2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第59講離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)生版_第1頁
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文檔簡介

第59講離散型隨機(jī)變量及其分布列思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量.所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.(2)一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,具有如下性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pi+…+pn=1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.2.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp其中0<p<1,則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布.其中p=P(X=1)稱為成功概率.3.超幾何分布一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品,用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù),那么P(X=k)=eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n-k,N-M),C\o\al(n,N))(k=0,1,2,…,m).X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n-0,N-M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n-1,N-M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n-m,N-M),C\o\al(n,N))其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.題型歸納題型1離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1-1】設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為X-101Peq\f(1,3)2-3qq2則q的值為()A.1B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)-eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)+eq\f(\r(33),6)【例1-2】已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為P(X=i)=eq\f(i,2a)(i=1,2,3),則P(X=2)=________.【跟蹤訓(xùn)練1-1】離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=eq\f(a,nn+1)(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為________.【跟蹤訓(xùn)練1-2】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機(jī)變量Y=2X+1的分布列;(2)求隨機(jī)變量η=|X-1|的分布列;(3)求隨機(jī)變量ξ=X2的分布列.【名師指導(dǎo)】離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值;(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.題型2超幾何分布【例2-1】某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng).已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列.【跟蹤訓(xùn)練2-1】某大學(xué)生志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.【跟蹤訓(xùn)練2-2】在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.【名師指導(dǎo)】1.隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布,則滿足如下條件:(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取n次;(2)隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件),反之亦然.2.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.題型3求離散型隨機(jī)變量的分布列【例3-1】已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列.【跟蹤訓(xùn)練3-1】有編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)學(xué)生,入座編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)座位,每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位,設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,已知X=2時(shí),共有6種坐法.(1)求n的值;(2)求隨機(jī)變量X的分布列.【跟蹤訓(xùn)練3-2】甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號(hào)召,決定各購置一輛純電動(dòng)汽車.經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動(dòng)汽車,按行駛里程數(shù)R(單位:公里)可分為三類車型:A:80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲從A,B,C三類車型中挑選,乙從B,C兩類車型中挑選,甲、乙二人選擇各類車型的概率如表:車型概率人ABC甲eq\f(1,5)pq乙eq\f(1,4

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