控制工程基礎(chǔ)第二版（徐立）課后習(xí)題答案版

二到四章答案

2-1試建立題2-1圖所示各系統(tǒng)的微分方程［其中外力/Q),位移x(f)和電壓與”)為輸入量；位移y(f)和

電壓分⑺為輸出量；k(彈性系數(shù))，〃(阻尼系數(shù))，R(電阻)，C(電容)和山(質(zhì)量)均為常數(shù)］。

/Q)丫。)77177

(a)(b)⑹(d)

題2-1圖系統(tǒng)原理圖

解：

2-1(a)取質(zhì)量m為受力對(duì)象，如圖，取向下為力和位移的正方向。作用在質(zhì)量塊m上的力有外力f(t),重力

mg,這兩個(gè)力向下，為正。有彈簧恢復(fù)力左卜(。+%］和阻尼力〃駕°,這兩個(gè)力向上，為負(fù)。其中，尤為

/“)=()、物體處于靜平衡位置時(shí)彈簧的預(yù)伸長(zhǎng)量。

左［??)+%］以誓■

m

/⑺mg

根據(jù)牛頓第二定理ZE=，有f(t)+mg-k［y(t)+y］-^—

0t~mdt2

d

其中：mg=k為代入上式得了⑺—ky(t)—從等)=，〃公g

整理成標(biāo)準(zhǔn)式：

m:+砥/)=/?)

drdt

或也可寫成：

華+幺竽+與⑺=1%)

drmatmm

它是一個(gè)二階線性定常微分方程。

2-l(b)如圖，取A點(diǎn)為輔助質(zhì)點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)位移為4?)，方向如圖。再取B點(diǎn)也為輔助質(zhì)點(diǎn)，則該點(diǎn)位移即

為輸出量y(f)，方向如圖

B1

歐

A

A點(diǎn)力平衡方程:%[無(wú)⑺-力①

B點(diǎn)力平衡方程：網(wǎng)義/)=〃[智2■-皿】

②

dtdt

由①和②：kx[%(?)-xA(?)]=k2y(t)

得：/⑺=x?)-?y?)

二邊微分：的⑺一一⑺&辦⑺

③

dtdtk、dt

將③代入②：…叫"凈

整理成標(biāo)準(zhǔn)式：

K+k2力⑺+k2

dt〃dt

或也可寫成：

一⑺Ik}k2

dt〃(《+&)Y等

它是一個(gè)一階線性定常微分方程。

2-1(c)如圖，由電路理論的基爾霍夫定律:

i-/14-i2

ur(t)=u.(t)+w(Z)=i,R<+uAt),其中,%(f)是尺上的壓降。

即得：h=用①

又因?yàn)?⑴=c一—?)]=0"%⑴

i=Cd/c②

''2dtdtdtdt

輸出為：

uc(t)=iR2=G；+i2)R2

將①和②代入上式：

〃，⑺=凡?+[)=昆即)-位!+c_c③

&dtdt

整理成標(biāo)準(zhǔn)式：

京誓+貨"&=&。誓+行⑺

或也可寫成：

d&Q)?i八

除TH-----”r(t)

dtR。

2-1(d)把電路圖畫成如下形式，或許看得更清楚一些。

由圖中可見:

兩邊微分并整理：

._du(t)du(t)

4=cI-r；-------c；-J①

dtdt

①式兩邊再次微分以備后用：

力?d2u(t)

c②

dtdrdr

圖中上面兩條并聯(lián)支路兩端的電壓應(yīng)相等:

整理得:

將①式和②式代入③式:

二1憶產(chǎn)'《)血⑺W+C[血⑺"⑺]

一RC)dtdtdtdt

1，八du{t}du?(f)

rr④

Rdtdt

④式兩邊微分以備后用：

成21rdu(t)du(t)d2u(t)d2u(t)

rcrc⑤

dtRdtdtdt2dr

再觀察圖中，添加輔助電壓片。)，有：

〃「?)=’2尺+〃1Q)⑥

且有：

%(，)=《「力

i=ix+，2

此二式均代入⑥式:

u*)=i2R+ux⑺

=i2R+^^idt

=評(píng)+如+i2)dt

兩邊微分并整理：

也&=R^+L(i、+i,)

將①、④、⑤三式代入⑦式，并經(jīng)整理，有:

+3“<.(，)=AC/%⑴+2血，⑺1.、

+——?,r.(/)

dti\Cd產(chǎn)dtRC

或也可寫成:

d，c(t)13%")?1小屋M,⑺，2du(t)1

")=下「+r

dt2RCdtR2c2RCdtR2c2

解法二：本題以上的求解過(guò)程較為繁復(fù)。但采用電工學(xué)中的等效阻抗法求解要方便得多，見下。

由圖可寫出如下方程:

U,(S)=H/2(S)+U(S)+/2(S)]白⑴

人⑸白二?、梢籛(s)

⑵

I必5)=/|(6/+[/仆)+/2($后

⑶

聯(lián)立式⑴、⑵、(3),消去中間變量L(s)/(s)，可得:

222

Uc(s)_RCs+2RCS+1

222

Ur(s)~RCs+3RCs+\

微分方程為：

drRCdtR2c2drRCdt

2-2試證明題2-2圖中所示的力學(xué)系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)(即有相同形式的數(shù)學(xué)模型)。

解：

2-2(a)見題圖，取輔助點(diǎn)A、B兩點(diǎn)。

A點(diǎn)力平衡方程：k2[x(t)-y⑺]+〃/華一名馬=〃/竽一駕馬①

dtdtdtdt

B點(diǎn)力平衡方程：華—駕°]=勺/。)②

atdt

①式兩邊拉氏變換：

的[XG）-y（5）]+%[5X（5）-5/（5）]="JsY（S）-sX￡s）]③

②式兩邊拉氏變換：

.[sy（s）—SXB（S）]=%XB（S）

整理上式：

XBGM/IJ]⑸④

k1+//）s

④式代入③式，并整理得傳遞函數(shù)：

Y（s）_從4^+（4&+外Z]）S+K女2

X（5）4]42s2+（〃#]+4#2+〃2%|）S+k\k?

或?qū)懗桑?/p>

.$2+（4+&）S+1

丫⑻.k屈&占⑤

x（s）或J+（，6+必）S+]

kxk2k2k、k2

2-2(b)可以采用等效阻抗法。見題圖，紅色虛線框內(nèi)分別是兩個(gè)復(fù)數(shù)阻抗乙，22：

1二M

Z,為并聯(lián):Z\

~1+R仆

&

Z2為串聯(lián)：Z?=4+」-=R2.上+1

^^2S^^2$

而輸出輸入關(guān)系為：

.(/)=7：7"⑺

4+42

兩邊拉氏變換：

/JII//)

整理得傳遞函數(shù)：

R2Gs+1

1

Uc(5)Z[C2sH]凡GG—+(KG+R)G)s+1

⑥

U,(s)-Z1+Z2-Ri[&。2$+1-&R2cC2s2+(NC+R°2+R2c2)s+1

1+RIG5C2s

比較兩個(gè)傳遞函數(shù)⑤式和⑥式，二者在結(jié)構(gòu)上完全相同；二者在參數(shù)上也呈對(duì)應(yīng)關(guān)系：

即：R,＜時(shí)應(yīng)＞4,G＜時(shí)應(yīng)＞」■

&

所以兩個(gè)系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。

2-3求下列函數(shù)的拉氏變換。

(a)/⑺=1+4"產(chǎn)

解:查拉氏變換表中序號(hào)2、3和4,然后迭加即可:

f(t)=1+4Z+/2=l+4f+2x；/

142

(b)/(/)=sin4r+cos4r

解：查拉氏變換表中序號(hào)8和序號(hào)9,然后迭加即可:

45+4

F(s)=-----------1-------------=-------------

2+4252+42$2+16

(c)f(t)^t3+e4'

解：查拉氏變換表中序號(hào)5和6,然后迭加即可:

.4-1

/(0=r3+e4z=(4-l)!x:-----------F€,-(Y)r

(4-1)!

F(5)=(4-1)!X-4+13!1

s+(T)545-4

(d)=

解：利用拉氏變換表中序號(hào)7：

/⑺3"=("+1—l)!x；~~-

1川

F(5)=(〃+1—1)!X-------------=——r

[5+(-fl)]n+?l(.v-?)n+,

(e)=

解：可以利用延遲定理求解。

第一步，根據(jù)拉氏變換表中序號(hào)7公式，即：

當(dāng)/⑺=7^e-"①

(〃—1)!

時(shí)，有.(5)=1

(s+ci)

又根據(jù)教材P22延遲定理公式(2?10),當(dāng)，=>,一廠時(shí)，即

當(dāng)-r)=D"'②

時(shí)，其拉氏變換變?yōu)閑-''/(s)=:——③

(5+a)

用T=1,〃=，。=-2代入/?)表達(dá)式②：

(fT產(chǎn),3)

④

(3-1)!

根據(jù)③，其拉氏變換變?yōu)?'F(s)=—⑤

("2)3

第二步，本題化為④式形式，即：

f(t)=(t-i)2e2'=2e2x^(t-l)2e2l，-,)

,~s2e~(s~2)

根據(jù)⑤，其拉氏變換變?yōu)椋篎(s)=2e2x—e~-=-―-

。一2)3(—2)3

2-4試求題2-4圖所示各信號(hào)的象函數(shù)。

必)='(力+々。)

其中，玉Q)=2,x2(r)=r-z0(r>?0)

各自的象函數(shù)為：

對(duì)于玉(/)：X(s)=2

S

對(duì)于工20)，為延遲"時(shí)間的斜坡函數(shù)，可應(yīng)用延遲定理。已知單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)為《

,由延遲定理,

其延遲％時(shí)間的象函數(shù)為X,(s)=一廠。

S

得：

X(s)=X(s)+X2(s)

2e%

(b)

本小題的解題思路與(a)相同，可應(yīng)用延遲定理。

(1)由圖可知，X”)由4個(gè)分段階躍函數(shù)組成，即:

x(f)=Q+(b——，])—(Jb—c)(/一)—c(t—J)

后3個(gè)階躍函數(shù)分別延遲了4,jG時(shí)間，只要在各自對(duì)應(yīng)的象函數(shù)乘以延遲因子-3,6,小刎即可,即:

X(5)=-[a+(&-d)e-v-{b-c)e-，2S-c""']

解：2-4(c)解題思路與(a),(b)相同，仍是應(yīng)用延遲定理。

(C)

4--s

XG)=衣

2-5求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。

s+1

(a)/G)=

(5+2)(5+3)

解:

F(s)

5+25+3

c.=limF(s)(s+2)=-1

s―>—2

Cy-lim/(s)(s+3)=2

s->-3

-12

F(s)=----------1----------

s+2s+3

拉氏反變換(查表)：/?)=—e-"+2e-”(r>0)

2s2-5s+1

(b)R(s)=

5(52+1)

解:

令A(yù)(s)=5(52+1)=0,得S]2=±J,$3=0

故尸(S)=半8+2

5+1S

由待定系數(shù)法求得J=1,c2=一5,C3-1

,―,、s—511s5

即ni尸(S)=-----1—=—F

S+\SS52+152+1

拉氏反變換(查表)：/Q)=1+cos/-5sin，(r>0)

S+1

(C)/(s)=

s(s-+2s+2)

解：

令A(yù)(s)=s(f+2v+2)=0,得S]2=—1±，*=0

qs+c

故尸(s)=2

s~+2s+2s

由待定系數(shù)法求得C]=-g,。2=°，。3=g

即

/G)=

s~+2s+2s

2_J__J_s+i1

2~s~2Cv+1)2+1(5+17+1

拉氏反變換(查表)：/?)=g-ge-'(cost-sinf)(r>0)

(d)F(s)=―-

5-1

解：

令月")=1，則/(f)=e'

s-1

由于b(s)=e-'f；(s),根據(jù)延遲定理，有丁=1

所以，=

(e)F(s)=------------

S(S+2)3(S+3)

解：

…-1/21/4-3/81/31/24

原式=-J+―-7+――+――+--

(s+2),(s+2)~(s+2)(s+3)s

所以，f(t')^-—e~2'+-e"2'--e~2'+-e~i'+—

448324

2-6已知在零初始條件下，系統(tǒng)在單位階躍作用rQ)=1(。時(shí)，輸出響應(yīng)為c?)=l—2e-"+eT,試求系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)。

解：

單位階躍輸入時(shí)，有R(S)=L,依題意

s

?、1213s+21

C(5)=-------+----=--------------

S5+25+1(5+1)(5+2)S

則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

C(5)3s+21/I3s+2

G(s)=------------------/-=-----------

R(s)(s+l)(s+2)s/s(s+l)(s+2)

2-7已知系統(tǒng)的微分方程為a半+3也S+2c")=2rQ),試求解系統(tǒng)在零初始條件下，輸入/??)=1")

drdt

作用下的輸出c?)。

解：

對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換：

?C(5)+3sC(s)+2C(s)=2R(s)

即：

C(s)=^----R(s)

(52+3.V+2)

單位階躍輸入時(shí)，有R(s)=,，代入上式：

S

~、21121

C(5)=—;----------=--------1-----

(s+3s+2)sss+1s+2

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，即得輸出c(f)：

c?)=l—2/+0口

2-8試求解微分方程4學(xué)+5四D+6C")=6,設(shè)初始條件為零。

dtdt

解：

對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換：

,6

s2c(s)+5sC(s)+6C(s)=—

11-32

C(s)=--=-+--+一

s(d+5s+6)ss+25+3

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，即得輸出c“)：

c(t)=l-3e~2'+2e~3'

2-9求題2-9圖所示各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

U/S)

R5%/C

(a)(b)(c)

題2-9圖

解：

2-9(a)根據(jù)運(yùn)算放大器“虛地”概念(參電路原理知識(shí))，可寫出

U,(s)=R?

灰T一兄

2-9(b)根據(jù)復(fù)數(shù)阻抗概念，參(a)：

&(s)=Z]

國(guó)一一兀

其中，Z?=4+-!-=-」(串聯(lián))，z,=--------R,

(并聯(lián))

C2sC2s—+crv1+KGs

4

R0C)s+1

故U,(s)=Z2_C2s_(1+R|Gs)(l+R2c2$)

u,.(s)—N_—A—RJ

1+/?C|S

2-9(c)根據(jù)復(fù)數(shù)阻抗概念，參(a)：

U,(s)=Z]

。，⑸一4

其中，Z,=—^—=—^―(并聯(lián))，4=4

，+Csl+&Cs

R，

故4.(s)Z?1+R2csRJR、

u,(s)4/?,1+R2CS

解：

經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為方便起見，在以下的推導(dǎo)中，先用符號(hào)代替具體的函數(shù)，推

導(dǎo)完成后再代回。

第一步，簡(jiǎn)化一個(gè)小閉環(huán):

G2_0.2

1+G,K?s+0.6

第二步，再簡(jiǎn)化一個(gè)小閉環(huán):

G}_s+0.6

1+G1①IK3-(52+0.3s+l)(s+0.6)+0.08

第三步，簡(jiǎn)化大閉環(huán):

Q,G)---------QG)

----->①(S)------>

①")=

1+K1①2G3

最后，將各個(gè)函數(shù)和系數(shù)代回，得

OU)=-------------空”----

3

Qr(s)5+(0.9+0.7K)52+(1.18+0.42K)s+0.68

2-11已知系統(tǒng)方程組如下，試?yán)L制系統(tǒng)方塊圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)%。

R(s)

(s)=G(s)H(s)--(s)&(s)-G8(5)]C(5)

X2(5)=G2(5)[%)(5)-G6(5)X3(5)]

'X3(5)=[X2(5)-C(5)G5(5)]G3(5)

.C(5)=G_,(S)X3(S)

解：系統(tǒng)方塊圖為:

結(jié)構(gòu)圖等效變換:

從上圖可以清晰地看出變換效果，閉環(huán)系統(tǒng)有三個(gè)反饋環(huán)，且不存在交叉關(guān)系。因此，從內(nèi)到外逐個(gè)消除反

饋環(huán)后即得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

C(s)_G]G2G3G4

R(s)1+G^GTG^+G3G4G5+G|G-,GJG4G7~~G[G,G3G4G§

2-12已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題2-12圖所示，求輸入，")=3x1(，)時(shí)系統(tǒng)的輸出c?)。

題2-12圖

2

解：設(shè)G(s)=-----------H(s)=s+1

s~+2s+1

則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

2

小/八()S2S

(P(5)=-C---s-=------G--(-s-)----=--------+--2--+---\-----=---2------

R(s)1+G(s)”(s)i?2/+4S+3

52+25+l

3

當(dāng)r(f)=3xl(。時(shí)(即幅值為3的階躍函數(shù))，R(s)=~,有：

s

232—31

C(s)=①(s)R($)=-----------二=一+=一+——

1T+4s+3sS5+15+3

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，即得輸出c(f)：

c(r)=2-3eT+e-"

2-13試用方塊圖等效變換化簡(jiǎn)求題2-13圖所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)工里。

將前饋通道與反饋通道分開；并注意反饋符號(hào):

或者

口

R(s)GrGzCG?

Al-G2H"

C(s)G,-G

閉環(huán)傳遞函數(shù):2

R(s「l-G2H

［另一種解法］雖未采用方塊圖等效變換化簡(jiǎn)方法，但卻有新意。

C（s）=G,/?（5）-G2［7?（5）-//C（5）］

兩邊除以R（s）：

C(s)C(s)C(s)

=G.-GJl-H]=G—G-,+G,H

RG)

C(s)

[1-GW]=G,-G

雨22

C(s)G、—G2

~R(S)~\-G2H

口

選擇交換點(diǎn)時(shí)，一要預(yù)判可行性；二要看是否對(duì)全局有利:

口

口

R(s)G]G2G3C(￥

1+G,G2+G2G3+GQ2G3

C(5)G]G2G3

閉環(huán)傳遞函數(shù):

R(s)1+G]G)+G0G3+G|G9G3

解：2-13(c)

口

I"I「

口

口

口

二個(gè)大反饋構(gòu)成并聯(lián):

_____n_____

____________G。2G3+GC4_____________C(?

1+GlG2Hl+G2G盧)+G]G2G3+GiG4+G4H?

C(s)_G]G2G3+GG4

閉環(huán)傳遞函數(shù):

H(s)1+G\G?H1+G2G3H)+G]G?G34-G,G4+G4H^

解：2-13(d)

口

為合并三個(gè)反饋環(huán)創(chuàng)造條件：

口

三個(gè)反饋環(huán)為并聯(lián)關(guān)系:

口

R(s)C(s)

------?

今

口

G2G3

閉環(huán)傳遞函數(shù)：且D=G,+。

R(s)l+G,G,H,+G2H,+G2G3H2

2-14試用梅遜公式求2-13題中各方塊圖對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

2-14(a)解

圖中有2條前向通路，I個(gè)回路

6=G，A,=1,P2=-G2,A2=LL,=G2H,A=l-Z1

C(.v)[△]+￡△,G、—G?

~R(s)~A~l-G2H

2-14(b)解

A=l,L,=-G{G2,L,=-G2GyL,=-G,G2G3

A=l-d.+Z.+L,)

C(5)_/]A,<G2G3

R(s)△1+G]G)+G2G3+G]G2G3

2-14(c)解

圖中有2條前向通路，5個(gè)回路

R=G\G2G3,A,=LP2—G}G49A2=1

L]二—G[G2Hi，=—G2G3H29Ly=—G]G2G3,L4=—G]G4,k=—G4H2

A—1—(Zq+Z>2++L4+L§)

C(5)+GjG2G3+GjG4

R(s)A1+G]G1H]+G2G3H2++G)G4+G4H?

2-14(d)解

圖中有2條前向通路，3個(gè)回路

A=GG2G3,A=LP?=GA，A2=A

L1sHI，4=-G2”],k=—Gq3H?,△=1一(4+4+4)

C(s)=的+W=p+分=GTG|G2G3

24

R(s)AA1+G,G2H}+G2H,+G2G.H2

2-15試用梅遜公式求題2-15圖中各系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

2-15(a)解

I巴卜-

咫)一|_坐）

_??"**5

-

6

圖中有1條前向通路，4個(gè)回路

《=G|G2G3G4,△1=1

L^GZG'H],k=—GiG2G3H3,A=G1G2G30g，L4=-G3G4H2

△=1-(4+4+4+4)

則有效=3

R(s)A1-G2G3乜+G@G3H3—G{G2G.G4H4+G3G4H2

2-15(b)解

圖中有2條前向通路，3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路

=G]G2G3,Aj=L旦=G3G4,A2=1—^=i+G]H]

k=_G]H],J=G3H?4=-G|G2G3乜“2"3

A=1—(4+z^2+4)+

uC(s)GQG+GsGKl+Gid)

則有T-----=-------------=---------------------------------------------------

R(s)A1+G]H、—G3H3+GGGH[H2H3—G】H]G3H3

2-15(c)解

(c)

圖中有4條前向通路，5個(gè)回路

6=-G1,6=GG，P3=G2,P、=GS

￡,=G],Z,=—GtG2,Lj——G2>L4——G2Gp￡5=—GiG2

Aj=A,=A3=A4=L△=1—(4+L,+A+4)

則有C(s)_44+儂2+Ad+Pd_-G]+GQ2+G2+G2Gl_2G\G2--G\+G2

R(s)A1—G|+G|G,+G,+G,G]+G}G21—G1+G,+3GQ,

2-15(d)解

W

圖中有2條前向通路，5個(gè)回路

q-G]G2>A]=1,P,—G3,△,=1

L,——G2H},J=—G]G2H2,￡3——QG,?L4——Gy=G3H2H之

A=1—(4+L^y++L&+L5)

則有」(s)_'A+P4iGG?+G、

R(s)A1+G,H]+GyG^H-,+G,G,+G3—G^H、G、H?

2-15(e)解

圖中有2條前向通路，3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路

[=G]G2G3,A(=1,P2=-Gfiv

L,——GXG2HX,L,——G3H2,工——G2H3

則有C(s)g+-4GQ2G3-G4G3(1+G6"J

R(s)~A-l+GgHi+G3H2+G2/+GQ2G3”|“2

2-16已知系統(tǒng)的方塊圖如題2-16圖所示，圖中R(s)為輸入信號(hào)，N(s)為干擾信號(hào)，試求傳遞函數(shù)口,

R(s)

C(s)

西。

2-16(a)解

Ms)

⑷

令N(s)=O,求￡叁。圖中有2條前向通路，3個(gè)回路，有1對(duì)互不接觸回路。

R(s)

q=G}G29△]=LP2=GC3,A2=1—￡)=\+G2H,

L]=—G?H,L2=—GJG2>L3=—G1G3,

A—1—(Zq+L>2+L3)+ZqL3,

則有c(s)GG+GG(l+a”)

R(s)-A-1+G2H+G,G2+G,G3+G,G2G3H

令R(s)=O,求&祖。有3條前向通路，回路不變。

N(s)

6=—LA[=1—4,P2=G4G,G2,A2=L

A

P3=G^GXGV3

A=1—(￡>]+)+￡]￡3,

則有C(s)__△]+P]Z+P43_-T-G2H+64602+646163(1+62”)

~N(s)~A—1+G2H+GG+-G3+G、G2G3H

1個(gè)回路。

DKs

6=777A,=L

C(5)々A〕Ks

則有

瓦3-Z--(2K+l)s+2(K+1)

令R(s)=O,N,(s)=O,求O1。圖中有1條前向通路，回路不變。

N](s)

Pi=S,△]=1,

則有用=弛=sG+2)

N、G)△(2K+l)s+2(K+l)

令R(s)=O,N|(s)=O,求生Z。圖中有1條前向通路，回路不變。

4=一三，4=1'

C(5)_^A,_-2K

則有

N,s)—-(2K+l)s+2(K+1)

2-16(c)解

9)

令N(s)=0,求C?。圖中有3條前向通路，2個(gè)回路。

R(s)

片=G2G4，A,=LP2=G3G4，A2=LA=G1G2G4，A3=1,

4=—G2G爐J=—G3G4,A=1—(L1+L2)9

有C(s)_+C42+4A3_G2G4+G3G4+GQ2G4

^(5)"A―_I+G2G4+G3G4

令R(s)=0,求C迫。有1條前向通路，回路不變。

N(s)

P1—G4,△1=1,

C(s)=g=G&

則有

N(s)-A-1+G2G4+G3G4

2-17(補(bǔ)充)象函數(shù)為

3s+2

尸(s)

(s+l)(s+2)

①應(yīng)用終值定理求/⑺的終值;

②求F(5)的原函數(shù)/(f),并令/f8求得/(8)來(lái)證明①的結(jié)果。

解:

（1）由終值定理:

3s+2

lim/a)=lim5F(5)=lim5=0

(5+1)(5+2)

(2)

尸(s)=旦+上

s+1s+2

q=F(5)(5+1)|J=1=-l

c2=F(s)G+2)[-2=4

/⑺)同)]"5+&32yro

/(oo)=limf⑴=0得證

2-18（補(bǔ)充）象函數(shù)為

3s+2

F(s)=

(5+1)(5+3)

③應(yīng)用終值定理求/⑺的終值;

④求F"）的原函數(shù)/（f）,并令/f8求得/（8）來(lái)證明①的結(jié)果。

解：

（1）由終值定理:

3s+2

limf(t)=limsF(s)=lims—：--------=0

.ST。2。(S+l)(.S+3)

(2)

s+3

J=F(S)(S+1)LT=—g

7

C2=F(5)(5+3)|i=_3=-

-1/27/2

/(0=L-'[F(5)]=L-1—:—+——r>0

S+15+3

/(oo)=lim/(r)=0得證

2-19（補(bǔ)充）某控制系統(tǒng)的微分方程為

T^^+c(t)=Kr(t)

dt

其中T=0.5sec,K=10。設(shè)初始條件為零，試求：

(1)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；

(2)該系統(tǒng)的階數(shù)和時(shí)間常數(shù)；

(3)*若輸入為脈沖函數(shù)3(f),求輸出c(f)。

解：

/、?、K10

(1)G(s)=-----=-------

Ts+10.5s+1

(2)系統(tǒng)階數(shù)n=l,時(shí)間常數(shù)T=0.5秒

(3)*因輸入7?(s)=A(s)=1,

故C(s)=G(s)R(s)=G(s)=10=，得c(r)=20e-2'

0.55+15+2

2-20(補(bǔ)充)某二階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)如下，它是否為振蕩環(huán)節(jié)，為什么?

2

G(s)=

s~+3s+2

解:

22

解法1:G(5)=--------=-----------,這是二個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，有二個(gè)實(shí)極點(diǎn)，不是一對(duì)共軌復(fù)數(shù)極點(diǎn),

S2+3S+2(5+1)(5+2)

故不能振蕩;

解法2:二階振蕩環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

G(5)=-呸---?

s~+2匏尸+怒

比較給定G(s),得

3；=2,con=72

2處,=3,二=六3=—3==1.06>1,是過(guò)阻尼，不能振蕩.

2con2V2

3-1已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GtG)=U一,試求其單位階躍響應(yīng)。

Ts+1

解法一，采用拉氏反變換：

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：①($)=2=5(S)K

R(s)1+G(s)Ts+K+l

輸入為單位階躍，即：R(s)=1

s

B

故:」+

可由待定系數(shù)法求得：A=—,B=-——

K+\K+\

K/K+l_K\1

所以,小K+1=77T(7―5?K+1)

s

對(duì)上式求拉氏反變換:

c(f)=

解法二，套用典型一階系統(tǒng)結(jié)論:

由式(3-15),已知典型一階系統(tǒng)為：①(s)=C@=」一

H(s)Ts+1

由式(3-16),其單位階躍響應(yīng)為：c(t)=i-er，

1

若一階系統(tǒng)為①G)=3=則其單位階躍響應(yīng)為：c(f)=K(l—/亍’)

H(s)75+1

C(5)_G(s)_K_K/'(K+1)K'

頊木率纖閉壞傳說(shuō)函和頭i?①rc-k

R(s)1+G?(s)Ts+K+\Ts/(K+1)+1n+i

TK

其中，T'='~,K'=」一

K+lK+]