化區(qū)間內(nèi)具有可加性，利用求和的方法將對(duì)應(yīng)于每一小區(qū)間的待求量的部分量相加，這又是所謂的“集零為整”得到待求量的近似值；第四,當(dāng)每一個(gè)小區(qū)間的原寬度趨于零時(shí)，即可得到待求量的極限，也就是待求量的準(zhǔn)確值.利用這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),今后在處理這類含有變化物理量的問題時(shí)學(xué)會(huì)使用這個(gè)