2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理與題型歸納第46講圓的方程學(xué)生版

第46講圓的方程思維導(dǎo)圖知識梳理1．圓的定義與方程2．點與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)．題型歸納題型1求圓的方程【例1-1】已知圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3＝0上，且過點A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【例1-2】已知圓C與直線y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圓心在直線y＝x上，則圓C的方程為（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝4 D．（x+1）2+（y+1）2＝4【例1-3】已知圓C與y軸相切，圓心在x軸的正半軸上，并且截直線x﹣y+1＝0所得的弦長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【跟蹤訓(xùn)練1-1】在直線l：y＝x﹣1上有兩個點A、B，且A、B的中點坐標(biāo)為（4，3），線段AB的長度|AB|＝8，則過A、B兩點且與y軸相切的圓的方程為（）A．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣11）2+（y+4）2＝121 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣12）2+（y+5）2＝144 C．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣11）2+（y+4）2＝121【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知圓C與圓（x﹣1）2+y2＝1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程為（）A．x2+y2＝1 B．x2+（y+1）2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+y2＝1【跟蹤訓(xùn)練1-3】已知圓心為點C（1，﹣1），并且在直線4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦長為2的圓的方程為（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4【名師指導(dǎo)】1．求圓的方程常見的三種類型(1)已知不共線的三點．(2)已知兩點及圓心所在的直線．(3)已知直線與圓的位置關(guān)系．2．求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程待定系數(shù)法①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程3．確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．題型2與圓有關(guān)的最值問題【例2-1】已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2﹣4x+1＝0，求：（1）的最大值和最小值；（2）y﹣x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值；（4）2x2+y2﹣4x﹣6的最大值．【例2-2】已知P（x，y）是圓x2+（y﹣3）2＝1上的動點，定點A（2，0），B（﹣2，0），則的最大值為（）A．12 B．0 C．﹣12 D．4【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知圓C：（x+2）2+y2＝1，P（x，y）為圓C上任一點，（1）求的最大、最小值；（2）求x﹣2y的最大、最小值．【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知P（x，y）是圓x2+（y﹣3）2＝a2（a＞0）上的動點，定點A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面積最大值為8，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【名師指導(dǎo)】借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．1．形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．2．形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．題型3與圓有關(guān)的軌跡問題【例3-1】已知動點M到兩定點A（1，1），B（2，2）的距離之比為．（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過曲線C上任意一點P作與直線l：2x+y﹣6＝0夾角為30°的直線，交l于點Q，求|PQ|的最大值和最小值．【跟蹤訓(xùn)練3-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點B（2，0），C（﹣2，0），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝﹣，記點A的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）若直線l：y＝x+1與E交于P，Q兩點，求|PQ|．【名師指導(dǎo)】求與圓有關(guān)軌跡問題的3種方法(1)直接法：當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程．(2)定義法：當(dāng)題目條