數(shù)列綜合-高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)題深度剖析及針對(duì)訓(xùn)練 (一)

高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)題深度剖析及針對(duì)訓(xùn)練

第22講：數(shù)列綜合

【標(biāo)題01]混淆了數(shù)列｛4｝和數(shù)列｛4".)，｛%"｝的“心

【習(xí)題01】己知數(shù)列僅｝滿足a=1,a=\K[3+(-l)nk2a+2[(-1)"-1]=0,

n12cn+2n

nGN\

(1)求生,%,生,以的值及數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)=a?a(〃EN*),求數(shù)列｛/?｝的前〃項(xiàng)和S.

n2n-l2〃nn

11

【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)由已知得%=3，。產(chǎn),a=5,a^=.

458

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4+2=4+2,所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)等差數(shù)列，

〃

所以。2“-1=《(1)2==1+(2〃-2)2=2〃-3=2〃-1-2\an=n-2

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a=",所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)等比數(shù)列，

n+22n

所以。=]2〃-2=1口2〃-2=12巾1\a=1?-i

*的(；)(

~Q2>〃(9

1/7-2n=2k-1(k\N*

因此，數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式為。_|

n=2k(^k\N*)

12

(2)下略.

【詳細(xì)正解】(1)由已知得q=3,。1,%=5,.

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4+2=4+2,所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)生a組成一個(gè)等差數(shù)歹此。2.-)，

〃

令〃2-i="〃'hi=Z?|+(n-1)2=a}+2n-2=2n-1\a2n.1=2n-1\an=n

〃22

所以。2.i=a(-)'=1+(2/?-2)2=2n-3=2n-1-2\an=n-2

1

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a=_a，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)。組成一個(gè)等比數(shù)列｛。｝,

n

n+222H2n

n-1n-1nn2nU'

aeid1aeid_aeid._aeid_aeid2aei02

\2=仇qb+=%三一?Xa2?-q±_--\a“=g三

e20262。e2o32。62。62。

\nn=2k-llk\?、

因此，數(shù)列｛氏｝的通項(xiàng)公式為=1n'N)

I(A_2/f

12〃=2(lN*)

(2)因?yàn)閎n=a2n_i,%，則

S=1?L+3.(I)?+5-(I)3+…+(2〃_3).(1尸+(2〃-1).(1)",

"22222

J.<?=1.(-)*+3-(―)3+5-(J.)4H---F(2n-3)-(-)"+(2〃-1)?(J)n+l,

2"22222

兩式錯(cuò)位相減得Is--+2-+,(-/+2-(J.)4H-----1-2-(-)"—(2n—

)"

2"222222

2J-1?-i

J+4(一)]3.

(2/2—1),6)_+1n+i

21"+|(2n3)()

222

1

.?.S“=3—(2〃+3)J)”

2

【深度剖析】（1〉經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在混淆了數(shù)列｛凡｝和數(shù)列｛生｛%』的“〃”-（2）本身這種題是容易混淆

的，為了避免和好理解，用換元法最好，令&=。*】和4=。天這樣就不會(huì)出錯(cuò)了?今后遇到類似情況，換

元可以減少麻煩.

【習(xí)題01針對(duì)訓(xùn)練】定義：項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的數(shù)列，若奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則稱該數(shù)列

為"對(duì)偶數(shù)列

（1）若項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng)的“對(duì)偶數(shù)列”｛&｝,前4項(xiàng)為1,1,3,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式及20項(xiàng)的和；

"r、31

⑵設(shè)項(xiàng)數(shù)為2加（加eN，）的“對(duì)偶數(shù)列”｛&｝前4項(xiàng)為1,1,3,二試求該數(shù)列前"（l<n<2m,

"2

nwN*）項(xiàng)的和5；

（3）求證：等差數(shù)列｛。,,｝（4*（））為“對(duì)偶數(shù)列”當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列｛%｝為非零常數(shù)數(shù)列.

【標(biāo)題02］放縮不等式求和時(shí)沒(méi)有分類討論

291O

【習(xí)題02］設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S已知a=1,-_n2-n__,neN\

nn1n+\

“o33o

（1）求呼）值；（2）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)“，有匕?+1￡7

~cT'cTa~

12n

-Ln2-n--1,neN*.

【經(jīng)典錯(cuò)解】（1）解：:馬二a向

n233

.?.當(dāng)〃=1時(shí)，2。=2S=。-1

-4-a-2又a=1,a=4

II23322

29-Ln22

-A2n€N*.

(2)解：——=an+\,

n33

1322

/.2S=na-n-n~n-nan("+1)(〃+2)①

nM+13

3,,+|3

.?.當(dāng)“22時(shí)，2sp=(〃一l)a“一(〃T)；(〃+%

由①一②，得25,,-25?_,=nan+l-(n-l)a?-n(n+l)

,/2an=2Sn—2S“_i2a“=nall+l-(n-l)a?-n(n+l)

%-4=1二.數(shù)列‘見(jiàn)〕是以首項(xiàng)為a'=\,公差為1的等差數(shù)列.

n1

九十1n

—=l+lx(?-l)=n,.'.a,,=rr(n>2)

n

2

當(dāng)〃=1時(shí),上式顯然成立.an=鹿一，幾sN

*/n2+__<1

（3）證明:由（2）知，a?二￡N

n2(n-1)-(/?+1)

1111

i+…+1_Li+…+<i+2_++…++

a27r~1x3^2x^(n-1)?(n+1)

iiF

1+甲」11+】11

1+1一+???+

2T32242,352/?-!7T+T

Ifl11111111

i+一_|__+—+???+

—_+—[

rTzrr5-〃一2nn-\.n+T

i+1久7+1i

2'rzn?rn"豐中

nJI

.??原不等式亦成立.

綜上，對(duì)一切正整數(shù)〃，有2_+_L

+：.+1<1

6Z|Q2%4

【詳細(xì)正解】（1）同上；（2）同上;

(3)證明：由(2)知，a“=〃:nwN*①當(dāng)"=1時(shí)，—=1<Z.?.原不等式成立.

64

②當(dāng)n=2時(shí)，—+—=1+1原不等式亦成立.

6%44

③當(dāng)〃23時(shí)，???>(〃-1)G+1),???I<__-L_.

n(??-!)?(o+1)

,,1,,1,1111

.1,1+…+1^1+…+<1+++???++

"a^a~a~~~^7r而(n-2)-n(〃—

1+甲」［+1「」)+1(1.、+1「」)+1「一口

21T3121241T55121JI=L2n1217FFT

<JIJI)I)<

,iMiiiiii［、

i+-+-+-+■?-+ii_i11

Tr夕)中T5~n-1~n+n-\TJTT1

I)

l+1P+i-1-1號(hào)7+"1_1V7

21r2-n7TTT^TnTFFT^4

.?.當(dāng)〃23時(shí)，，：.原不等式亦成立.綜上，對(duì)一切正整數(shù)〃，有_1+1…1.,每7科.網(wǎng)

?,%an4

【深度剖析】(D經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在第三問(wèn)放縮不等式求和時(shí)沒(méi)有分類討論.(2)標(biāo)>(〃-1)-(”+1),

二《<而需而'〃=1時(shí),分母為零沒(méi)有意義所以要放縮'必須滿足心2本題要放大到，數(shù)列

，上(的前兩項(xiàng)不能放大，必須從第3項(xiàng)起開始放大，所以要分〃=1,〃=2223三種情況來(lái)分類討論.

【習(xí)題02針對(duì)訓(xùn)練】己知數(shù)列｛43滿%=2,%+i=2(Sn+n+l)(neN+),令bn=an+1

(I)求證：｛0｝是等比數(shù)列；(II)記數(shù)列｛“九｝的前n項(xiàng)和為配,求配；

1111111

(III)求證：一____<_+_+…+_<.

22x3”于Wa~IF

12n

【標(biāo)題03】對(duì)等比數(shù)列的判斷方法沒(méi)有理解透徹

【習(xí)題03］設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a=2a+〃(nN2且neN*),｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,數(shù)列｛/?｝滿足

hn=an+〃+2.

(1)若4=1，求S/(2)試判斷數(shù)列｛2｝是否為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若。]=一3,m,n,pEN",且，"+〃=2p.試比較S,”+S”與2sp的大小，并證明你的結(jié)論.

【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)=2a+/?(n>2KneN*),且a=l,

anw-1I

a2=2x1+2=4,/=2x4+3=11,a4=2x11+4=26.S4—42.

(2)Vbn=an+n+29/.bn+1=an+x+(d+1+2=2?！?(〃+l)+(〃+l)+2=2(?！?〃+2)=

2b..所以數(shù)列也“｝是以4+3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(3)Sfn+Sn<2SP.事實(shí)上，由(2)知，當(dāng)4=-3時(shí)，b1=0,則〃〃=-〃-2.

；.｛6｝是以一3為首項(xiàng)，—1為公差的等差數(shù)列，AS,,+

m,n,peN”,且〃z+〃=2p,

/.s+S-2s=p(〃+5)—?tn(m+5)-^n(n+5=1[(2p)2-2m2-2/?2]+^(2p-m-n)

innP)

I彳242

=_[(m+n)2-2m2-2n2]=__(m-n)2<0./.S4-S<2S.

44妨”P

【詳細(xì)正解】(1)同上；

(2)Vbn=+/1+2,?:”+i=。八+1+(6+1+2=2?！?(〃+l)+(〃+l)+2=2(?！?及+2)=

2b,,,又???々=4+3,...當(dāng)q=—3時(shí)，偽=0,此時(shí)也｝不是等比數(shù)列，

當(dāng)。工一3時(shí)，。/0,則“用=2(〃eN*).

1,T

故當(dāng)qw-3時(shí)，數(shù)列｛〃,｝是以q+3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(3)同上

【深度剖析】(1)經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)等比數(shù)列的判斷方法沒(méi)有理解透徹.(2)要判斷一個(gè)數(shù)列｛4｝是等比數(shù)

列，需要證明&=0,訂N*)和qi0，但是錯(cuò)解只證明了上=qGT0,dN*),忽略了對(duì)

a?an

首項(xiàng)是否為零的討論，所以是錯(cuò)的.所以今后要判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，一般先求出的值，如果不是

同一常數(shù)，數(shù)列｛。｝不是等比數(shù)列，如果包=以4'0,〃1N'),然后求出它的首項(xiàng)，看它的首項(xiàng)是否

n

為零，如果首項(xiàng)不為零，就是一個(gè)等比數(shù)列，否則也不是.

【習(xí)題03針對(duì)訓(xùn)練】設(shè)數(shù)列加｝的前〃項(xiàng)和為用且S『2a；3〃（〃eN*）.

（1）證明數(shù)列｛4+3｝為等比數(shù)列；⑵求｛3｝的前〃項(xiàng)和7；.

【標(biāo)題04］邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)忽略了等式的性質(zhì)

【習(xí)題04】求和1+2X+3X?H----\-nxn~'.

2n23

【經(jīng)典錯(cuò)解】令S“=1+2x+3x+---+nx~\則xSn=x+2x+3x+???+（/?-1）X"T+HX"

兩式相減得（1-x）S=1+x+dH—+-nx"

.1-xnnxn

S〃=-

（1-x）2~1—X

n（n+1）

【詳細(xì)正解】若x=0,則S〃=1,若x=l,則S“=若「一

?z

xw0,且xw1時(shí)令S=1+2x+3x?+???+以1則

n

xS=x+2x2+3x3+…+（九一1）尢"T+nxn

n

1_nJ^

兩式相減得（1一x）S“=l+x+x?+…+x"「nx"Sn=-------————

（1-x）1-x

【深度剖析】（1）經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)忽略了等式的性質(zhì).（2）本題要分三種情況討論，當(dāng)

a-x）S?=l+x+x:+”?+/1-茲時(shí)，右邊的數(shù)列Lx,x，??,x=不一定是等比數(shù)列，主要取決x是否為零,

所以這里要分類討論，要把左邊的Q-x）除過(guò)來(lái)，但是（1-x）是否為零不確定，這里要分類討論，如果

LX.X\???RZ是等比數(shù)列，求和時(shí)又要分X=1和XH1兩種情況討論.（3）分類討論的思想是高中數(shù)學(xué)中

非常重要的一個(gè)數(shù)學(xué)思想，也是高考經(jīng)?？疾榈臄?shù)學(xué)思想，特別是含有未知數(shù)或字母時(shí)要提高警惕，注意

思維的邏輯.

【習(xí)題04針對(duì)?訓(xùn)練】設(shè)8>0,數(shù)列｛。｝滿足a=b,a=nbci?｝(n>2),

nI"c_i,+?2c"-2c

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,a?<__+1.

【標(biāo)題05】弄錯(cuò)了數(shù)列的首項(xiàng)

【習(xí)題05］已知數(shù)列｛a｝滿足a=l,a=2,a4+,nwN*.

n12n+22

（1）令b“=a”*「a”,證明：｛〃,｝是等比數(shù)列；（2）求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【經(jīng)典錯(cuò)解】（1）。=a—a=l.當(dāng)〃22時(shí)，b=a-a=an-'+a"-a=%-4=?.

12InM+1n2〃22,

1

｛a｝是首項(xiàng)為q=l,公比為產(chǎn)等比數(shù)列.

（2）由（1）可得=1□（二'尸=（—』尸，,a-a=（-下面的略.

【詳細(xì)正解】(1)4=%-卬=1

當(dāng)〃之2時(shí)，h-a-a---a_an-\~an_』力，

nTH-In2n124一1

1

??.{〃}是首項(xiàng)為4=g-4=1，公比為產(chǎn)等比數(shù)列.

(2)由(1)可得b=(—1)"T,—a=(—J)'I,—a=(—1)°,a—a=

〃2〃+1"22i322

a-a=(」)"-2(〃22),a=a+(」)。+(-b°+…+(」嚴(yán)=,一?產(chǎn)(〃之2),

“，i2"1222332

52.1.

當(dāng)〃=1時(shí)，也符合，；.a?=

332

【深度剖析】（1〉經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在弄錯(cuò)了數(shù)列的首項(xiàng)Y2）數(shù)列的苜項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)等是很容易錯(cuò)的基本量,

所以在解答數(shù)列題時(shí)，在這些地方要謹(jǐn)慎數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)就是n=l時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，即4=%-q,而不是想

象中的如數(shù)列的苜項(xiàng)就是n=l時(shí)對(duì)應(yīng)的生-生，而不是想象的

【習(xí)題05針對(duì)訓(xùn)練】在數(shù)列｛“｝中，a=1,a=2a+2".

n1"+In

（1）設(shè)匕=%.證明:數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.

【標(biāo)題06］等比數(shù)列求和弄錯(cuò)了數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

【習(xí)題06］已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S“=2—a"，數(shù)列｛2｝滿足仇=1,&+濟(jì)=18,且

h+b=2b（〃N2）?（1）求數(shù)列｛〃｝和g｝的通項(xiàng)公式；（2）若c='小數(shù)列｛c｝的前“

w-1n+1nnnnn

an

項(xiàng)和

【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)由題意知工=2-。“①，當(dāng)"N2時(shí)，S,i=2—a,-②，①-②得

a^S-S=a一”，即a=[a，又a=S=2—a,；.。=1,故數(shù)列｛a｝是以1為首項(xiàng)，

nn〃-1n-1nn2〃-111I1n2

為公比的等比數(shù)列，所以%=擊，由也一+內(nèi)用=助〃(〃N2)知，數(shù)列出“｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差

為d,則匕=?(2+人)=9,故d』-、____=2,b=b+(〃—l)d=2n—1,

52374〃1

1

綜上，數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式分別為an=khn=2n-\.

(2)Vcn=夕=(2〃-1)NY

n

，T=c+c+…+c=lx2°+3x2i+5x22+...+(2“—l)x2"T③

n12n

2T『1X2'+3X22+...+(2H-3)X2n-l+(2〃-1)x2”④

③-④得一4=1+2(2'+22+...+20-')-(2n-1)-2",

-T=\+2口2(I"")_Q〃-.下面略

1-21)口2"

【詳細(xì)正解】(1)同上

⑵；c“=右=(2"-

n

：.T=c+c+---+c=lx2°+3x2；5x2?+…+(2〃-1)x2"-。

n12n

2T=1x2'+3X22+...+(2?-3)x2n-'+(2?-1)x2"④

2n2(12)

③-④得一T?=1+2(2'+2+...+2"-')-(2n-l)-2,-Tn=1+2D~--(2〃-1)口2”,

1-2

即_T=1+2(2"-2)-(2〃-1)2"=-(2M-3)2"-3,:*[=(2n-3)-2"+3

【深度剖析】(1)經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在等比數(shù)列求和時(shí)弄錯(cuò)了數(shù)列的項(xiàng)數(shù).(2)經(jīng)典錯(cuò)解沒(méi)有認(rèn)真觀察，憑經(jīng)驗(yàn)

得到數(shù)列2,+2?+…+2"一有〃項(xiàng)，實(shí)際上這個(gè)數(shù)列有〃T項(xiàng)，所以在觀察數(shù)列有多少項(xiàng)時(shí)，一定既要觀

察首項(xiàng)，也要觀察末項(xiàng)，要瞻前顧后，這才是科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?(3)數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)等是很容易錯(cuò)

的基本量，所以在解答數(shù)列題時(shí)，在這些地方要謹(jǐn)慎細(xì)心.

【習(xí)題06針對(duì)訓(xùn)練】已知數(shù)列｛七｝的前“項(xiàng)和S”與通項(xiàng)對(duì)滿足S“=』曲

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)/(x)=logx,b=f(a)+f(a)+...+f(a\,T?=4；+"\+-+—；求T；

3”12bbb2014

12n

(3)若%=4./(”“)，求｛g｝的前〃項(xiàng)和U“.

【標(biāo)題07】S4006〉。不一定能說(shuō)明4006是使得S.〉0成立的最大自然數(shù)

【習(xí)題07】若數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)。］>0,“2003+。2004>°，。2003口出004<°，則使前〃項(xiàng)和

S“>0成立的最大自然數(shù)〃是()

A.4005B.4006C.4007D.4008

【經(jīng)典錯(cuò)解】。］>0,。2003+“2004>°，。2003口。2004<°，

4006

，首項(xiàng)大于零的遞減的等差數(shù)列，，$40063+%006)=2003(a2003+。2004)>0,故選區(qū)

【洋411止Wl：】?a］〉0,。2003+^2004>°，。2003口。2004<°，

...首項(xiàng)大于零的遞減的等差數(shù)列?。2003>°，。2004<°，,$4006=竺羽(4十4姬)=2003(6(2()03+/22004)>。

400740072

=

■^4007--—(4+4007)=一丁020。2(?4=4007a2OO4<0.故選B.

【深度剖析】(1)經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在邏輯上，S◎s>0不一定能說(shuō)明4006是使得S&>0成立的最大自然數(shù).(2)

S跳>0不一定能說(shuō)明4006是使得S”>0成立的最大自然數(shù)，所以必須要說(shuō)明心-<0，才能說(shuō)明4006

是使得S,>0成立的最大自然數(shù).(3)數(shù)學(xué)講究的是邏輯和理解，所以大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，一定要注意知

識(shí)的理解，這樣才能保證下次我們遇到時(shí)，不會(huì)遺忘或做錯(cuò).

【習(xí)題07針對(duì)訓(xùn)練】設(shè)｛a“｝是等差數(shù)列，%>0,。2007+。2008>0，。2007,。2008<0，則使S”〉0成立

的最大自然數(shù)〃是()

A.4013B.4014C4015D.4016

【標(biāo)題08］代換時(shí)忽略了〃的范圍導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤

【習(xí)題08］己知在等比數(shù)列｛4｝中，?=1,且生是為和田-1的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列也｝滿足6+2b+3b+---+nb=a求g｝的通項(xiàng)公式4

n123nnnn

【經(jīng)典錯(cuò)解】(i)設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,由的是%和a3T的等差中項(xiàng)得：

2a—a-1,2aq=a+aq2-I,A2q=cf,V70,:?q=2,a

213111〃一/

(2)由瓦+2b2+3b3+…+itbn-a”(J)

+3/+???+(〃-1)仇-二②

①_②得：h=a—a=2〃T-2"一2=2"一2.h=-，所以b=2-

nnM-l*nn

nn

【詳細(xì)正解】(1)設(shè)等比數(shù)列｛七｝的公比為小由。2是q和的T的等差中項(xiàng)得：

2?！猘+a—1,：?2aq=a+aq1-1,：?2q=cf,?;gwO,:?q=2,a_yx-\

213111〃—乙

(2)〃=1時(shí)，由〃1+2/+3&+…+〃/?〃=a〃，得/?]=q=l.

〃22時(shí)，由/?1+2&+3/+…+應(yīng)?〃=①

仇+2為+3/+,,,+(幾T=。〃一1②

rih=a—a_2"7_2"一2_

nnzt-1

[1〃=1

O“-2O/J-2

b,,=-—所以仇尸——-*?瓦,=<2"-2.

nn___

In>2

In

【深度剖析】(l)經(jīng)曲錯(cuò)解錯(cuò)在代換時(shí)忽略了〃的范圍，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.(2)錯(cuò)解中由

4+24+34+…+泌”=4①得到4+24+3&+…+(〃-1)顯]=。鵬②時(shí)，〃的范圍為"22,這個(gè)

范圍不能忽略，所以最后計(jì)算出的4=匕中，?的范圍是〃之2,并沒(méi)有包含n=L所以要蛉證〃=1是否

n

滿足，結(jié)果能并則并，不并則分.

【習(xí)題08針對(duì)訓(xùn)練】已知數(shù)列｛〃｝滿足：_1+1+1+…+1_=〃2(〃GN"),令b=aa,S為

〃nn”+In

4出的an

數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

(1)求。〃和S〃；(2)對(duì)任意的正整數(shù)〃，不等式Sn>_」恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2

【標(biāo)題09］累加法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)弄錯(cuò)了數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

【習(xí)題09］在數(shù)列｛凡｝中,已知4=1,凡一q_］=2幾+1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【經(jīng)典錯(cuò)解】由題得a2-ax=5,a3-a2=7,a4-a3=9,—,an-an_x=2n+1

所以a-。=5+7+9+…+2〃+l='入5+272+1)=〃2+3"，所以。=n2+3n+1.

〃i2〃

【詳細(xì)正解】由題得a2-a｝=5,a3-a2=7,a4-a3=9,--,an-an_｝=2n+1

—1c

所以a—a=5+7+9+…+2〃+l=(5+2/7+1)=?2+2?-3,:.a=rr+2n-2.

"1"

【深度剖析】〈1)經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在累加法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)弄錯(cuò)了數(shù)列的項(xiàng)數(shù).(2)解法中利用累乘法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí),

由于有〃-1個(gè)等式，所以數(shù)列一般有，L1項(xiàng)，不是“項(xiàng).數(shù)列的求和時(shí)，一定要注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，看項(xiàng)數(shù)時(shí),

一定要瞻前顧后，不能只看后面.

【習(xí)題09針對(duì)訓(xùn)練】在數(shù)列｛a｝中，已知a=1,a-a=2",求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.

n1nn-In

【標(biāo)題10］對(duì)數(shù)列的極限理解不夠透徹

【習(xí)題10］設(shè)數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S,，且a“=2—25.

n

(1)求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；(2)若a=一見(jiàn)，7；為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，求普；

G111

(3)是否存在實(shí)數(shù)m使得？二*<7<_對(duì)一切恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存

4八7

在，說(shuō)明理由.

【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)由an=2—2Stl,令n=l,則aj=2-2Si，又Si=aj,所以2.

3

當(dāng)n22時(shí)，由。=2—2S,可得an-an1=-2(Sn-Sni)=_2an,即“"二

nn-c

a,-3

211

所以｛““｝是以ai《為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列，于是a“=2?r

nn12n\12n

+r

(2)bn=an=,.Tn=—+—3…+3〃+t

1(1-1n

211113G)32/1+31

nn_

兩式相減可得［7；=―+1+―+..?+n+1-T2=-

3331,,7Jn

3

333331-443

3

n+1

(3)T—T=h>0,.?.{/}單調(diào)遞增,AT^T|=ci=-

ft+}nlt+i3的n3

32n+313，13

***T=----------<-F?**WTn<一

〃443"434

3m

m—2m4<410

使得<T<對(duì)一切〃wN恒成立，則\

4n4m-2<13

43

【詳細(xì)正解】（1）（2）同上.

n+11

(3)(3)T-T=b廠>0,???｛，｝單調(diào)遞增,.?.Tn2Tl=C1二—

n+inn+13

32〃+31313

WTn<

34

3/tn

m—2m力10

使得VT<對(duì)一切neN恒成立，則\；.3Wm<

4n4m-2<13

43

【深度剖析】（1）經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)數(shù)列的極限理解不夠透徹42）對(duì)于數(shù)列7；它是增函數(shù)，由于n是正整數(shù),

所以它沒(méi)有最大值，它的最大值無(wú)限靠近三，但是不等于:，只是比*小一點(diǎn)點(diǎn)，所以二可以等于2,因

44444

&加3.m_

為彳=；時(shí)'彳>北

【習(xí)題10針對(duì)訓(xùn)練】在數(shù)列｛〃｝中，S是數(shù)列｛。｝前〃項(xiàng)和,a=1>當(dāng)〃22,S2=a(S1)

nnn1nnn2

fi]s

（1）證明一為等差數(shù)列；（2）設(shè)b="求數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)和T；

s“J2〃+1

（3）是否存在自然數(shù)〃z,使得對(duì)任意自然數(shù)〃eN*,都有7,<L（加-8）成立？若存在，求出“2的最小

4

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)題深度剖析及針對(duì)訓(xùn)練

第22講：數(shù)列綜合參考答案

n〃是正奇數(shù)

a

n=〈1n（neN*,n<20）

12（共是I岳偶數(shù)102-白）,

【習(xí)題01針對(duì)訓(xùn)練答案】⑴[2,2.

(2)見(jiàn)解析；(3)證明略.

【習(xí)題01針對(duì)訓(xùn)練解析】(D由條件得，4心…M19成等差數(shù)列，公差為2,4=1；…成等

比數(shù)列，公比為工，a2=l.

2

1+(學(xué)-1)x2娓正奇數(shù)伍雇正奇數(shù)

2

‘4=1'】(心K20)二&=心娓正偶數(shù)(心K20)

lx弓戶-娓正偶數(shù)

2

+5吟嘰岑=吟(,

s”=(q+生+…+qg)+(%+4+??

2

(2)1<w<2w,neW)

-(；"n21

_Q+〃-l)1-

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S"=2--——+-/=4+2一寸.

2

〃+1八、.09+2.2毋.

----(1+玲1

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，——+-

1-14》

2

(3)設(shè)｛4｝為等差數(shù)列，公差為d.

若｛4｝為“對(duì)偶數(shù)列”，則生。一成等比數(shù)列，.=4-4，

(q+3dy=(q+dXq+5d),得出dK),所以｛4｝為非零常數(shù)列.

若｛&｝為非零常數(shù)列，則q=%=生=ck=…，滿足"對(duì)偶數(shù)列”的條件，因此｛4｝為“對(duì)偶數(shù)列

7,=(2*4)-3+4(山)詳見(jiàn)解析.

【習(xí)題02針對(duì)訓(xùn)練答案】(I)詳見(jiàn)解析;

【習(xí)題02針對(duì)訓(xùn)練解析】q=2,'%=2(2+2)=8

%=2(S“+〃+*〃€N)

??=2(5?,,+?)(?>2)

兩式相減，得凡M=3%+2(?>2)

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=1時(shí)上式也成立，%=3a,,+2(〃Nl)

有4+i+l=3(a“+l)即％=3"且"=3

故也｝是等比數(shù)列.

（n）由⑴得“=3"

7；=1x3+2x32+3x3）+…+〃X3"

37；=1x3?+2x3）+3x3、…+〃x3””

兩式相減，得一27；=3+32+33+…+3"—〃x3"“=生二三LX3”“，化簡(jiǎn)得乙=(6，-1>3"+:

(⑴由/馬4

1=1=3*“-13*"=31]______1

乂￡—3*-1-（3*-1）（3*+,-1）＜（3*-1）（3*+,-1）—2U*-l-3*+l-l

當(dāng)〃=i時(shí)，左邊=!_＜上

216

1111

---1----1----p...H---

當(dāng)〃N2時(shí)，有力。2a3an

13（11）1331II

22（3-1y~\）21623”“一116

,1111111

22x3”~aa~a~TK

I2n

3215

【習(xí)題03針對(duì)訓(xùn)練答案】（1）見(jiàn)解析；（2）北二12（2〃—1）

22

【習(xí)題03針對(duì)訓(xùn)練解析】（1）令〃=1,工=2q一3..?.4=3

由題得Sz=2^-3(174-1),=23-3〃.

兩式相;咸，得4+i=2a*+]-24-3,則a”[=2a*+3anA+3=2(a“+3),

江?=2,q十3=6土0,所以｛a*+3｝為公比為2的等比數(shù)列.

4+3

(2)4+3=(6+3)又22=6?2修，...%=6?2'-3爸一3〃=62-3…

3,

二1=12(2"_1)_彳〃2_.”

,12b=2

【習(xí)題04針對(duì)訓(xùn)練答案】（1）a?="夕（2-b）；（2）證明見(jiàn)下面解析.

I-------------（b>0H2）

I2n-bn

【習(xí)題（）4針對(duì)訓(xùn)練解析】⑴由a=〃友*可得n_2n-11

1------+一,

"%+2”-2anbb

n—l1n11]及〃

當(dāng)b=2時(shí),二一+_,則數(shù)列｛_｝是以_=±為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列,_

a,-22??2

從而an—2.

77

當(dāng)b#2時(shí),412/鹿一1

----r-(——十

a?2-bb%

n]

則數(shù)列｛二？｝是以2_為首項(xiàng).3為公比的，等比數(shù)列.

1+-1

a“2-hax2-bh(2—h)