圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值和定直線問題（解析）

1交于H1(1)求動點(diǎn)H的軌跡Γ的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)F和T(7,0(的圓與直線l：x=4交于P，Q，已知點(diǎn)A(2,0(，且AP、AQ分(1)+=1(1)利用橢圓的定義即可求出動點(diǎn)H的軌跡Γ的方程；x2(1)如圖所示，∴點(diǎn)H的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，2-c2=3.(2)設(shè)直線MN的方程為：x=my+n，!x=my+n+4(y2+6mny+3n!x=my+n設(shè)M(x1,y1(，N(x2,y2(，則y1+y2=-34，y1y2=.+x2=m(y1+y2(+2n=，x1x2=(my1+n((my2+n(=x1-211以PQ為直徑的圓的方程為：x-42+y-y-=0，即x-42+y2-+y+2x2-2x2-2得9+ x1x2-2x1+x2+4所以直線MN經(jīng)過定點(diǎn)1,0，22(1)求橢圓M的方程；(2)直線l與橢圓M交于C,D兩個不同的點(diǎn)(異于A,B)，過C作x軸的垂線分別交直線AB,AD于點(diǎn)P,Q，(1)+y2=12y=kx+m+y2=1消去y得(4k2+1(x2+8kmx+4m2y=kx+m則Δ=64k2m2-16(m2-1((4k2+1(=16(4k2-m2+1(>0，2+1>m21+x2=，x1x2=,2=y1+--?y22+x2y-22=，即(kx1+m((x2-2(+(kx2+m((x1-2(=[x1x2-2(x1+x2(+4[，即(1-4k)x1x2+(4k-2m-2)(x1+x2(+4+8m=0，得m=-2k-2或m=-2k，當(dāng)m=-2k-2，此時由Δ>0，得k<-所以l的方程為y=kx-2k-2，即y=k(x-2)-2，33合BH⊥PQ于H確定H軌跡，進(jìn)而可得定點(diǎn)使得|TH|為定值.32=4(2)若直線BQ斜率為k，則直線AP斜率為2k，而A(-2,0),B(2,0)，所以BQ:y=k(x-2)，AP:y=2k(x+2)，Q=-1k2，Q-xP=-=，yQ-yP=-1k2-1k2=-(12(32k2(，4-4≠02，x+k2)，4-4=0Q=-且yQ=-，xP=-且yP=，故直線PQ過定點(diǎn)（-,0(;若k=-，則xQ=-且yQ=，xP=-且yP=-，故直線PQ過定點(diǎn)（-,0(;綜上，直線PQ過定點(diǎn)M（-,0又BH⊥PQ于H，判斷其過定點(diǎn)是關(guān)鍵.444422my1y2-3y1+y2直徑的圓過定點(diǎn).(1)+=1；(2)證明見解析.(1)根據(jù)橢圓的定義結(jié)合三角形不等式求解即可；(2)設(shè)Dx1,y1,Ex2,y2，直線DE:x=my-1，代入+=1，整理1+y2=,y1y2=，-4,,從而中點(diǎn)P-4,-3+,令y=0得，x+4x-x1 y1x1-2+ x2-2= my1-3-18m18m-3y1+=0， my2-3m2y1y2-3my1+y2+9=-+-41+9=-m=-m，3m2+43m2+4所以x+4x-x1+3my1=0，即x2+4-x1x-4x1+3my1=0，因?yàn)閤1=my1-1，所以x2+5-my1x-my1+4=0，即x+1x-my1+4=0，52(； 5已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F且平行于y軸的弦PQ=AF=3.t)(x1+x2)+2x1x2=0，結(jié)2=b2+c2,=a+c=3∴a=2,b=3,c=1;y=k(x-t)+=1，消去y得(4k2+3(x2-8k2tx+4(k2t2-3(=0，則Δ=48(k2+3-k2t2(>0,x1+x2=,x1x2=①6(1-x1((t-x2(=(1+k2((t-x1((x2-1(1已知點(diǎn)P(4,3(為雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)，E的左焦點(diǎn)F1到一條漸近線的距離為1得直線y=kx+t過定點(diǎn)(-2,3).2+b2=c2得b=3，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.(y=kx+t-=1，消去y并整理得(3-4k2(x2-8ktx-4t2-12=0，2t2+4(3-4k2)(4t2+12)>0，即t2+3>4k2，27則x1+x2=，x1x2=-，則kPA+kPB=y1-3x1-4+y2-3x2-4=kx1+t-3x1-4+kx2+t-3x2-4= kx1+t-3x2-4+kx2+t-3x1-4=x1-4x2-4=2kx1x2+t-4k-3x1+x2-8t+24x1x2-4(x1+x2)+16=1，所以2kx1x2+t-4k-3x1+x2-8t+24=x1x2-4(x1+x2)+16，所以2k-1x1x2+t-4k+1x1+x2-8t+8=0，所以(t-3)2+2k(t-3)-8k2=0，所以t-3-2kt-3+4k=0，所以t-3-2k=0，即t=2k+3，所以直線y=kx+t=kx+2k+3，即y-3=k(x+2)過定點(diǎn)(-2,3).222-=12+y2=1-182+2a=22-a2，2=c2-a2=4-1=3，故雙曲線C的方程為x2-=1；(2)設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2,MN的中點(diǎn)為Qx0,y0因?yàn)镸,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.x-=1,①x-y=x0==2,③y0=,④①-②得x1+x2x1-x2-=0，因?yàn)镸N的中垂線為直線l，所以y-y0=-x-2，即l:y=-x-8，所以存在以8,0為圓心的定圓E:(x-8)2+y2=1，使得l被圓E截得的弦長為定值2.9332-=1 a=3，所以雙曲線C的方程為x2-=1.（x=ky+2k2-1(y2+12ky+9=0，3k2-1≠0，Δ=36k（x=ky+2所以y1+y2=-，y1y2=，+kEQ=0，有+=0，即+=0，得2ky1y2+(2-t((y1+y2(=0，所以2k+(2-t(.44于是λ=-=，雙曲線C的方程為-=，即-y2=1，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.-1(x2+8kmx+4(m2+1(=0，2-16(m2+1)(4k2-1)>0，即4k2-1≠0且4k2-m2-1<0，有x1+x2=km-1y2=(kx1+m((kx2+m(=k2x1x2+km(x1+x2(+m2，-2((x2-2(+y1y2=0，1x2+(km-2)?(x1+x2(+m2+4=0，2+4=0，化簡得3m2+16km+20k2=0，即(3m+10k)(m+2k)=0，解得m=-2k或m=-k，均滿足條件，綜上得直線EF過定點(diǎn)M,0(,韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.552-=1；2=c2-a2=4-1=3，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.故設(shè)其方程為x=my+2m≠±,聯(lián)立雙曲線方程x2-=1可得：(3m2-1(y2+12my+9=0，則y1+y2=-,y1y2=，x1+x2=m(y1+y2(+4=-，x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2(+4=；=9+9?y1y2=9+9?3m2-144x1x2+x1+x2+144-+1=+?=0A=2∠PAF2成立；當(dāng)直線PQ斜率存在時，α,直線PA的傾斜角為β, 2kPA 2kPAα(=-tanα=tan2β=,也即-kPF=1-kA1-tan2β (x+ (x+1(2-y2又-kPF=-；=1-kA1-又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x2-=1，則y2=3x2-3， 2kPA1-kA= x+12-y2= x+12-3x2+3=2y(x+1)=2y(x+1)=-y-2x2+2x+4-2(x-2)(x+1)x-2=-kPF；A=2∠PAF2成立；A=2∠PAF2恒成立.1已知動圓M恒過定點(diǎn)F（0,，圓心M到直線y=-的距離為d,d=MF+.1(1)求M點(diǎn)的軌跡C的方程；(1)x2=y(1)設(shè)Mx,y，由題意可得y+=x2+y-2(2)設(shè)Ax1,2x,Bx2,x,Qt,t-1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得x1,x2為方程2x2-4tx+t-1=0的兩y-2+，2=y,=設(shè)Ax1,2x,Bx2,x,Qt,t-1，則t-1-2x=4x1t-x1，整理得2x-4tx1+t-1=0，同理由切線QB可得：2x-4tx2+t,x2為方程2x2-4tx+t-1=0的兩根，則x1+x2=2t,x1x2=，可得直線AB的斜率kAB==2x1+x2=4t，設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0,y0(，則x0==t,y0==(x1+x2(2-2x1x2=4t2-t+1，即N(t,4t2-t+1(，所以直線AB：y-(4t2-t+1(=4t(x-t(，整理得y-1=4t（x-,mk+n，得y=k(x+m(+n，故動直線過定點(diǎn)(-m,n(； C2相切.(1)x2=12y；(2)依題意設(shè)M(m,-3)，求出切線l2的方程和B點(diǎn)坐標(biāo)，求出=(x1-2m,6(，=(x1-m,3(即可求解作答.2=12y的準(zhǔn)線為y=-3，設(shè)M(m,-3)， x6 x6由y= x2于是切線l2的方程為y=x1(x-x1(+y1，令x=0，得y=-x+y1=-×12y1+y1=-y1，即l2交y軸于點(diǎn)B(0,-y1)，因此=(x1-m，y1+3),=(-m,-y1+3(，=+=(x1-2m,6(，所以點(diǎn)N在定直線y=3上. :x-y+1=0過橢圓C:+=1(b>0)的左焦點(diǎn)，且與拋物線M:y2=2px(p>0)相切.說明理由.2=4x2=1=02+(2-2p(x+1=0，因?yàn)橹本€x-y+1=0與拋物線M只有1個公共點(diǎn)，所以Δ=(2-2p(2-4=0，解得p=2，故拋物線C的方程為y2=4x.由直線x-y+1=0過橢圓C的左焦點(diǎn)得得c=1，2=3，所以橢圓C的方程為+=1.22-1(得k2x2-(2k2+4(x+k2=0，所以Δ=(2k2+4(2-4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k4，x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1((x2-1(=k2[x1x2-(x1+x2(+1[=-4，x2y1+x1y2=kx2(x1-1(+kx1(x2-1(=k[2x1x2-(x1+x2([=-，2N假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)P(x0,y0(，恒有PM⊥PN.0，-y0=0即(2-x0(2+-y0-y0（=0，即(2-x0(2+y-2x2x1y2y0+2=0，即(2-x0(2+y+y0-16=0，令y0=0，可得x0=6或x0=-2.所以橢圓C上存在點(diǎn)P(-2，0(，使PM所以當(dāng)斜率不存在時候也滿足以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)(-2,0(.44(1)x2=4y(2)設(shè)直線AP的方程y-y1=kx-x1，對拋物線方程求導(dǎo)化簡也可得直線AP的方程，由恒等思想可得y0+y1=PH⊥AB得x=-y-y0-2，PH恒過點(diǎn)0,y0+2，從而可得結(jié)論.。設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，直線AP的方程為y-y1=kx-x1，所以AP的方程為y-y1=(x-x1)，把Px0,y0代入AP的方程得y0+y1=.所以直線AB的方程為y+y0=，故AB恒過點(diǎn)0,-y0.因?yàn)镻H⊥AB，所以可設(shè)PH方程為x-x0=-y-y0，化簡得x=-y-y0-2，所以PH恒過點(diǎn)0,y0+2當(dāng)-y0=y0+2，即y0=-1時，AB與PH均恒過(0,1)，55(2)若直線y=k(1)y2=4x(2)過定點(diǎn)-1,0和3,0，理由見解析出y1y22y1+x1y2，根據(jù)M寫出以MN為直徑的圓，韋達(dá)公式代入得(x-1(2+y2+y-22+2(1-p)x+1=0，因?yàn)橹本€x+y+1=0與拋物線C只有1個公共點(diǎn)，所以Δ=4(1-p)2-4=0，解得p=2x2-(2k2+4(x+k2=0，所以Δ=(2k2+4(2-4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k4，x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1((x2-1(=k2[x1x2-(x1+x2(+1[=-4，x2y1+x1y2=kx2(x1-1(+kx1(x2-1(=k[2x1x2-(x1+x2([=-，直線OA的方程為y=x，直線OB的方程為y=x，.即(x-1(2+y2-x21y2y+=0，即(x-1(2+y2+y-4=0，令y=0，可得(x-1(2=4，解得x=3或x=-1.所以以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(-1,01已知橢圓C：+=1(a>b>0(的離心率e=，短1量的線性坐標(biāo)表示可求.b=a2=b2+c2，2=3，+y23+y23則=此時=，=，λ+μ=+=；x2+(8k-8k2(x+4k2-8k-8=0，則x1+x2=，x1x2=，所以λ+μ====，22圓為橢圓的蒙日圓.橢圓圓為橢圓的蒙日圓.橢圓C過PON為定值.【答案】(1)+y2=1(2)根據(jù)題意求出蒙日圓方程為：x2+y2=3，當(dāng)直線MN斜率不存在時，易求出kOM?kON代入到+=1，+=12+=1所以橢圓C的方程為：+y2=1.2+y2=3.=1=2，kON=-1=-2，OMON=-.y=kx+t+y2=1，化簡整理得：(2k2+1(x2+4ktx+2y=kx+t據(jù)題意有Δ=16k2t2-4(4k2t2-4k2+2t2-2(=0，于是有：t2=2k2+1.(x21(x2+2ktx+t2-3=0，Δ1=4k2t2-4(k2+1)(t2-3)=4(3k2-t2+3)=4(3k2+3-2k2-1)=4(k2+2)>0，x1+x2=-，x1x2=.則kOM?kON==(kx1+x2+t(=k2x1x2+k+x2(+t2=k2+=k2+==，2=2k2+1，所以kOM?kON===-.33段F2M為直徑的圓O1內(nèi)切.【答案】(1)+y2=1+根據(jù)橢圓的定義可知動點(diǎn)M是以F1(-1,0(，F(xiàn)2(1,0(為焦點(diǎn)的橢圓，2-c2=1，所以動點(diǎn)M的軌跡方程為+y2=1.聯(lián)立直線l和橢圓E的方程得+y2=+1(x2+4kmx+2m2-2=0，因?yàn)镹F2與直線l垂直，所以NF2的方程為y=-(x-1(，所以|ON|2=2+2====2，所以|ON|=2，1,0(作直線l的垂線，則垂線方程為x=1，此時N(1,1(或N(1,-1(，則|ON|=2，1,0作直線l的垂線，則垂線方程為y=0，此時N-2,0或N2,0，則ON綜上可得ON=2為定值.分別求出ON的值.4設(shè)橢圓E：+=1a>b>0過點(diǎn)M2,1，且左焦點(diǎn)為F1-2,0.4(1)求橢圓E的方程；(2)△ABC內(nèi)接于橢圓E，過點(diǎn)P4,1和點(diǎn)A的直線l與橢圓E的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)Q，滿(1)+=1積公式求△PBC的面積.2=a2-b22=2(2)設(shè)點(diǎn)Q,A,D的坐標(biāo)分別為x,y，x1,y1，x2,y2.APAPAQ PDQD從而=4x①,=y②,又點(diǎn)A,D在橢圓C上，即x+2y=4③,x+2y=4④,即點(diǎn)O(x,y)總在定直線2x+y-2=0上.∴BC所在直線為2x+y-2=0上.(2x+y-2=03+x4=,x3x4=，2+223-x4|=53+x4)2-4x3x4=5?2-=，又P到BC的距離d==，△△PBC=形的面積等問題.55斜率成等差數(shù)列.解得a=2，b=c2-a2=3，則橢圓C的方程為+=1；0由題意可得直線MN的方程為y=x-1，7x2-8x-8=0，x1+x2=，x1?x2=-,kPM+kPN=0--+0--=(y0-x1+1)(4--xy-0+1)(4-x1)=8y0+8+2x1x2-(y0+5)(x1+x2)=8y0+8--y0+5)=2y016+x1x2-4x1+x216--3,又kPF=，則kPM+kPN=2kPF，則直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列.1直平分線l與直線PF1交于點(diǎn)M．記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.1證：為定值.2-=1；連結(jié)MF2=4，設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0)，2=c2-a2=4-1=3，故所求C的方程為x2-=1.y=k(x-2(x2-=1，(3-k2(x2+4k2x-4k2y=k(x-2(所以x1+x2=,x1x2=，則y1+y2=k(x1+x2(-4k=-4k=，==1;2-=，又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2?2-4=，= =|k2-3| |k2-3|=1;2(；22).21k2是定值嗎？證明你的結(jié)論.2=1+k2，)x2-2mkx-(m2+1)=0，22+4(1-k2((m2+1(=4(m2+1-k2(=8>0，x12=<02<1,∴-1<k<1，2-)==k2x1x2+mk(x1+x2)+m2x1x2+(x2-x1)-1=?-mk?+m2--1==m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2m2+1-22-k2+1= k2-m2m2-k2+2-22,又因?yàn)閙2=1+k2，所以m2-k2=1，2==-(3+22)為定值.33 2 【答案】(1)-y2=1【分析】(1)題意可得TP=TM，即可得到TM-TC=23<CM，根據(jù)雙曲線的定義得到點(diǎn)T的2+y2=12可知，C-2,0,r=23，因?yàn)榫€段PM的垂直平分線n與直線PC交于點(diǎn)T，∴TP=TM，所以TM=TC+23或TC=TM+23，所以TM-TC=23<CM，所以2a=23,c=2，所以a=3,c=2,b=c2-a2=1，所以點(diǎn)C的方程為-y2=1.y=kx+m,聯(lián)立方程組-y2=1,得1-3k2x2-6mkx-3m2-3y=kx+m,由Δ=36m2k2+41-3k23m2+3=0，得3k2=m2+1，y=kx+m,得xy=kx+m,得x=-3m√3k-1.不直線l與y=x的交點(diǎn)為A，則xA=-.同理可求xB=-，所以AB=1+k2×xP-xQ=.所以S△OAB=ABd=，又因?yàn)?k2=m2+1，所以S△OAB=3， 2此時AB=2 244點(diǎn).設(shè)Qx0直線MN：y-y0=x-x0，即MN：y=x+.9-16k2x2-32kmx-16m2+9=0.所以x1+x2=，x1x2=-.又因?yàn)橹本€A1M：y=x+4、直線A2N：y=x-4聯(lián)立得：-=?=?=?.2+3x1x2+44km+3x1+x2+16m2+3=0.?m2+916k2+3-8km4km+3+m2+316k2-9=0.?-24km-6m2+16×12k22-4km-m2=0?m=-8k或m=4k(舍).所以?8=?x0-62+y=4.5:-C的漸近線與圓x2+y2-6y+8=0相切.2-=1(1)由題意點(diǎn)P(2,26(在雙曲線C上，可得-=1，故雙曲線方程為x2-=1；「y=k(x-3(x2-=1-k2(x2+6k2x-「y=k(x-3(設(shè)A(x1,y1(,B(x2,y2(，則x1+x2=,x1x2=(k2>8(，即A,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為,,AB的垂直平分線的方程為：y-=-x-,,又|AB|=1+k22-=，+|BF1|-4=|AB|， AF1+BF1-4QF2 AF1+BF1-4QF2 16k2+1=AB=k2-8=2QFk2-81已知拋物線C:x2=2py(p>0的直線交拋物線于點(diǎn)M1=π(2)直線PQ的方程為y=kx+mk≠0以及離公式即可求出點(diǎn)F到直線PQ與到直線l1的距離之比.因?yàn)镺是FB的中點(diǎn)，所以DF=DN,MD⊥DF，故FM==8，所以MN=8，AN=4，所以O(shè)F=AN=2，所以=2，即p=4.2=8y，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+mk≠0，Px1x2x0即x1+x0x2+x0=-64，即x1x2+x0x1+x2+x=-64.0=4k:y=x-x0+=kx-2k2.則x1+x2=8k,x1x2=-8m，設(shè)點(diǎn)F到直線PQ和直線l1的距離分別為d1,d2，2已知拋物線C1:y2=2pxp>0上一點(diǎn)Q1,a到焦點(diǎn)的距離為3.2(2)設(shè)P為直線x=-1上除-1,-3，-1,3兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過P作圓C2:x-22+y2=3的兩條(1)根據(jù)拋物線的定義，Q1,a到準(zhǔn)線x=-的距離為3，(2)設(shè)P-1,y0，過點(diǎn)P的直線方程設(shè)為l:y-y0=kx+1，2-8y+8y0+8k=0，3y4=，2+6y0k+y-3=0，∴k1+k2=-y0，k1k2=，∴y1y2y3y4=64[k1k2+k2y0+y[33(2)過-1,0作直線l與拋物線C交于A，B，求kNA+kNB的值.(1)y2=4x(1)根據(jù)焦半徑公式和圓的弦長公式可解；-4貝塞爾曲線是計算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象4中p>0為一給定的實(shí)數(shù).(1)0,，x=-(1)直接根據(jù)拋物線方程寫出焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程即可；(3)設(shè)A(xA,yA(,B(xB,yB(,C(xC,yC(,D(xD,yD(,E(xE,yE(,F(xF,yF(，設(shè)拋物線x2=2py在A點(diǎn)處的切線方(1)焦點(diǎn)為(2)將y=kx-2pk+2p代入x2=2py，化簡得x2+2pkx+4p2(k-1)=0(*)，方程(*)的判別式Δ=4p2k2-4(4p2k-4p2(=0，(3)設(shè)A(xA,yA(,B(xB,yB(,C(xC,yC(,D(xD,yD(,E(xE,yE(,F(xF,yF(，設(shè)拋物線x2=2py在A點(diǎn)處的切線方程為y-yA=kA(x-xA(，A(x-xA(，消去y并化簡得x2-2pkAx+2pkAxA-2pyA=0，Δ=4p2k-4(2pkAxA-2pyA(=4p2k-8pkAxA+8pyA=0，pk-2xAkA+2yA=0，pk-2xAkA+2=pk-2xAkA+=0，解得kA=，故切線方程為y-yA=(x-xA(=x-，py-pyA=xAx-x，py-p×=xAx-x,py-=xAx-x，即2py=2xAx2py=2xBx-x，2py=2xCx-x，-x，AxBD=xAxB，C，， 5已知點(diǎn)A為直線l:x+1=0上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作射線AP(點(diǎn)P位于直線l的右側(cè))使得AP⊥l,F(1,0(，設(shè)線段AF的中點(diǎn)為B，設(shè)直線PB與x軸的交點(diǎn)為T,PF=TF.(2)設(shè)過點(diǎn)Q(0,2(的兩條射線分別與曲線C交于點(diǎn)M,N，設(shè)直線QM,QN的斜率分別為k1,k2，若+算出定點(diǎn).(1)y2=4x(x≠0((1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0(，點(diǎn)A(-1,y0(，可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-x0,0(，再結(jié)合PF=TF可得(x0-1)2+y=|x0+1|，(2)設(shè)直線MN的方程為x=ty+m，聯(lián)立直線MN與C的方程可得：y2-4ty-4m=0，設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)為x1,y1,x2,y2，根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+y2=其中k1=,k2=，結(jié)合條件可得：+=+=2，整理可得x1y2+x2y1-2x1+x2=2y1?y2-4y1+y2+8，結(jié)合直線MN的方程可化簡為：2t-2y1y2+m-2t+4y1+y2=4m+8，代入韋達(dá)定理可得2t2+mt-4t-m+2=0，通過分解因式可得t-12t+m-2=0即可得t=1或m=2-2t，11D，則+=1①,x+y0-yD2=4②,由①②可得=y0-yD2，∵=|y0-rx=my-1+1(y2-4my-6=0，2+24(2m2+1(>0，直線AP的方程為y=(x+2(，直線BQ的方程為y=(x-2(，y1(x+y1(x+2((x-2(x1+2 y2x2-2x2-20=2y1x2-4y1+2x1y2+4y2(x1+2(y2-(x2-2(y1,因?yàn)?x1+2(y2-(x2-2(y1=x1y2+2y2-x2y1+2y1=(my1-1(y2+2y2-(my2-1(y1+2y1=3y1+y2，2y1x2-4y1+2x1y2+4y2=2y1(my2-1(-4y1+2(my1-1(y2+4y2=4my1y2-6y1+2y2，∴x0=4my1y2-6y1+2y21y2=1y2=-3(y1+y2(.所以x0=4my1+2y2=-6(y1+y1+2y2=-y2=-4.故點(diǎn)M在定直線x=-4上.(5)代入韋達(dá)定理求解.2已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).2(5-mm-2L5-mN+24=0，>0Δ=(16k(2-4×24(1+2k2(>0?k2>，且x1+x2=-,x1?x2=，所以x1+x2=-kx1?x2AN:y-2=x,lBM:y+2=x，兩式作商得===--=-?y=1是定值，故G在定直線y=1上.33證明kMA+kMB=0，進(jìn)而即可得出結(jié)論.(2)設(shè)A(x1,y1(，B(x2,y2(，（y=x+m2+4mx+2（y=x+m所以x1y2+x2y1=x1(x2+m(+x2(x1+m(=2x1x2+m(x1+x2(=-，所以kMA+kMB=y1-+y2-=x1y2+x2y1-1+x2(-y1+y2(+x1-x2-(x1-2-(又x1y2+x2y1-(x1+x2(-(y1+y2(+=-+-m+=0，所以△MAB的內(nèi)心在定直線x=上.在定直線x=上.4已知橢圓C:+=1(a>b>0(過點(diǎn)Q1,且離心率為.4點(diǎn)M總在某定直線上.(1)+=1e=c=1a2a=22=b2+c22=b2+c2所以，1-x1,2-y1=λ1-x2,2-y2，x-x1,y-y1=λx2-x,y2-y，+=1-λ2，1=故點(diǎn)M總在定直線3x+8y-12=0上. E上.(2)點(diǎn)M在定直線x=-4上(1)設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1m>0,n>0.，x=my-12+1y2-4my-6=0，直線AP的方程為y=x+2，直線BQ的方程為y=x-2，y1y1x-2x1+2 y2x2-2yx2-20==2y1x2-4y1+2x1y2+4y2x1+2y2-x2-2y1=4my1y2-6y1+2y23y1+y21y2=-3y1+y2.所以x0=4my1+2y2=-6y1+y1+2y2=-y2=-4.故點(diǎn)M在定直線x=-4上.11(1)求雙曲線E的方程；(1)-=1延長CA與DB交于F1，因?yàn)锳B⊥AD，tan∠CAB=-，則tan∠F1AB=tanπ-∠ACB=-tan∠ACB=，即=，=BF1-4=3t-4，2-a2=10-4=6，設(shè)直線l的方程為x=my+4，設(shè)點(diǎn)M(x1,y-2(y2+24my+36=0，易知點(diǎn)A1(-2,0(、A2(2,0(，則kAM直線A1M的方程為y=(x+2(，直線A2N的方程為y=(x-2(，聯(lián)立直線A1M、A2N的方程并消去y可得(x+2(=(x-2(，=x-2==y2(my1+6(y1(my2+2(==my1y2+6y2=my1y2+2y1+6(--y1(113m2-2(5)代入韋達(dá)定理求解.22①直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M(4,0(；②點(diǎn)P,在定直線x=上.== 4x2=my2+4證明點(diǎn)P在定直線 4y2-x2y1=4y2-4y1=4(y2-y1)，再由直線AB的方程證明直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M4,0.|=2<4=F1F2，2=3，所以曲線C的方程為x2-=1(x≥1).因?yàn)閤2-=1,(x≥1)，所以y=3x-3，且所以過點(diǎn)A的直線方程為y-y1=(x-x1)，化簡為y?y1=3x1x-3①,同理y?y2=3x2x-3②,因?yàn)锳、B點(diǎn)在直線AB上，所以x1=my1+4,x2=my2+4，所以x1y2=my1y2+4y2,x2y1=my1y2+4y1，所以P的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P在定直線y2-y1x1y2-x2y1x=上.y1-y21 =y1-y21 =若選擇②證明①成立.因?yàn)閤2-=1,(x≥1)，所以y=3x-3，且y=3x2-3，求導(dǎo)得y= 3x√求導(dǎo)得y= 3x√3x2-3(x-x1)，化簡為y?y1=3x1x-3①,同理y?y2=3x2x-3②由題意，x1-1=，即x1y2-x2y1=4y2-4y1=4(y2-y1)③.2xx1yy1x2-x1，所以過直線AB的方程為-=xx1yy1x2-x1，化簡(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，整理得x1y2-x2y1=y2-y1x+x1-x2y由③式可得y2-y1x-4+x1-x2y=0,33(2)已知點(diǎn)P,1過點(diǎn)P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N，在線段MN上取異于點(diǎn)M、N2-=1過點(diǎn)Qm,n的切線方程為mx-=1，聯(lián)立,Nx22-=1，解得a2=1，故雙曲線方程為x2-y=下面證明-=1a>0,b>0上一點(diǎn)x0,y0的切線方程為-=1，設(shè)過點(diǎn)x0,y0的切線方程為y-y0=kx-x0，與-=1a>0,b>0聯(lián)立得，-x2+x+2kx0y0--y-b2=0，由Δ=2-42-0y0--y-b2=0化簡得y0-kx02=a2k2-b2，2=a22-b2，整理得xy0-x0y2=a2y-2得，xy0y2y02-b2x-x02，=-y-y02x-x0=-x++02xax40a2y2x2b0x=0y42yxxa+2-0222y+yx210=2x+2=1，綜上：-=1a>0,b>0上一點(diǎn)x0,y0的切線方程為-=1，2-=1過點(diǎn)Qm,n的切線方程為mx-=1，故mx-=1為x2-=1過點(diǎn)Qm,n的切線方程，聯(lián)立mx-=1與y=-3x，解得3,直線AB方程為--=--，即y-y1x2-x1-y2-y1x-x1=0，故點(diǎn)O到直線AB的距離為 =-y1x2-x1-y2-y1-x1x1y2-x2y1 =x2-x12+y2-y1x2-x12+y2-y1，且AB=x2-x12+y2-y1，故AOB?212+y2-y1=x1y2-x2y1=?-?23m-3n3m+3n3m+3n3m-3n== 2-3n2= 與x2-=1聯(lián)立得(3-k2(x2+(k2-2k(x-k2-k+4（=0，2-3>2-3>0因?yàn)閗2-k+4=(k-2(2+3>0恒成立，所以k2-3>0，故k2-2k>0，解得-2-213<k<-設(shè)M(x1,y1(,N(x2,y2(，則x1+x2=,x1x2=，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(xH,yH(，，變形得到2x1x2-xH+(x1+x2(+xH=0，H=，則3xH-2yH=-=6，故點(diǎn)H恒在一條定直線3x-2y-6=0上.-a(2+(y-b(2=r2上一點(diǎn)(x0,y0(的切線方程為：(x0-a((x-a(+(y-b((y0-b(=r2，過圓(x-a(2+(y-b(2=r2外一點(diǎn)(x0,y0(的切點(diǎn)弦方程為：(x0-a((x-a(+(y-b((y0-b(=r2.過橢圓+=1上一點(diǎn)P(x0,y0(的切線方程為+=1，過雙曲線-=1上一點(diǎn)P(x0,y0(的切線方程為-=144與A2Q相交于點(diǎn)G22-9a2=a2b2，不妨設(shè)直線l1的方程為y=x，則直線l的方程為y-3=(x-4(，=4-3+==ab=23，-=1.2(，直線PQ的方程為x=my+7，-4(y2+67my+9=0，1+y2=2-7，y1y2=3-4，直線A1P的方程為y=(直線A1P的方程為y=聯(lián)立直線A1P與A2Q的方程，可得(x+2(=(x-2(，所以，-+=-+=2-=2-==+(7+2((--y1(= 9m3m2-4+ 9m3m2-4-、、+2(y1+(7-2(y1，=x+2x-2=-33m+127m 3m2-41 9m3m2-4=-37,解得7,1(2(；y25=1(y25=1(a>0,b>0(的離心率為2，過點(diǎn)E(1,0(的直線l與C左右兩支分別x22交于M，N兩個不同的點(diǎn)(異于頂點(diǎn)).設(shè)M(x1,y1(0yy=1=1 -2作差得--=又MN的斜率kMN=0y01+x20y0y1+y2a2x0y0kOP= y1-y2x0y0kOP=x1-x2a2 y0x0，所以kMNkOP==1.設(shè)M(x1,y1(2=2(t≠0(得(t2-1(y2+2ty-3=0，y+y(y1y2=2設(shè)直線AN：y=(x+2(，BM：y=(x-2(，=t+2-1==3，所以x=4．故存在定直線x=4，使直線AN與直線BM的交點(diǎn)G在定直線上.1過拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)部一點(diǎn)P(m,n(作任意兩條直線AB,CD，如圖所示，連接AC,BD延長12=4yk2++2結(jié)合基本不等式，即可求解；x2+4=x1+x2，x3x4+4=x3+x4，又由A,C,Q和B,D,Q共線，得到x1x3+4y0=x0(x1+x3(和x2x4+4y0=x0(x2+x4(，進(jìn)而得到x0-2y0-2=0，即可求解.x1x2x3x4設(shè)直線AB:y=kx+，聯(lián)立方程組2-2pkx-p2=0，可得x1+x2=2pk,x1x2=-p2，所以|AB|=1+k2?(x1+x2(2-4x1x2=2p(k2+1(，,所以SABCD=|AB||CD|=2p2所以p=2，所以拋物線的方程為x2=4y.x2+4=x1+x2①,同理由C,P,D共線x3x4+4=x3+x4②