2024北京西城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京西城高三一模學(xué)數(shù)2024.4本試卷共6頁，150分。考試時(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知全集U（A）(2,3)=R，集合A={x|x3}，B={x|2≤x≤2}，則（B）(?,?2)A（C）[2,3)（D）(?,?（2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增的是（A）y=x+x2（B）yx=（C）y=2x（D）y=|x|22(x?)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（3）在x2（A）（B）15（C）?（D）y=x4x（4）已知拋物線C與拋物線y2=C的準(zhǔn)線方程是（A）x（C）y=?=?11（B）x=?21（D）y=?21a=t?，b=t+，c=t(2+t)，其中?1t0，則（5）設(shè)（A）（C）ttbacbca（B）cab（D）cba（6）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則ca?b=()（A）1?（）（D）1（C）7?72+,?2xxxf(x)=f(x)（7）已知函數(shù)若存在最小值，則c的最大值為?x,0≤x.11（A）（C）（B）（D）18142第1頁/共10頁（8）在等比數(shù)列{n}中，an0．則“ann”是“1ann+1+30”的+0000（A）充分不必要條件（C）充要條件（B）必要不充分條件（D）既不充分也不必要條件f(x)=sinx+2x（9）關(guān)于函數(shù)f(x)①，給出下列三個(gè)命題：是周期函數(shù)；πy=f(x)②曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱；2f(x)[0,2π)上恰有3個(gè)零點(diǎn)．③在區(qū)間其中真命題的個(gè)數(shù)為（A）0（B）1（D）3（C）2（10）德國心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)y隨時(shí)間t（小時(shí)）變化的y=1?0.6t0.27近似描述，則記憶率為50%時(shí)經(jīng)過的時(shí)間約為趨勢(shì)可由函數(shù)（參考數(shù)據(jù)：lg20.30，lg30.48）（A）2小時(shí)（B）0.8小時(shí)（D）0.2小時(shí)（C）0.5小時(shí)第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。z=+|z|=_______（）若復(fù)數(shù)z滿足2i)+3i，則tan(+)tan(?)．（12）已知,(0,π)．使成立的一組,的值為=_______，(r0)交=_______．y2（13）雙曲線M:x2?=的漸近線方程為_______；若M與圓O:x12+y2=r23于A,B,C,D四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則r_______．=（14）在數(shù)列{a}中，a=2,a=?3．?dāng)?shù)列滿足b=a?n(nN*)．若{n}是公差n12nnn1為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為b=_______，a的最小值為_______．nnn（15）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)P在正方形及其=2,=1，給出下列四個(gè)結(jié)論：內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)第2頁/共10頁①存在點(diǎn)P,Q，使PQ=3；②存在點(diǎn)P,Q，使CQ//；③到直線和的距離相等的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)；1④若，則四面體體積的最大值為．⊥3其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1614分）ABC?ABCAACCABAC，⊥==2，11111D為BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AC//平面ABD；11（Ⅱ）若AC⊥，求二面角D??A的余弦值．111（1713分）在中，atanBbsinA．=（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）若a8=條件①：BC邊上中線的長為21；2條件②：A=?；3條件③：b7．=注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．第3頁/共10頁（1813分）10608環(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)18環(huán)109環(huán)10環(huán)甲的射擊頻數(shù)乙的射擊頻數(shù)13243018241526210丙的射擊頻數(shù)2410假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績相互獨(dú)立．（Ⅰ）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由；（Ⅱ）若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；10Xi(i=2,3)10aaD(X)D(X)D(X)a{6,7,8,9}．321（結(jié)論不要求證明）（1915分）x22y2212已知橢圓G:+=1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(?2,0)，離心率為．a(chǎn)b（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）設(shè)OlGC,DC,Dlx=2=．EAC,AD分別與直線OE交于點(diǎn)M,N||||（2015分）1a已知函數(shù)f(x)=x+ln(ax)+xex．（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，求曲線=y=f(x)在點(diǎn)處切線的斜率；f（Ⅱ）當(dāng)a=?1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅲ）若集合{x|f(x)≥?有且只有一個(gè)元素，求a的值．第4頁/共10頁（2115分）對(duì)正整數(shù)m≥3,n≥6，設(shè)數(shù)列A:a,a,，i{0,1}(i=n．B是m行n列12的數(shù)陣，ij表示B中第i行第j列的數(shù)，ij(i=,m;j=,n)，且B同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①每行恰有三個(gè)1；②1；③任意兩行不相同．記集合{i|ab+ab+ab=0或3,i=m中元素的個(gè)數(shù)為K．1i12i2nin11001100110010（Ⅰ）若A0,0,0，B=10，求K的值；01p,qnpq)，Brpq1．（?。〣能否滿足mr？說明理由；=1（ⅱ）證明：K2(n?4n)．≥24（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）第5頁/共10頁參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40）（1）B（6）A（2）D（7）A（3）A（8）B（4）C（9）D（5）C（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25）ππ（）2（12）（答案不唯一）33（13）y=3x（15）①③④3（14）n?6?13三、解答題（共6小題，共85分）（16分）解：（Ⅰ）連接AB，設(shè)ABE，連接．=………1分111因?yàn)樵谌庵鵄BCABC中，四邊形?AABB是平行四邊形，11111所以E為1B的中點(diǎn)．………2分………3分因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以//C．又因?yàn)镃平面1D，平面1D，所以AC//平面D．………5分11（Ⅱ）因?yàn)镃，ABAC，⊥⊥所以平面⊥AACC．1………6分1所以AA1．⊥又⊥，所以AB,,兩兩相互垂直．11如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz．………7分則(0,0)，1(2,2)，D0)，C(0,2,0)．所以(2,2)，AD110．==(,,)1ABm=2x+2z=設(shè)平面1D的法向量為m=(x,y,z)，則1即x+y=0.mAD=令x=?1，則y1，=z=1．于是m=(．………10分因?yàn)锳C⊥平面AABB，11所以AC=(0,0)是平面AABB的一個(gè)法向量．………分………13分113m所以m,=．|m|3由題設(shè)，二面角D??A的平面角為鈍角，11第6頁/共10頁3所以二面角D??A的余弦值為?．………14分113（17分）解：（Ⅰ）由atanBbsinA，得=asinB=bsinAB．………1分在中，由正弦定理得sinAsinB2sinAsinBcosB．=………3分因?yàn)閟inA0,sinB0，12所以cosB=．………4分又0Bπ，………5分π所以B=．………6分3（Ⅱ）選條件①：邊上中線的長為．設(shè)邊中點(diǎn)為M，連接，則=21，4．………7分=在中，由余弦定理得AM2=AB2+BM29?2ABBMB，………分π即21=AB整理得2+16?8ABcos．32?4?5=0．解得5或==1………分1所以的面積為△ABC=sinB=103．………13分2選條件③：b7．=………7分在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2?2acB，………9分π即72=82+c2?16c．3整理得c2?c+=0．解得c3或=c=5．………………13分分1=S=acsinB=63．當(dāng)c3時(shí)，△ABC的面積為△ABC212=S△ABC=acsinB=103．當(dāng)c5時(shí)，△ABC的面積為（18分）解：（Ⅰ）甲進(jìn)入決賽，理由如下：丙射擊成績的總環(huán)數(shù)為264789542，++++=甲射擊成績的總環(huán)數(shù)為161789549．++++=因?yàn)?49542，所以甲進(jìn)入決賽．………3分第7頁/共10頁246025=9環(huán)”的概率可估計(jì)為；246025=“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為；301=“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；60215601=“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為．………5分4所以這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率可估計(jì)為：212121113()2()2+()2()2+C21()2C21()=．………10分135452524100（Ⅲ）a7和8=………分（19分）a=2,c12=,解：（Ⅰ）由題設(shè)，………3分………5分aa2?b2=c.2解得a2=4,b=3．2x2y2所以橢圓G的方程為+=1．43（Ⅱ）由題設(shè)，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=+m．m則E(2,2km),直線OE的方程為+y=(k+)x．………6分………7分2y=+m,得(4k2+x2+84m?12=0．+2由3x2+4y2=Δ=48(4k?m+22024k2+3．8由，得m4m?122設(shè)C(x,y)，D(x,y)，則x+x=?，xx=．………8分………9分1122122+124k+324k311+2直線AC的方程為y=(x+2)．11+2m聯(lián)立直線AC和OE得(x+2)=(k+)x．221414(1+m)1+4k解得M===．………分m14k+(k+)(1+2)?124(2+m)同理可得xN=．24k+第8頁/共10頁(+m)(mx+4k)+(+m)(mx+4k)所以x+x=41221．………12分MN++(14k)(24k)因?yàn)?+m)(+4k)+(+m)(+4k)1221=2x+(4k2+m2)(x+x)+812122km(4m2?8(4k2+m2)8(4k2+=?+4k2+34k2+34k2+3=0，所以MxN0，即點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．+=||=||所以．………15分（20分）解：（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，=f(x)=x+x+xex，1x所以f(x)=1++x)e．+x………2分=+所以f2．所以曲線yf(x)在點(diǎn)=f處切線的斜率為2e+2．………4分（Ⅱ）當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=x+ln(?x)?xex，f(x)的定義域?yàn)椋??,0)1x1x=+?x)exx)(+=+?ex)．f(x)1………6分1x?ex0，因?yàn)樗詘(?,?時(shí)，f(x)0；x(?1,0)時(shí)，f(x)0．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?,?；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0)．………分?91xex=++（Ⅲ）f(x)x)．a(chǎn)當(dāng)a0時(shí)，f(x)的定義域?yàn)椋?0,+)所以f(x)0，f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增．1a因?yàn)閒()0，所以a0不合題意．………分當(dāng)a0時(shí)，f(x)(?,0)的定義域?yàn)椋驗(yàn)閤(?,?時(shí)，f(x)0；x(1,0)時(shí)，f(x)0．?所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?,?；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0)．?1ae所以f(x)max=f(=1+ln(?a)?．………13分1x1x1exex+1設(shè)g(x)=1+ln(?x)?，則g(x)=+=2，ex21e1e因?yàn)閤(?,?)時(shí)，g(x)0；x(?,0)時(shí)，g(x)0，1e1e所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?,?)；單調(diào)遞增區(qū)間為(?,0)．第9頁/共10頁1e所以g(x)min=g(?)=1．1e所以集合{x|f(x)有且只有一個(gè)元素時(shí)a=?．………15分≥（21分）解：（Ⅰ）記t=ab+ab+．i1i12i2因?yàn)閠=3,t=2,t=0，………3分………4分123K=