圓錐曲線和函數(shù)導數(shù)(歷年真題)

2007-2014新課標1圓錐曲線歷年真題（理科）

（20）（本小題滿分12分）2015（理）

%2

在直角坐標系xoy中，曲線C：y=一與直線y=ks+a（a〉0）交與M,N兩點，

4

（I）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（II）y軸上是否存在點P,使得當K變動時，總有N0PM=N0PN?說明理由。

20.（本小題滿分12分）2015（文）

已知過點4（1,0）且斜率為左的直線/與圓C：（x—2/+（y—3）2=1交于N

兩點.

⑴求上的取值范圍；（IDOMON=n,其中。為坐標原點，求

20.(本小題滿分12分)2014理科

已知點A(0,-2),橢圓E：\+4=1(。>>>0)的離心率為3,尸是橢圓的焦點,

ab2

直線A尸的斜率為馬8,。為坐標原點.

3

(I)求E的方程；

(H)設過點4的直線/與￡相交于尸,。兩點，當△。尸。的面積最大時，求/的方程.

(本小題滿分12分)2014(文)

已知點P(2,2),圓C：/+y2—8y=。，過點尸的動直線/與圓C交于4,3兩

點，線段AB的中點為"，。為坐標原點.

(1)求M的軌跡方程；

(2)當10Pl=|。刈時，求/的方程及APOM的面積

20.（本小題滿分12分）2014新課標卷H

設耳，鳥分別是橢圓C:今+看7=1（。>/?>0）的左,右焦點，M是C上一點且〃^與X軸

垂直，直線〃耳與C的另一個交點為N.

（I）若直線MN的斜率為士，求C的離心率；

4

（II）若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5閨N|,求a,6.

（本小題滿分12分）2014新課標II卷（文）

22

設Fi，F(xiàn)2分別是橢圓C：=+5=1（a>b>0）的左，右焦點，M是C上一點且MF?與x

ab

軸垂直，直線MB與C的另一個交點為N。

3

（I）若直線MN的斜率為一，求C的離心率；

4

（II）若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|二5|FiN|,求a,b。

20.(2013課標全國I)(本小題滿分12分)2013理科

已知圓好(矛+1)?+/=1,圓&(x—1)?+y=9,動圓尸與圓〃外切并且與圓及內(nèi)切，圓

心戶的軌跡為曲線C.

⑴求，的方程；

(2)，是與圓R圓〃都相切的一條直線，/與曲線，交于46兩點，

當圓尸的半徑最長時，求知引.

21.(本小題滿分12分)2013文科

已知圓M：(x+l)2+y2=l,圓M(龍一1)2+丁=9,動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心

P的軌跡為曲線C.

(I)求C的方程；

(II)/是與圓尸，圓M都相切的一條直線，/與曲線C交于A,B兩點,當圓尸的半徑最

長時，求|A2].

20.（2013課標全國II,理20）（本小題滿分12分）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M-.

22

—7+=1（a>6>0）右焦點的直線X+y—=0父〃于A,6兩點，戶為48的中點，且

a"b

8的斜率為

2

（1）求〃的方程；

⑵G，為〃上兩點，若四邊形的對角線〃a/氏求四邊形/四。面積的最大值.

20.（2013課標全國II,文20）（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系xOy中，已知圓戶在x軸上截得線段長為20在y軸上截得線段長為

2瓜

⑴求圓心戶的軌跡方程；

（2）若尸點到直線p=x的距離為正，求圓尸的方程.

2

20、（本小題滿分12分）2012理科

設拋物線C：x2=2夕乂〃>0）的焦點為廠，準線為1,A為C上一點，已知以F為圓心，

E4為半徑的圓廠交1于8,O兩點。

（1）若NBFD=90。，AABD的面積為40,求p的值及圓尸的方程；

（2）若A5歹三點在同一直線加上，直線”與772平行，且〃與C之有一個公共點，求

坐標原點到m，n距離的比值。

（20）（本小題滿分12分）2012文科

設拋物線C：x2=2pyS>0）的焦點為F,準線為/,A為C上一點，己知以F為圓心，F(xiàn)A為半

徑的圓F交/于B,D兩點。

（I）若NBFD=90°,AABZ）的面積為46，求p的值及圓F的方程；

（II）若A,B,F三點在同一直線相上，直線”與相平行，且“與C只有一個公共點，求

坐標原點到很，〃距離的比值。

21.(本小題滿分12分)(注意：在試卷上作答無效)2012大綱卷

?八2Af:(x-l)2+(y--)2=r2(r>0)

已知拋物線C：y=a+D與圓2有一個公共點A,且在

A處兩曲線的切線為同一直線/。

⑴求J

(2)設相、”是異于/且與C及M都相切的兩條直線，7篦、”的交點為°,求。至W的

距離。

(20)(本小題滿分12分)2011理科

UUULUUL

在平面直角坐標系X%中，已知點A(0,T),B點在直線y=-3上，M點滿足MB//Q4,

UUULUUUUUULUU

MAAB=MBBA,〃點的軌跡為曲線心

(I)求。的方程；

(II)尸為。上的動點，，為。在尸點處得切線，求。點到/距離的最小值。

20.(本小題滿分12分)2011文科

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=V-6尤+1與坐標軸的交點都在圓C上.

(I)求圓C的方程；

(II)若圓C與直線x—y+a=0交于A,B兩點，且。4J_03,求a的值.

(20)(本小題滿分12分)2010理科

22

設耳，鳥分別是橢圓E:3=l(a>>>0)的左、右焦點，過耳斜率為1的直線i與

ab

E相交于A,3兩點，S.\AF2\,\AB\,\BF2\成等差數(shù)列。

(1)求E的離心率；

(2)設點0(0,—1)滿足科=|尸到，求E的方程

（20）（本小題滿分12分）2010文科

設后，外分別是橢圓E：Y+%=1（0<b<1）的左、右焦點，過耳的直線/與E相交

于A、B兩點，且國，忸用成等差數(shù)列。

（I）求即；

（II）若直線/的斜率為1,求b的值。

（21）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）2010大綱卷

已知拋物線C：V=4x的焦點為E過點K（—1,0）的直線/與C相交于A、B兩點,

點A關于光軸的對稱點為D.

（I.）證明：點F在直線BD上；

Q

（.11）設FAFB=—,求ABDK的內(nèi)切圓M的方程.

9

(20)(本小題滿分12分)2009理科

已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點

的距離分別是7和1.

(I)求橢圓C的方程；

(II)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，4駕=入，求點M

\OM\

的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

(本小題滿分12分)2009文科

已知橢圓C的中心為直角坐標系的原點，焦點在x軸上，它的一個項點到兩個焦點的

距離分別是7和1.(I)求橢圓C的方程;

3

(II)若P為橢圓C的動點，”為過尸且垂直于工軸的直線上的點,e,(e為橢

\OM\

圓C的離心率)，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

20、(本小題滿分12分)2008

22

在直角坐標系xOy中，橢圓Ci：=+與=1(°>6>0)的左、右焦點分別為旦、F?。F?也

ab

是拋物線C2：/=4x的焦點，點M為Ci與C2在第一象限的交點，且

(1)求Cl的方程；

UUUUUUUUUU

(2)平題占的點F滿足=5+M居，直線/〃MN,且與Ci交于A、B兩點,

若力-05=0,求直線/的方程。

20、(本小題滿分12分)2008文科

已知mGR,直線/：WU—(加2+l)y=4/7?和圓C：%2+y2—8%+4y+16=0o

(1)求直線/斜率的取值范圍；

(2)直線/能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓??？為什么？

2

19.(本小題滿分12分)2007理科

在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0,桓)且斜率為k的直線1與橢圓與+>2=1有兩個不

同的交點P和Q。

(I)求k的取值范圍；

(II)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向

量O尸+OQ與A3共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由。

21.(本小題滿分12分)2007文科

在平面直角坐標系xOy中，已知圓f+y2—i2x+32=0的圓心為。，過點P(0,2)且斜率

為人的直線與圓。相交于不同的兩點AB.

(I)求人的取值范圍；

(II)是否存在常數(shù)上,使得向量。4+05與尸。共線？如果存在，求上值；如果不存在,

請說明理由.

?、（本小題滿分12分）2006

在平面直角坐標系xOy中，有一個以耳（0,-A/3）和F2（0,6）為焦點、離心率為三的

橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交

點分別為A、B,且向量OAf=Q4+OJ3。求：

（I）點M的軌跡方程；（II）口加|的最小值。

（21）（本小題滿分為14分）2006大綱卷

已知拋物線爐=4丁的焦點為F,A、B是熱線上的兩動點，MAF=27^8（2>0）.itA.

B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。

（I）證明為定值；（II）設的面積為S,寫出S=/（2）的表達式，并

求S的最小值。

(21)(本大題滿分14分)2005

已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在X軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于

A、B兩點，。4+08與a=(3,—1)共線。

(I)求橢圓的離心率；

(II)設M為橢圓上任意一點，且=(4〃wR),證明下+〃2為定值。

江西歷年真題

20.（本小題滿分13分）2014

無2

如圖，已知雙曲線C:-=1（?>0）的右焦點F,點A,B分別在C的兩條漸近線上,

a~

AF_Lx軸，AB_L0B,BF〃0A（0為坐標原點），

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點P（x。,y。）（y。wO）的直線/：誓—=1與直線AF相交于點M,與直線

a

%=三3相交于點N。證明：當點P在。上移動時，一IMF」I恒為定值，并求此定值。

2\NF\

,2,2

20.（2013江西，理20）（本小題滿分13分）如圖，橢圓C-.1+方=1（a>6>0）經(jīng)過點d1,3

離心率e=l,直線）的方程為x=4.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）46是經(jīng)過右焦點尸的任一弦（不經(jīng)過點乃，設直線47與直線/相交于點必記序,

PB,9的斜率分別為加k2,左.問：是否存在常數(shù)3使得左+左=八4?若存在，求1

的值；若不存在，說明理由.

20、(本題滿分13分)2012

已知三點。(0,0),A(-2,l),3(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足

\MA+MB\=OM(OA+OB)+2.

(1)求曲線C的方程；

(2)動點Q(%,%)(—2</<2)在曲線C上，曲線C在點。處的切線為/。問：是否存在

定點P(0j)(Z<0),使得/與PA,PB都相交,交點分別為。,E,且AQA3與APDE的面

積之比是常數(shù)？若存在，求才的值。若不存在，說明理由。

20.(本小題滿分13分)2011

22

。(%,%)(X0*±。)是雙曲線￡1：；■—方=1(。>0,力>0)上一點,M,N分別是雙

曲線E的左、右頂點，直線PM,PN的斜率之積為

(1)求雙曲線的離心率；

(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點，O為坐標原點，C

為雙曲線上一點，滿足。。=2。4+。3,求2的值.

2007-2015新課標1函數(shù)導數(shù)歷年真題(理科)

(21)(本小題滿分12分)2015(理)

二1

已知函數(shù)f(x)=x+ax+—,g(x)=-Inx

4

(I)當a為何值時，x軸為曲線y=/(x)的切線；

(II)用min{和，力表示m,n中的最小值，設函數(shù)/z(x)=min{/(x),g(x)}(x>0)

討論h(x)零點的個數(shù)

21.(本小題滿分12分)2014

設函數(shù)/(x0=aex\nx+，曲線y=/(%)在點(1,/(I))處的切線為y=e(尤—1)+2.

X

(I)求Q,b；(II)證明：/(%)>1.

21.(本小題滿分12分)2014新課標卷II

已知函數(shù)〃x)=ex-er-2x

(I)討論了(九)的單調性；

(II)設g(x)=/(2x)—4"(x),當x>0時，g(%)>0,求b的最大值;

(III)已知1.4142<0<1.4143,估計ln2的近似值(精確到0.001)

21.(2013課標全國I,理21)(本小題滿分12分)2013

設函數(shù)f(x)=x+ax+b,g(x)=e，(cx+<Z).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點尸(0,2),

且在點戶處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值；

(2)若x》一2時，F(xiàn)(x)WAg(x),求A的取值范圍.

21.(2013課標全國n,理21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=e"一ln(x+0).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求〃，并討論/'(x)的單調性;

(2)當0<2時，證明/Xx)〉。

21、(本小題滿分12分)2012

已知函數(shù)/(%)滿足/(x)=/'(lkT-1-/(0)x+^x2

(1)求/(x)的解析式及單調區(qū)間；

(2)若/(x)2gx?+以+8,求(a+1)8的最大值。

20.(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)2012大綱卷

設函數(shù)/(X)=ax+COSx,xe[0,乃

(1)討論/(X)的單調性；(2)設"x)Kl+sinx,求a的取值范圍。

(21)(本小題滿分12分)2011

nInx卜

已知函數(shù)/(%)=--+-，曲線y=/Q)在點(1/(1處的切線方程為

x+1x

x+2y-3=0o

(I)求。、b的值；

]nY

(II)如果當x〉0,且xwl時，/(%)>—^-+-k,求人的取值范圍。

x-1X

(21)(本小題滿分12分)2010

設函數(shù)/(x)=e*-1-x-at2o

(1)若a=0,求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若當xNO時/(x)20,求a的取值范圍

(20.)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)2010大綱卷

已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-x+l.

(I)若^'(尤)<%2+ax+l,求a的取值范圍；

(II)證明：(x-l)/(x)>0.

(21)(本小題滿分12分)2009

已知函數(shù)/(x)=(d+3x2+ax+b)e~x

(I)如q=6=—3,求/(x)的單調區(qū)間；

(II)若/(x)在(-8,0,(2,尸)單調增加，在(/2),(/,+8)單調減少,

(III)證明：/3-a<6.

21、(本小題滿分12分)2008

設函數(shù)/(x)=ax+'(a,6wZ),曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為y=3。

x+b

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)證明：曲線y=/(x)的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

(3)證明：曲線y=/(%)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的

面積為定值，并求出此定值。

21.(本小題滿分12分)2007

設函數(shù)/(x)=ln(x+a)+%2

(I)若當a—1時，無)取得極值，求a的值，并討論了(x)的單調性；

e

(II)若無)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于In—。

2

(21)、(本小題滿分14分)2006

已知函數(shù)〃力=3”亞。

1X

(I)設〃>0,討論y=/(x)的單調性；(II)若對任意X￡(O,1)恒有

求a的取值范圍。

2015-2007新課標1函數(shù)導數(shù)歷年真題(文科)

21.(本小題滿分12分)2015(文)

設函數(shù)/⑺=/，-alnx.

(I)討論的導函數(shù)/'(%)的零點的個數(shù)；

2

(II)證明：當〃〉0時/(X)22q+41n—.

(21)(本小題滿分12分)2014

設函數(shù)〃犬)=一時,曲線y=/(%)在點(1,/⑴)處的切線

斜率為0

(1)求b;

a

(2)若存在%之1,使得/(/)<，求a的取值范圍。

d-l

(21)(本小題滿分12分)2014新課標II卷

已知函數(shù)f(x)=xi-3x1+ax+2,曲線y="x)在點(0,2)處的切線與x軸交

點的橫坐標為-2.

(I)求a；

(II)證明：當時，曲線y=/(x)與直線y=2只有一個交點。

21.(2013課標全國II,文21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)F(x)

(1)求/'(x)的極小值和極大值；

(2)當曲線y=f(x)的切線1的斜率為負數(shù)時，求