人教版高中數(shù)學(xué)選修（1-1）-2

選修1-1

2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

（名師:張遠(yuǎn)建）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)

發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）能借助拋物線的幾何圖形與標(biāo)準(zhǔn)方程理解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

（2）能用坐標(biāo)法解決一些與拋物線有關(guān)的幾何問(wèn)題，如判斷直線與拋物線的位

置關(guān)系以及定值、最值問(wèn)題

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

用坐標(biāo)法解決一些與拋物線有關(guān)的幾何問(wèn)題.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（-）課前設(shè)計(jì)

L預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1預(yù)習(xí)教材”。-4,，思考直線與拋物線的位置關(guān)系有哪些？

任務(wù)2完成兒的練習(xí)

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.過(guò)點(diǎn)（1,2）且與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.1條

B.2條

C.3條

D.4條

答案：B

解析：考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.過(guò)拋物線>2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作一?條直線交拋物線于A(X[,y)、B(x2,y2),

則里k為()

xtx2

A.4

B.-4

C.p2

D.-p2

答案：B

解析：考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.過(guò)拋物線=4x的焦點(diǎn)/作直線交拋物線于A(%，x)、以馬,上)兩點(diǎn).若

玉+馬=6,則|.

答案：8

解析：考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

(二)課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

①〃的幾何意義：焦參數(shù)〃是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以〃恒為正數(shù).

②方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定

拋物線的開(kāi)口方向.

③焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的點(diǎn)

2.問(wèn)題探究

問(wèn)題探究一拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1.拋物線y2=2px(p>0)有哪些簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)呢？

⑴對(duì)稱性：以一〉代〉，方程y2=2px(p>0)不變，因此這條拋物線是以工軸為

對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.

拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸，拋物線只有一條對(duì)稱軸.

(2)頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的項(xiàng)點(diǎn).

(3)離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫做拋物線的

離心率，

(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的弦稱為拋物線的通徑，其長(zhǎng)為主

(5)范圍：由y2=2pxN0,p>0知xNO,所以拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大

時(shí)，回也_增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸，P值越大，它開(kāi)

口越開(kāi)闊

2.直線與拋物線的位置關(guān)系：相離、相切、相交.

(1)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線y=^+加與拋物線y2=2px(p>0)相交于

4(王，乂)，8(々,％)兩點(diǎn)，將>=區(qū)+機(jī)代入丁=2px(p>0),消去y并化簡(jiǎn)，得

k2x2+2(mk-p)x+nr=0

①當(dāng)％=0時(shí)，直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合，直線與拋物線只有

一個(gè)公共點(diǎn).

②當(dāng)％*0時(shí)，八〉。。直線與拋物線相交。直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn);

A=0o直線與拋物線相切=直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

△<0O直線與拋物線相離o直線與拋物線無(wú)公共點(diǎn)

(2)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/：工=加，拋物線：V=2px(p>0),顯然

當(dāng)初<0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線與拋物線相切，

有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)相>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn).

(3)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交，被拋物線所截得的線段，稱為拋物線

的焦點(diǎn)弦.

(4)通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于坐標(biāo)軸的直線交拋物線于A、8兩點(diǎn)，線段AB

稱為拋物線的通徑，通徑|AB|的長(zhǎng)等于2P

(5)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，叫做焦半徑，當(dāng)V=2pM?〉0)時(shí)，拋物線上

的點(diǎn)的坐標(biāo)尸(斤,%),焦點(diǎn)則焦半徑歸曰=%+々.

問(wèn)題探究二用坐標(biāo)法解決一些與拋物線有關(guān)的幾何問(wèn)題

例1.已知拋物線的方程為V=2x,直線/的方程為丁=履+1(467?),當(dāng)女為何值

時(shí)，直線/與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，一元次方程的解討論;

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，分類討論】

v2=2r

詳解：<=>k2x2+(2A:—2)x+l=0

y=kx+i

1.當(dāng)k=0時(shí),-2x+1=0,則x=L此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

2

2%#0時(shí),八=4(4-1)2-4攵2=0,則攵=1,直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

2

3當(dāng)左豐0時(shí),且攵力0,直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

2

4火。0時(shí),△<()=%>L直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn).

2

例2.已知過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)廠的弦長(zhǎng)為36,求此弦所在的直線的方程

【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，一元次方程的解討論;

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

詳解：?.?過(guò)焦點(diǎn)的的弦長(zhǎng)為36,...弦所在的直線的斜率不為0

設(shè)直線為y=Z(x-1),與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為4芯,必),B(x2,y2)

y=—

y2=4x,則有后2V-(2女2+4)x+Z?=0(%#0)=>M

k

=|AF|+|BF|=玉+馬+2=2k+2=36

k

.?/=±也，所求直線的方程為y=±也(x-1)

44

例3.求過(guò)拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)的最小值.

【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系；數(shù)學(xué)

思想：數(shù)形結(jié)合】

詳解一：如圖，設(shè)拋物線丁=2a（〃>0）的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為

A（/X）、6（々,%）并設(shè)焦點(diǎn)弦所在直線方程為x町'+5①，于是有

x}-my}+y,x2-my2+—,將①代入y?=2px,

得y2_2pmy-p2=0

所以M+%=2pm,X%=一廠?

因?yàn)椋∕-必丫=（%+乂）2-4乂、2=4p2（"+l）.

所以I=J（w）2+（y->2）2=荷（乂一%）2+（必一%>=2p"+1）

所以I陰N2p,故當(dāng)加=0,即過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于X軸時(shí)，它的長(zhǎng)度最小，其最

小值為2P.

詳解二：如圖所示，設(shè)焦點(diǎn)弦43的中點(diǎn)為E,分別過(guò)A作準(zhǔn)線/的垂線,

垂足為由拋物線定義知|A￡>|=|AF|,忸C|=|BF|,所以

\AB\=\AF\+\BF\=\AD\+\BC\=2\EH\

由圖可知耳，當(dāng)且僅當(dāng)與x軸垂直時(shí)，|"E|=|GE|,即

ML=2g=2p.

點(diǎn)拔：解法一運(yùn)用了弦長(zhǎng)公式；解法二運(yùn)用了拋物線的幾何意義，由此題我們

可以得出一個(gè)結(jié)論：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短（當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于x

軸時(shí)，此弦為拋物線的通徑)，但值得注意的是，若弦長(zhǎng)小于通徑，則此弦不可

能過(guò)焦點(diǎn).

例4.設(shè)P是拋物線＞2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸為拋物線焦點(diǎn).

⑴求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-l,l)的距離與點(diǎn)尸到直線x=-1的距離之和的最小值；

⑵若5(3,2),求|啊+|尸耳的最小值.

【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系；數(shù)學(xué)

詳解：(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程是x=-l,由拋物線的

定義知：點(diǎn)P到直線x=T的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)廠的距離.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:

在曲線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-l,l)的距離與點(diǎn)P到尸(1,0)的距離之和最

小.顯然，連AE交拋物線于尸點(diǎn)，故最小值為屈了=石.

(2)如圖把點(diǎn)8的橫坐標(biāo)代入V=4x中，得y=±J歷＞2,所以8在拋物線內(nèi)部,

自8作8。垂直準(zhǔn)線于。，交拋物線于外

此時(shí)，由拋物線定義知：

山Q|=山可.那么|冏+|尸盟2出卻+山口=|以2|=3+1=4

即最小值為4.

例5.已知拋物線=2x.

(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為[jo],求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離

(2)在拋物線上求一點(diǎn)P,使P到直線x-y+3=0的距離最短，并求出距離的最

小值.

【知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離，拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線

的位置關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，函數(shù)的思想】

詳解：⑴設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P(x,y)，

、22

221

則陷2x——+/=x——+2x=XH—

3733

7

Vx>0,且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=0時(shí)，|附|.=±，故距點(diǎn)A最

IImin3

近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0).

(2)解法一：設(shè)點(diǎn)尸(%,%))是V=2x上任一點(diǎn),

則P至U直線x—y+3=0的星巨離為d

~"72~~272

當(dāng)先=1時(shí)，%=品=乎,

二點(diǎn)戶的坐標(biāo)為

解法二：設(shè)與直線x-y+3=0平行的拋物線的切線為x-y+f=0,與丁=2》聯(lián)

立，消去x,得/一2>+2f=0,由A=0,得f=g，此時(shí)y=l,x=g，二尸［；,11，

兩平行線間的距離就是點(diǎn)尸到直線的最小距離，即4面=簽.

點(diǎn)拔：有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題，主要有兩種解決思路：一是利用拋物線的定義,

將到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，用幾何意義解決，二是利用拋物線的

標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，獲得有關(guān)距離的函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)最值解

決.

例6.已知A4OB是一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線J/=2x的頂點(diǎn)O,A,B兩點(diǎn)都在拋物線上,

且NAOB=90"

（1）求證：直線AB必過(guò)一定點(diǎn)

（2）求AAOB面積最小值

【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義，直線的方程，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的

位置關(guān)系，判別式與違達(dá)定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

詳解：（1）解法一：直線。4斜率存在且不為0,設(shè)。4所在直線方程為

y=kx（k*0）,

OB所在直線方程為y^--x

y=0

同理8（2公,-2幻，則直線的方程為y+2Z=Y--------（x-2公）

2c,2

L2k

即y=;-72X~\一■729過(guò)定點(diǎn)（2,0）

\-k1一匕

解法二：設(shè)直線為〃q=x+〃，4>],必）,3（工2，%）

22

,=>y-2my+2n=0,=>y1y2-2n,A=4m-8〃>0.

丁=2x

2

=n+2〃=0,=>n=-2

2X2

uuruiBi

QOA±OB,/.OA-OB=x]x2+y{y2=0,且4w0

二直線為沖=%-2過(guò)定點(diǎn)（2,0）.

（2）設(shè)A3直線方程為了=沖+2,4（不％）,8（%2，%）

x=股+2

<

22

y=2xz=>y-2my-4=0=^>yxy2=2m,yx4-y2=-4

IM-%I=5/（乂+%）2-4M%=2〃2+4

=>SAAOB=3|。叩弘一%|=；,2-2〃2+4

當(dāng)，〃=0,S*B的面積取得最小值4.

3.課堂總結(jié)

【知識(shí)梳理】

（1）焦半徑拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)/連接的線段叫做焦半徑，設(shè)拋物線上任一

點(diǎn)4（%%）,則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的焦半徑公式為

標(biāo)準(zhǔn)y2=-2pxx2=-2py

y2=2px(p>0)x1=2py(p>0)

方程(〃>。)(p>0)

焦半徑

AFxAF\AF\=^-y

ll=f-oll=>'o+f0

同

（2）焦點(diǎn)弦問(wèn)題如圖所示：AB是拋物線y2=2px（p>0））過(guò)焦點(diǎn)E的一條弦，

設(shè)A&,y）、A8的中點(diǎn)/小,%），拋物線的準(zhǔn)線為/.

①以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切；

②|AB|=2（x°+5）（焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)關(guān)系）；

③+x2+p；

2

2

④4B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即yty2=-P.

【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】

（1）拋物線與橢圓、雙曲線的重要區(qū)別是：只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)

稱軸和一條準(zhǔn)線，沒(méi)有中心和漸近線.

（2）為了簡(jiǎn)化解題過(guò)程，有時(shí)可根據(jù)拋物線方程的特征利用參數(shù)表示拋物線上

動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)還可以利用拋物線的對(duì)稱性避免分類討論.

（3）要注意根據(jù)拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離

相互轉(zhuǎn)化.

（4）在求解直線與拋物線的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用函數(shù)與方程思想，

將位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題.

（5）p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，〃>0,〃值越大，拋物線的開(kāi)口越寬；p值越小,

拋物線的開(kāi)口越窄.

4.課堂檢測(cè)

1.拋物線y=-￡的準(zhǔn)線方程是（）

8

A.x=—

32

B.y=2

C?x=—

4

D.y=4

答案：B

【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)】

2.已知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（6,-26），

求它的方程（）

A./=-旦.

2

B.y2=-^-x

2

C./=-旦

4-

D.x1=-\[3y

答案：A

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)】

3.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與其平行線x=2的距離為3,求拋物線的方

程.

答案：見(jiàn)解析

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何性質(zhì)】

與直線x=2的距離為3的平行直線有兩條，即：x=-l和x=5.

設(shè)拋物線的方程為：/=如，則一'=一1,或-'=5,.?.m=4或機(jī)=一20.

44

故所求拋物線的方程為V=4x或丁=_20x.

（三）課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自在突破

1.已知P（8,a）在拋物線V=4px上，且P到焦點(diǎn)的距離為10,則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離為（）

A.2

B.4

C.8

D.16

答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)】

2.過(guò)拋物線V=8x的焦點(diǎn)，作傾斜角為45。的直線，則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為

（）

A.8

B.16

C.32

D.61

答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系】

3.過(guò)點(diǎn)（0,2）且與拋物線>2=2。％（〃>0）只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.1條

B.2條

C.3條

D.4條

答案：C

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系】

4.已知點(diǎn)P是拋物線y2=-8x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離是4,到直

線x+y-10=0的距離是4，則4+4的最小值是（）

A.6

B.273

C.672

D.3

答案：C

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義及幾何性質(zhì)】

5.過(guò)拋物線＞2=4x的焦點(diǎn)的直線交拋物線于4B兩點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則函?麗

的值是（）

A.12

B.-12

C.3

D.-3

答案：D

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積】

設(shè)4仔,X

，則礪=

/2（、22

則礪?礪\＞2陪+小

又?.,AB過(guò)焦點(diǎn)，則有弘乂=-2？=~4，

/.OAOB=^^-+y.y,=^i--4=-3故選D.

161216

6.若直線2x+y+m=0與拋物線y2=-iox恰有兩個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是.

答案：m＞~

4

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，一元二次方程的解，二元二次方程

的解】

能力型師生共研

7.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,過(guò)拋物線。上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線/的

垂線，垂足為M,若A/M與A4。尸（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為3:1,

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.（2,2⑹

B.（2,-2V2）

C.（2,±72）

D.（2,±272）

答案：D

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形的面積】

如圖，由題意可得，|O耳=1,由拋物線定義得，\AF\=\AM\,

,/AAMF與AAOF(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3:1,

0x|AF|x|/lM|xsinAMAF

...-------------------------=3

SAAOF-x|(9F|x|AF|xsin(^-ZMAF)

/2\2

：.\AM\^3,設(shè)A迎，y0，，"+1=3,

I4)4

解得％=±2夜,；.￥=2，

...點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,±2及)，故選D.

8.若P點(diǎn)在拋物線寸=》上，點(diǎn)。在圓(x—3)2+y2=i上，則|PQ|的最小值為

答案：姮-1

2

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

9.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于45兩點(diǎn)，若43在拋物線的準(zhǔn)線上

的射影是4、B,,則乙41rBi=.

答案：90°

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義及幾何性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

探究型多維突破

10.已知點(diǎn)A（2,0）,3（4,0）,動(dòng)點(diǎn)P在拋物線丁=-4x上運(yùn)動(dòng)，則A戶戶取得最

小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

答案：（0,0）

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義及幾何性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，函數(shù)的最小值;

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

/2\

設(shè)尸工,y，則而=

(2\2\2s

22

APBP=--2,y一^■一4,y+y=-^-+-y+8>8,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)取等

、4>

號(hào)，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,0）.

11.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線過(guò)橢圓匕+f=1的焦點(diǎn),

1652

求拋物線的方程.

答案：見(jiàn)解析

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何性質(zhì)，橢圓的幾何性質(zhì)】

由橢圓方程可求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓焦點(diǎn)，可求參數(shù)p.

橢圓mil=1的焦點(diǎn)在P軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-6）,（0,6）.

故拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-6或丁=6.

當(dāng)準(zhǔn)線方程為丁=-6時(shí)，設(shè)拋物線方程為丁=2刀（〃>0）,則p=12,所求拋

物線的方程為f=24y；

當(dāng)準(zhǔn)線方程為y=6時(shí)，設(shè)拋物線方程為％2=_2刀（/?>0）,則〃=12,所求拋物

線的方程為無(wú)2=—24y.

故所求拋物線的方程為/=24y或f=_24y

12.已知過(guò)拋物線丁=2〃4〃>0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、8兩點(diǎn)，且

\AB\=^p,求AB所在的直線方程.

答案：見(jiàn)解析

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦，

弦長(zhǎng)公式，判別式與違達(dá)定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解法1：焦點(diǎn)喑,0）,設(shè)A（x，x）、6伍,%），^ABVOx,則網(wǎng)=2”法

所以直線43的斜率存在，設(shè)為k,則直線A8的方程為廣小-9（心0）.

由“=氏。一萬(wàn)］，消去工,整理得公9_20,_切2=0

y2=2px

由韋達(dá)定理得，y+y=—,yy=~P2-

]2kx2

M網(wǎng)=Ji+.E-%|=卜國(guó)（%+丫2丫-4yi%=2p0+2）=|P

解得4=±2.

，AB所在直線方程為y=21無(wú)一夕]或y=——

解法2：如圖所示,

拋物線V=2px（p>0）的準(zhǔn)線為尤=-々，A（x，y）、B（x2,y2）,設(shè)A、8到準(zhǔn)線

的距離分別為4,4，由拋物線的定義知，|4尸|=4=%+多|即|=4=/+§

于是|4同=工1+X2+p=—p,x{+X2

當(dāng)玉=々時(shí)，|AM=2p<mp,直線A8與Qx不垂直.

設(shè)直線AB的方程為y=70）

\y=k[x.P}

由,I2J得公了2一〃（攵2+2卜+-攵2P2=0.

y2=2px4

…，（?。?爭(zhēng)解得％=包

，直線AB的方程為y=2（x/]或尸一2上一號(hào)

（四）自助餐

1.直線產(chǎn)依+2交拋物線＞2=8x于A、B兩點(diǎn),若A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則女

=（）

A.2或一2

B.-1

C.2

D.3

答案：C

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系】

2.已知直線/與拋物線V=8無(wú)交于A、B兩點(diǎn)，且/經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)EA點(diǎn)

的坐標(biāo)為（8,8）,則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）

、25

A.——

4

D.25

答案：A

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義及幾何性質(zhì)】

3.拋物線V=2px與直線如+y-4=0的一個(gè)交點(diǎn)是（1,2）,則拋物線的焦點(diǎn)到該

直線的距離是（）

3A/3

A.

275

B.丁

775

C.

lo-

V17

D.F

答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系】

22

4.雙曲線土-匕=l(〃z"O)離心率為2,有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線>2=4x的焦點(diǎn)重

mn

合，則相〃的值為()

3

A.

16

3

B.

8

16

C.

T

8

D.

3

答案：A

解析：【知識(shí)點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

5.設(shè)拋物線V=8%的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,p為拋物線上一點(diǎn)，/%_L/,A為垂足.如

果直線AE的斜率為-百，那么歸目=()

A.4百

B.8

C.86

D.16

答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線傾斜角與斜率，拋物線的定義及幾何性質(zhì)】

6.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線V=2px(p>0),。為拋物線的頂點(diǎn),

0A10B,則AAOB的面積是（）

A.8P2

B.4P2

C.2P2

D.p1

答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)：三角形的面積，拋物線的定義及幾何性質(zhì)】

7.拋物線,=以2（4>0）與直線y=Ax+僅攵/0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別

是否、x2.而直線y=與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是X3，則為、Z、￡之間的關(guān)

系是（）

A.七=玉+X2

11

B.Xy=—I--

C.平3=X\X2+工2工3

D.XX

XtX2=平3+23

答案：D

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的定義及幾何性質(zhì)，判別式

與違達(dá)定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

8.過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)

之和等于5,則這樣的直線（）

A.有且僅有一條

B.有且僅有兩條

C.有無(wú)窮多條

D.不存在

答案：B

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，判別式與違達(dá)定理】

9.過(guò)(0,-2)的直線與拋物線丁=8x交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為2,則卜.

答案：2岳

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系】

10.求過(guò)點(diǎn)*0,1)且與拋物線y2=2尤只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.

答案：見(jiàn)解析

解析：【知識(shí)點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，判別式與違達(dá)定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)

形結(jié)合】

(1)若直線斜率不存在，則過(guò)點(diǎn)P((),l)的直線方程為x=0,由得即

直線x=0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).

⑵若直線的斜率存在，設(shè)為k,則過(guò)點(diǎn)P(O,1)的直線方程為y=H+l，由方程組

卜\_&+1消去y,得上2/+2(后_］卜+1=().

=2x

1

當(dāng)人=()時(shí)，得工=5

J=1

即直線y=l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)心0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則zWgip-4公=0,所以

直線方程為y=」x+l.綜上所述，所求直線方程為尤=0或了=1或丫=工/1.

2