湖南省永州市東安縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

湖南省永州市東安縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．已知為兩條不重合直線，為兩個不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．4．已知直線：過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗(yàn)，根據(jù)測驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲6．若集合，則（）A． B．C． D．7．一個四面體所有棱長都是4，四個頂點(diǎn)在同一個球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3209．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．10．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．11．袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.14．甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個企業(yè)兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.15．已知實(shí)數(shù)，滿足則的取值范圍是______.16．若一個正四面體的棱長為1，四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則此球的表面積為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），．求證：對任意的恒成立．19．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線：.（1）當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求的值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)，且傾斜角為，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并判斷曲線C是什么曲線；設(shè)直線l與曲線C相交與M，N兩點(diǎn)，當(dāng)，求的值．22．（10分）已知，函數(shù)有最小值7.（1）求的值；（2）設(shè)，，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯誤；對于B，當(dāng)，，時(shí)，則，故不能作為的充分條件，故B錯誤；對于C，當(dāng)，，時(shí)，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯誤；對于D，當(dāng)，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0).不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個焦點(diǎn)，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€：過雙曲線的一個焦點(diǎn)，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對選項(xiàng)逐一分析，由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．7、A【解析】

將正四面體補(bǔ)成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可．【詳解】解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，∵四面體所有棱長都是4，∴正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．8、C【解析】

首先把看作為一個整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．10、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果．【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結(jié)果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解題時(shí)主要是看清摸獎5次，相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題．12、D【解析】

討論，，三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；如圖所示畫出函數(shù)圖像，則，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.14、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計(jì)算公式．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個企業(yè)兩人，共有種，甲乙在同一個公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，即可由直線的平移方法求得的取值范圍.【詳解】.由題意，畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示，令，則如圖所示，圖中直線所示的兩個位置為的臨界位置，根據(jù)幾何關(guān)系可得與軸的兩個交點(diǎn)分別為，所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，由數(shù)形結(jié)合法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16、【解析】

將四面體補(bǔ)成一個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，所以正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對角線，即，解得，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計(jì)算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由已知可得，結(jié)合，由直線與平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，，則，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，，所?又，所以，因此，，又，且，，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，，平面，所以平面，故，所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因?yàn)椋?，所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為所以，即，令，則，，則平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題．18、（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當(dāng)時(shí),,代入所給的條件化簡可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解：．是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當(dāng)時(shí),,兩式作差,可得．當(dāng)時(shí),滿足上式,則；證明：,當(dāng)時(shí),,兩式相減得：即．即．又,,即．當(dāng)時(shí),,兩式相減得：．?dāng)?shù)列從第二項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列．又當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,得．故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；證明：由,當(dāng)時(shí),,即,,,即,即,當(dāng)時(shí),即．故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)時(shí),．．另外,由已知條件可得,又,,因而．令,則．故對任意的恒成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用,需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項(xiàng)公式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng),再利用作商法證明.屬于難題.19、（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1，利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分別求出【詳解】（Ⅰ）由題意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，則不等式化為1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，則不等式化為2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，則不等式化為2a-1+1-a>1，解得a>1，綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由題意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時(shí)，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因?yàn)閨y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時(shí)，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，結(jié)合a<0，所以a的取值范圍是[-1010,0).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題，含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題，以及絕對值三角