競(jìng)賽數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

四點(diǎn)共圓（圓內(nèi)接四邊形）的性質(zhì)：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角

互補(bǔ)，外角等于其內(nèi)對(duì)角；（3）圓幕定理；（4）托勒密定理Ptolemy；（5）弦切角定理。

四點(diǎn)共圓的判定：

1把四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，證明其頂角

相等（同弧所對(duì)的圓周角相等）。

2把四點(diǎn)連成四邊形，證明其對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。

3把四點(diǎn)連成相交的兩條線段，證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等；或把

四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等

于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積。

4根據(jù)托勒密定理的逆定理。（性質(zhì)和判定的前4條互為逆定理）

5從四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上。（反證法）

6證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓。即連成的四邊形

三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。

7同斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑。

直角三角形中線定理：直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊的一半。（逆定理也成立）

射影定理：RTAABC中，CD是斜邊上的高，則CD2=AD-DB；AC2=AD-AB；BC2=BD?BA。

三角形角平分線定理：三角形中角的平分線將對(duì)邊所分成的兩部分和兩鄰邊成比例（反之也成

立）。三角形的外角平分線也有類似性質(zhì)。設(shè)AD、AE是NA及外角的平分線，則有

AB/AC=BD/DC=BE/EC。

弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角；反之也成立（可用于證明切線）。

圓外切四邊形定理：圓外切四邊形兩組對(duì)邊的和相等；反之也成立。

斯特沃特定理（Stewart）：如下圖，設(shè)BD=p,DC=q,則/4-pq

p+q

在4ABD和4ABC中，運(yùn)用余弦定理cosB相等可證。該定理可得以下結(jié)論：

(1)當(dāng)AD是中線時(shí)，p=q=￡,得中線長(zhǎng)公式AD^~y/2b2+2c2-a2；

(2)當(dāng)AD是內(nèi)角平分線時(shí)，AD=」一M(s-a),其中$=竺婦上；

b+c2

222222222

(3)當(dāng)AD是高時(shí)，AD^~yj2ab+2hc+2ca-a-b-c=-SMBC,

2aa

其中S^BC=/s(s-a)(s-b)(s—c),即海倫公式。

梅涅勞斯定理（Menelaus,簡(jiǎn)稱梅氏定理）：設(shè)X、Y、Z分別是AABC的邊BC、CA、AB

或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)（其中有奇數(shù)個(gè)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上），則X、Y、Z三點(diǎn)共線的充要條件是

（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA尸1。（此線稱為梅氏繾）

塞瓦定理（Ceva）：設(shè)X、Y、Z分別是AABC的邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)（其中

有偶數(shù)個(gè)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上），則AX、BY、CZ三線共點(diǎn)的充要條件是

（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA尸1。（此點(diǎn)稱為搴耳肉可用梅涅勞斯定理或面積方法證明）

塞瓦定理推論

1.設(shè)E是4ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F,則

(BD/BC)(CE/AE)(GA/DG)=1?

2.塞瓦定理角元形式：AD、BE、CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：

(sinZBAD/sinZDAC)*(sinZACF/sinZFCB)*(sinZCBE/sinZEBA)=lo

3.對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A、B、C、D、E、F,直線AD、BE、CF交于一點(diǎn)的充分

必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1。

托勒密定理(Ptolemy)：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。托勒密

定理的逆定理同樣成立：若凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則該四邊

形內(nèi)接于圓。

廣義托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD四邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d,兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m,n,

則有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)

歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，WJADBC+ABCD=ACBDo

西姆松定理(Simson)：過AABC外異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作三邊的垂線，則三垂足X、Y、Z

共線的充要條件是四邊形PABC內(nèi)接于圓。(此線稱為三角形關(guān)于P點(diǎn)的西蚓松繾)

相關(guān)的結(jié)果：(1)設(shè)三角形的垂心為H,則西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且

這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上；(2)兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角；(3)若兩個(gè)三角

形的外接圓相同，這外接圓上的■■點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。

歐拉定理(Euler)：設(shè)AABC的外心、重心、垂心分別為0、G、H,則該三點(diǎn)共線且

0G=GH/2(重心分垂心和外心的連線段為2：Do這條直線叫三角形的歐拉繾，且九點(diǎn)

圓圓心也在該線上，即四點(diǎn)共線，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等。

?4

利用向量證明，設(shè)D為BC邊上的中點(diǎn)，則麗+方=6,向量

OH=OA+7H=OA+2OD=OA+OB+'BD+OC+CD=OA+OB+OC；

JD=7B+^D=7c+CD=\(AB+AC),AAG=jAD=\(AB+AC),

0G=O4+AG=i(a4+(dA+AB)+(a4+AC))=j(a4+dB+dc)；

：.OG=\OH,，0、G、H三點(diǎn)共線且。6=絲。

33

歐拉公式：設(shè)三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R和r,則外心與內(nèi)心的距離為:

d=JR?-2Rr=』R（R-2r）.（用p.9內(nèi)心性質(zhì)②可證）

九點(diǎn)圓

三角形三邊的中點(diǎn)、三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中

點(diǎn)）九點(diǎn)共圓，稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓，或歐拉圓、費(fèi)爾巴哈圓。

九點(diǎn)圓是一個(gè)更一般的定理：垂心四面體12點(diǎn)共球（各棱的中點(diǎn)，各棱相對(duì)于對(duì)棱的垂

心）的一個(gè)特例。當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)被壓入所對(duì)面的時(shí)候，12點(diǎn)的共球就退化為9點(diǎn)共圓。

證明

如圖所示，AABC的BC邊垂足為D,BC邊中點(diǎn)為L(zhǎng)。證法為以垂心H為位似中

心，1/2為位似比作位似變換。

連結(jié)HL并延長(zhǎng)至U,使LU=HL；做H關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)

顯然，ZBHC=ZFHE=180°-ZA,所以NBD'C=NBHC=180°-NA,從而A,B,D',

C四點(diǎn)共圓。

又因?yàn)锽C和HU互相平分于L,所以四邊形BUCH為平行四邊形。故NBUC=N

BHC=180°-ZA,從而A,B,L',C四點(diǎn)共圓。

綜上，A,B,C,D',U五點(diǎn)共圓。顯然，對(duì)于另外兩邊AB,AC邊上的F,N,E,

M也有同樣的結(jié)論成立，故A,B,C,D',L',F',N',E',M，九點(diǎn)共圓。此圓即aABC

的外接圓。0。

接下來做位似變換，做法是所有的點(diǎn)（。0上的九個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)0本身）都以H為位

似中心進(jìn)行位似比為1/2的位似變換。那么，U變到了L（因?yàn)镠L'=2HL）,D，變到了D

（因?yàn)镈，是H關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)），B變到了Q,C變到了R（即垂心與頂點(diǎn)連線的中

點(diǎn)）。其它各點(diǎn)也類似變換。。點(diǎn)變成了0H中點(diǎn)V。

位似變換將圓仍映射為圓（容易用向量證明），因此原來在。0上的九個(gè)點(diǎn)變成了

在。V上的九個(gè)點(diǎn)，且。V的半徑是。。的一半。

這就證明了三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)都在一個(gè)圓上。

性質(zhì)

1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；

2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn)；

3.三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓，三個(gè)旁切圓均相切（費(fèi)爾巴哈定理）；

4.九點(diǎn)圓是一個(gè)垂心組（即一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)和它的垂心，共四個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都

是其它三點(diǎn)組成的三角形的垂心，共4個(gè)三角形）共有的九點(diǎn)圓，所以九點(diǎn)圓共與四個(gè)

內(nèi)切圓、十二個(gè)旁切圓相切；

5.九點(diǎn)圓心（V）,重心（G）,垂心（H）,外心（0）四點(diǎn)共線，且

HG=20G,0G=2VG,OH=2OVo

圓幕與根軸

圓基：設(shè)平面上有一點(diǎn)P,有一圓0,其半徑為R,則OP?*?即為P點(diǎn)到圓0的事。

可見圓外的點(diǎn)對(duì)圓的幕為正，圓內(nèi)為負(fù)，圓上為0；

根軸：在平面上任給兩不同心的圓，對(duì)兩圓圓基相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條

線稱為這兩個(gè)圓的根軸；也可以稱到兩不同心圓所引切線長(zhǎng)恒相等的點(diǎn)的軌跡為根軸。

相關(guān)定理

1,平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線;

2,若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3,若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的公切線；

4,蒙日定理(根心定理)：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根

軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。

根軸方程

設(shè)兩圓01,。2的方程分別為：

(x-a?)~+(y-bi)2-(r))2=0和(x-a2)2+(y-b2)--(r2)2=0

由于根軸上任意點(diǎn)對(duì)兩圓的圓界相等，所以根軸上任一點(diǎn)(x,y)有

(x-ai)2+(y-bi)2-S)2=圓幕=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2,得根軸的方程為：

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中。=⑶尸+的尸-⑴尸，f?類似。

解的不同可能

兩圓方程連立的解，是兩圓的公共點(diǎn)M(xi,yi)、N(x2,y2)

①如果是兩組不等實(shí)數(shù)解，M、N不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的公共弦。

②如果是相等實(shí)數(shù)解，M、N重合，兩圓相切，方程表示兩圓的公切線。

③如果是共筑虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標(biāo)系內(nèi)沒有實(shí)質(zhì)。

稱M、N是共甄虛點(diǎn)。

費(fèi)馬點(diǎn)(Fermat)：在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

(1)對(duì)于任意aABC,若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,使EA+EB+EC有最小值，

則取到最小值時(shí)E為費(fèi)馬點(diǎn)。

(2)如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)。

(3)如果三個(gè)內(nèi)角均小于120。，則在三角形內(nèi)部對(duì)三邊張角均為120。的點(diǎn)，就是

費(fèi)馬點(diǎn)；分別以AB,BC,CA為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABCi,ACBi,BCAi，然后

連接AA|,BBi,CCi，則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)。

(4)當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與外心重合。

平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)：

(1)在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P。

(2)在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)(P)。

三角形重心的性質(zhì):

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為(xi,y)(X2,y2),(X3,y3)平面上任意一點(diǎn)為(x,y),則該點(diǎn)到三

222222

頂點(diǎn)距離平方和為：(x?-x)+(y1-y)+(x2-x)+(y2-y)+(x3-x)+(y3-y)

22222222

=3x-2x(xi+x2+x3)+3y-2y(yi+y2+y3)+xi+x2+x3+yi+y2+y3

22222222

=3(x-(X1+X2+X3)/3)+3(y-(yi+y2+y3)/3)+xi+x2+x3+yi+y2+y3

-(X1+X2+X3y/3-(yi+yz+y3)2/3

顯然當(dāng)X=(XI+X2+X3)/3,y=(yi+yz+y3)/3(重心坐標(biāo))時(shí),上式取得最小值

22222222

xi+x2+x3+yi+y2+y3-(XI+X2+X3)/3-(yi+y2+y3)/3o

2

若G為AABC的重心，則BC^iAG^CA^BG^AB^CG^^AB^BC2+CA2)；

AG2+BG2+CG2=j(AB2+BC2+CA2)；AG2+BG2+CG2最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為

((X]+X2+X3)/3,(丫|+丫2+丫3)/3);空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X]+X2+X3)/3,縱坐標(biāo)：

(Y)+Y2+Y3)/3,豎坐標(biāo)：(Z1+Z2+Z3)/3o

5、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

三角形旁心

與三角形的一邊及其它兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓；旁切圓的圓

心叫做三角形的旁心。三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，

該點(diǎn)即為三角形的旁心。

旁心的性質(zhì)

設(shè)4ABC在NA內(nèi)的旁切圓。h(rD與AB的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)P,；內(nèi)切圓半徑為r。

1、旁心到三角形三邊的距離相等。

2、三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心；旁心一定在三角形外。

3、NBLC=9()o-NA/2；ZAI]B=ZC/20

4、AP|=rj?cot(A/2)=(a+b4-c)/2=p；BPi=(a+b-c)/2=p-Co

5、SAABC=ri(b+c-a)/2o

6、ri=rp(p-a)=(p-b)(p-c)/r=r/(tanB/2)(tanC/2)o

7、設(shè)4//的連線交△Z8C的外接圓于。，貝U

8、直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長(zhǎng)的一半。

外接、內(nèi)切、旁切圓半徑的關(guān)系：R(acosA+6cosB+ccosC)=r(t/+6+c)；

,A.B.C.ABCBC1111

r=4/?sinysinysiny；4=4/?sm5cosEcos^=〃cot^coty；。

三角形垂心的性質(zhì)：設(shè)AABC的三條高為AD、BE、CF,D、E、F為垂足，垂心為H；

1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形

的垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形

的垂心。

3、垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在AABC的外接圓上。

4、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)垂足、垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6組四點(diǎn)共圓，有三組

（每組四個(gè)）相似的直角三角形，且AH-HD=BH-HE=CH-HFo

5、H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心（并稱這樣的四

點(diǎn)為一個(gè)垂心組）。

6、AABC,AABH,ABCH,aACH的外接圓是等圓。

7、在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q,則AB/AP-tanB+

AC/AQ-tanC=tanA+tanB+tanC□

8、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

9、設(shè)0,H分別為aABC的外心和垂心，貝UNBAO=NHAC,ZABH=Z0BC,

ZBCO=ZHCAo

10、銳角△的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形（頂點(diǎn)在原

三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。

12、西姆松定理（Simson西姆松線）：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的三垂足共

線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

13、設(shè)銳角^ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,那么P是垂心的充分必要條件是：

PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形內(nèi)心的性質(zhì)：設(shè)/為△Z8C的內(nèi)心，連AI交△/8C外接圓于點(diǎn)K,則

@ZSZC=9O°+|ZJ；S=pr,abcr=p-AIBI-CI

②三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到三角形另兩頂點(diǎn)的距離與其到內(nèi)心的距離相

等（即K是△8/C的外心）。反之，/在ZK上且KZ=K8,則/為△Z8C的內(nèi)心。

③P為4ABC的內(nèi)切圓與邊AB的切點(diǎn)，則AP=p-a=j（b+c-a）0

三角形外心的性質(zhì)：

①設(shè)O為AABC的外心，則NBOC=2NA或360°-2ZJ；R=吟。

②銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和。

③設(shè)H為△ABC的垂心，\）^\OH^OA+~OB+OCo

面積方法

所謂面積方法，就是在處理一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，以面積的有關(guān)知識(shí)為論證或計(jì)算的手段，

通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而導(dǎo)得所考慮的量與量之間的關(guān)系，最后得到結(jié)論。由于平面上的凸多

邊形都可以分割成若干個(gè)三角形，因此在面積公式中，最基本的是三角形面積公式。

三角形面積公式：SMBC-=；而sinC=pr-(acosA+bcosB+ccosC)

=Jp(p-a)(p-b)(p-c)-27?2sinAsinBsinC-

面積定理:

1.一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和；兩個(gè)全等圖形的面積相等。

2.等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底的和相等）的面積相等。

3.等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積比等于其所對(duì)應(yīng)的高（或底）的比。

4.相似三角形的面積比等于相似比的平方。

5.四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD間夾角為a,則四邊形面積S=BQ?sina。

2

6,共邊（比例）定理:設(shè)AC與BD相交于E,則有S^BAC/SADAC=BE/DE。

7.共角（比例）定理：等角或補(bǔ)角的三角形面積的比，等于夾等角或補(bǔ)角的兩邊的乘積的

比；等角的平行四邊形面積比等于夾等角的兩邊乘積的比；四邊形對(duì)角線的夾角相等

ADAE_AD^AE

或互補(bǔ)，則它們的面積比等于對(duì)角線乘積的比。^\AD'E

USABC4B‘ACS^BC4B.AC

8.燕尾定理：△ABC,D、E、F為BC、CA、AB上的點(diǎn)，滿足AD、BE、CF交

于同一點(diǎn)0。貝1J

SAAOB：SAAOC=SABDO：SACDO=BD：CD；

SAAOC：SABOC=SAAFO-SABFO=AF：BF；

SABOC*SABOA=SACEO：SAAEO=EC：AE。

SI：S2=a：b；Si：Sz=S4：S3；a〃b時(shí)Si：S3：S2：S4=a~:b2：ab：ab?S=(a+b)”

幾何不等式的證明兒方法大致有三種：兒何方法，代數(shù)方法，三角方法。

三角方法

利用三角函數(shù)來反映襄何ID形的燮化規(guī)律，彳饋而揩黑何冏題斡換成三角冏堰，此日寺須利

用有［i三角函數(shù)的性正弦定理、繪弦定理、三角形面稹公式及其三角不等式，另外面稹

不等li彳系的明常常是黑何不等式的重要內(nèi)容，一些襄何不等式常建用面稹法來慮理。

代數(shù)方法

利用燮數(shù)燮換、因式分解及配方等手段揩黑何冏堰樽化成代數(shù)冏堰。

思考方式：1°遹常引入燮數(shù)或坐檄系，招襄何冏題化卷代數(shù)冏題。

2°利用一些重要的襄何不等式及代數(shù)不等式。

(a)B§明居司於三角形內(nèi)各元素的各槿不等式，常作如下的燮數(shù)燮換，符黑何不等式化成代

數(shù)不等式。

吉殳AABC的內(nèi)切01分別切或、CA>AB^D、E、F,言己AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,

a=y+z

即b=z+x....(*),且x>0,y>0/>0。

c=x+y

反謾來，若三彳固正數(shù)ahc可以表示卷(*)的形式，即自瓦。是一彳固三角形的三遏房。

信寸^］：由上述的燮數(shù)燮換可知，卷了^明,低111於三角形的三諼不等式，可通謾燮換(*)

符三遏a,6,c樽換成三他I正教即中的代數(shù)不等式。由於。也c硅定三角形，彳聳而三角形各元素

都可通謾燮換(*)用x,yz表示，另一方面，三角形中部分的元素亦可用x,yz5|5表示：

半周長(zhǎng)s=^(Q+b+c)=xty+z,面積△=\/s(s-aXs-b)(s-c)川平(xW+z)

內(nèi)切圓半徑尸Sc百，外接圓半徑R=也_(x+y)(y+z)(z+x)

4A4yjxyz(x+y+z)

Cr

半頂角正切tany=ptan^=+一

,tarr72=z

通謾上面的式子，可符三角形中的一些黑何量化成三他正數(shù)x,yz。

(b)輿三角形有^的不等式：

三遏房的固有l(wèi)i彳系：雨遏和大於第三遏。

遏良的大小』慎序li彳系輿封鷹角的大小/雙序相同，而輿封鷹的高、中^及分角^^的大

小J嗔序相反。

(c)重要的代數(shù)不等式：排序不等式、切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。

(d)重要的襄何不等式：

1Ptolemy(托勒密)不等式：

若ABCD■^四遏形，MOABCD+ADBC>ACBDo等號(hào)虎成立u>A,B,C,D四黠共H。

2°Weitzenberk(外森比克)不等式：在AABC中，cr+b2+c2>4y[3Ao等虢成立oAABC卷正三

角形。證明如下

a2+b2+c2-4A/3△=a2+b2+a2+b2-2abcosC-2^/3absinC=2a2+2b2-4absin(C+7i/6)

>2a2+2b2-4ab=2(a-b)2>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=id3即△ABC為正三角形時(shí)取等。

3Erdos-Mordell爾多斯-莫迪爾)不等式：

卷AABC內(nèi)部或遏上一罷占，P到三遏的距蹄卷PD、PE、PF,

||JPA+PB+PC>2(PD+PE+PF)o等虢成立oAABC卷正三角形且P卷中心。

證明：設(shè)PA=x,PB=y,PC=z,PD=p,PE=q,PF=r0C、D、P、E四點(diǎn)共圓，有

DE=ylp2+/+2pqcosC=J(psin8+qsinA)2+(pcos3—geos%)2>psin8+qsin/,

及而z_DE>psinB+qsinA同理rsin5+(7sinC了〉尸sinZ+psinC

sinCsinCsinJ'sinB

十日、/singsin。、,sinAsin。、,s\nAsin&、“、

sinCsin5sinCsinAsinBsinJ

可證得如下的兒何不等式：設(shè)P為aABC內(nèi)任一點(diǎn)(包括邊界)，NAPB、NBPC、

、、

ZCPA的平分線與邊AB、BC、CA分別相交于EIE2E3,則PA+PB+PC>2（PEI+PE2+PE3）O

4°在AABC中，使PA+PB+PC■^最小的平面上的Piy聯(lián)陽葡1占。^ZBAC>120°

畤，A黠卷費(fèi)焉黠；常每彳固內(nèi)角金勻小於120°畤，即典三遏張角卷120°的P黠卷費(fèi)焉黠。

5.Euler（歐拉）不等式：

設(shè)AABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r,則RN2r；當(dāng)且僅當(dāng)aABC為正三角

形時(shí)取等號(hào)。

證明：由歐拉公式d=jRE-2r）,又d>0,所以R-2rN0,即RN2r。

當(dāng)且僅當(dāng)d=0即內(nèi)心與外心重合時(shí)取等；此時(shí)三角形ABC為正三角形。

6.等周定理（等周不等式）：

①底邊和頂角一定的所有三角形中，等腰三角形面積最大、周長(zhǎng)最大。

②底邊和周長(zhǎng)一定的所有三角形中，等腰三角形面積最大。

③內(nèi)接于定圓的所有n邊形中，正n邊形的面積最大。

④周長(zhǎng)一定的所有n邊形中，正n邊形的面積最大；面積一定的所有n邊形中，正

n邊形的周長(zhǎng)最小。

⑤周長(zhǎng)一定的所有圖形中，圓的面積最大；面積一定的所有圖形中，圓的周長(zhǎng)最小。

2

若尸為封閉曲線的周界長(zhǎng)，〃為曲線所包圍的區(qū)域面積，則4TTA<Po

7.面積不等式：SC<-ABAC,當(dāng)NA=90。時(shí)取等號(hào)。

AAB2

幾何變換（運(yùn)動(dòng)）：通過平移、對(duì)稱（翻折，反射）、旋轉(zhuǎn)、相似等方式，把幾何圖形變換

到所需要的位置或變?yōu)樗枰膱D形，使題設(shè)條件相對(duì)集中，使隱含的關(guān)系得以顯現(xiàn)，

以利于問題的解決。處理兒何變換的關(guān)鍵是從變中抓住不變的量。（樣見p.67）

對(duì)稱變換是平面到自身的一一變換，每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P'所連接的線段PP'都被定直線/

垂直平分，則這種變換稱為關(guān)于直線/的對(duì)稱或反射，記為S（/）。定直線/稱為對(duì)稱軸,

點(diǎn)P，稱作點(diǎn)P關(guān)于軸/的對(duì)稱點(diǎn)。

平移變換是平面到自身的一一變換，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P'連接的有向線段等于定向量

則稱這種變換為平移變換，記作T（1）。3叫做平移向量，其方向稱為平移方向，其

T而一

長(zhǎng)度稱做平移距離。PfP'表示點(diǎn)P經(jīng)過平移T（a）變到P，。平移變換前后的對(duì)應(yīng)線段

平行且相等，對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致。

旋轉(zhuǎn)變換是平面到它自身的一一變換，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P'與平面上一定點(diǎn)0的距離

總相等，且NPOP，等于定角0,這種變換稱為關(guān)于點(diǎn)0的旋轉(zhuǎn)，記作R(0,0)。點(diǎn)O稱

為旋轉(zhuǎn)中心，。稱作旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形全等，且順序不變。旋轉(zhuǎn)角0=180。

的旋轉(zhuǎn)變換叫作中心對(duì)稱變換，用C(O)表示關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱，C(O)=R(O,180°)o

相似變換是平面到它自身的一一變換，線段A，B，是AB的像，且A，B7AB“(常數(shù))，這

種變換稱為相似變換，用s表示，常數(shù)左稱作相似系數(shù)或相似比。圖形F相似變換為圖

形P,記作Fsp。在相似變換下，共線點(diǎn)對(duì)應(yīng)共線點(diǎn)，射線對(duì)應(yīng)射線，角對(duì)應(yīng)角，三

點(diǎn)A、B、C的線段比不變AB/BC=AB/B，C°

位似變換是平面到它自身的——變換，點(diǎn)A，是任意點(diǎn)A的像，且麗=〃西(點(diǎn)O和數(shù)左

固定)，稱這種變換為以。為(位似)中心、以人為位似比的位似變換，記為H(O,Q。k>0

時(shí)，A與A，在點(diǎn)O的同側(cè)，O為外分點(diǎn)，此種變換叫做外位似(或正位似、順位似)；k<0

時(shí)，A與A，在點(diǎn)O的兩側(cè)，O為內(nèi)分點(diǎn)，此種變換叫做內(nèi)位似(或反位似、逆位似)。k=\

時(shí)，就是恒等變換(平面上每個(gè)點(diǎn)與它自身對(duì)應(yīng)的變換)，即H(O,1)=1；k=-l時(shí)為中心對(duì)

稱變換，即H(O,-1)=R(O,兀尸C(O)。在位似變換下，一對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；

一條線(直或曲)上的點(diǎn)變到一條線上，且保持順序，即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)?/p>

共點(diǎn)線；對(duì)應(yīng)線段的比等于位似比的絕對(duì)值，對(duì)應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不

經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、

相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)。除內(nèi)含非同心圓外，任何兩圓

都是位似形，兩圓相切時(shí)切點(diǎn)為位似中心，兩圓外離時(shí)?外(內(nèi))公切線的交點(diǎn)為其正(反)

位似中心，兩非等圓相交時(shí)外公切線交點(diǎn)為正位似中心。

位似變換是相似變換的特殊情形，平移變換可看作中心在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的位似變換。

接連施行兩次兒何變換稱為變換的乘法，其結(jié)果稱為變換的積。記點(diǎn)P在變換6的作

用下的像為5(P),記3(P)在變換6的作用下的像為65(P)，則有如下性質(zhì)：

IV

⑴對(duì)于兩次反射S(/|)、S(/2),若：〃/2,則S(/>S(/2)=T(2),v為h、/2之間的距

離；若/|、，2相交于O，且交角為0,則S(/|>S(/2)=R(O,20)。即任何平移都是反射的

乘積，任何旋轉(zhuǎn)都是兩個(gè)反射的乘積。

⑵對(duì)于同一旋轉(zhuǎn)中心0,連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)的積R(o,d)R(O,02)=R(O,O1+O2)。

⑶對(duì)于不同旋轉(zhuǎn)中心，連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)有:若仇+。2先兀，則R(Oi，9I)-R(O2,02)=R(O,

O1+O2)，點(diǎn)0按下圖方法確定；若仇+。2=2兀，則R(Oi，9I)-R(O2,02)=T(2V)O

證明:令R(Oi，0i)=S(/2)-S(/i),R(O2,e2)=S(73)-S(/2),則

R(O2,02)R(Olt9i)=S(73)-(S(/2)-S(Z2))-S(/I)=S(/3)-S(/I),若仇+電療兀，由性質(zhì)1及上式

知R(01,0)R(02,02)=R(0,01+02)，其中o是、/2的交點(diǎn)；若&+。2=2兀，則(仇+。2)/2=無,

有h〃h，由性質(zhì)1及上式得R(O1，0I)-R(O2,02)=T(2V)O

【例】P是。0的弦AB的中點(diǎn)，過P點(diǎn)引。O的兩弦CD、EF,連結(jié)DE交AB于M,

連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP。(蝴蝶定理)

S(GH)

【分析】設(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn)fP,顯然FG。。。又PdGH,APF^PFo

S(GH)S(GH)

,

VPFfPF，，PAfPB,ZFPN=ZFTM,PF=PF0

又FF」GH,AN±GH,，F(xiàn)P〃AB。/.ZF,PM+ZMDF,=ZFPN+ZEDF,

=ZEFF,+ZEDF,=180°,，P、M、D、F四點(diǎn)共圓。/.ZPFzM=ZPDE=ZPFNo

/.APFN^APF^,PN=PMo

一般結(jié)論為：已知半徑為R的。O內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P,過P作兩條相交弦CD、

EF,連CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中點(diǎn)的距離為a,

22

貝I」|l/PM-l/PN|=2a/(R-r)o(解析法證明：利用二次曲線系知識(shí))

非純幾何解法：幾何題都是有關(guān)圖形性質(zhì)的，圖形是點(diǎn)的集合，將點(diǎn)與復(fù)數(shù)、向量、平面坐

標(biāo)(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可將幾何問題解法轉(zhuǎn)化為其它方法，如代數(shù)法、

三角法、解析法、向量法、復(fù)數(shù)法。

當(dāng)解題關(guān)鍵在于算出某個(gè)兒何量的大小時(shí)，可用代數(shù)法求得關(guān)鍵量；

三角法主要借助正、余弦定理，利用三角函數(shù)的定義和有關(guān)三角公式;

解析法是把兒何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理的更一般的方法，要注意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,

盡可能化為較簡(jiǎn)單的代數(shù)問題，采取便于使用的方程形式，綜合運(yùn)用兒何圖形的性質(zhì)及代數(shù)、

三角知識(shí)；

向量法可充分運(yùn)用向量的運(yùn)算定律及幾何意義；

復(fù)數(shù)法與解析法相比，優(yōu)點(diǎn)在于可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，乘以復(fù)數(shù)相當(dāng)于作相似變換：

將長(zhǎng)度（模）乘以尸，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角夕，位似中心和旋轉(zhuǎn)中心均為原點(diǎn)。復(fù)數(shù)乘法的兒何表示

為向量的拉伸與旋轉(zhuǎn)的合成，不同于向量的乘法（數(shù)量積或向量積）。與位似、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問

題常用復(fù)數(shù)去解，還常用復(fù)數(shù)取模而產(chǎn)生的不等式。

多面角：有公共端點(diǎn)且兩兩不共面的n（nM3）條射線，以及相鄰兩條射線間的平面部分所

組成的圖形，叫做多面角。組成多面角的射線叫做多面角的棱，多面角有兒條棱，就叫兒面

角；棱的公共端點(diǎn)S叫做多面角的頂點(diǎn)；相鄰兩棱間的平面部分叫做多面角的面；相鄰兩棱

組成的角，叫做多面角的面角；相鄰兩個(gè)面組成的二面角叫做多面角的二面角。

構(gòu)成多面角的必要條件是：各面角和小于360。，且任一面角小于其他各面角和。

三面角

由三個(gè)面構(gòu)成的多面角稱為三面角，如圖中三面角可記作NO-ABC。

特別地，三個(gè)面角都是直角的三面角稱為直三面角。

三面角的補(bǔ)三面角：由三條自己知三面角頂點(diǎn)發(fā)出的垂直于已知三面角的三個(gè)平面

的射線組成的三面角叫做已知三面角的補(bǔ)三面角。

性質(zhì)

1、三面角的任意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角。

2、三面角的三個(gè)二面角的和大于180。，小于540。。

三面角相關(guān)定理：設(shè)三面角NO-ABC的三個(gè)面角NAOB、NBOC、NAOC所對(duì)的

二面角依次為NOC,ZOA,ZOBo

1、三面角正弦定理：

sinZOA/sinZBOC=sinZOB/sinZAOC=sinZOC/sinZAOBo

2、三面角第一余弦定理：

cosZBOC=cosNOAxsinNAOBxsinZAOC+cosZAOBxcosZAOC。

3、三面角第二余弦定理：

cosZOA=cosZBOC><sinZOBxsinZOC-cosZOBxcosZOCo

正多面體：多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角。正多

面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體5種。有些化學(xué)元素的

結(jié)晶體呈正多面體的形狀，如食鹽的結(jié)晶體是正六面體，明磯的結(jié)晶體是正八面體。

類型面數(shù)棱數(shù)頂點(diǎn)數(shù)每面邊數(shù)每頂點(diǎn)棱數(shù)

正4面體46433

正6面體612843

正8面體812634

正12面體12302053

正20面體20301235

對(duì)偶性：

把一個(gè)正多面體每個(gè)面的中心連起來，可以得到一個(gè)新的多面體。如果原來是正六

面體，那么得到的是正八面體；如果原來是正八面體，那么得到的是正六面體。把這一

性質(zhì)稱為正六面體與正八面體對(duì)偶。正十二面體與正二十面體對(duì)偶。而正四面體則與自

己對(duì)偶。

正多面體體積與表面積公式：

32232

V4=V2/12*a,S4=V3a；V6=a\S6=6a；V8=V2/3*a,S8=2V3a；

3232

Vi2=(15+7V5)/4*a,SI2=15/75-2V5*a；V20=(15+5V5)/12*a,S20=5V3ao

歐拉公式：

設(shè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,棱數(shù)為E,面數(shù)為F,則V+F-E=2o

數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的門理論。整數(shù)的基本元素是素?cái)?shù)，所以數(shù)論的本質(zhì)是對(duì)素?cái)?shù)性質(zhì)的

研究。初等數(shù)論（古典數(shù)論）是利用整數(shù)本身的性質(zhì)（奇偶、整除、同余）和邏輯推理的方法來論

證數(shù)論命題。

兩個(gè)計(jì)數(shù)的基本原理

乘法原理：如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第一步有n種方法，做第二步有m2種方

法，…，做第n步有兩種方法，那么完成這這件事共有miXn^X…Xmn=j［町.種方法。應(yīng)

/=1

用乘法原理的關(guān)鍵是將一個(gè)復(fù)雜的過程分解為若干個(gè)接連進(jìn)行的簡(jiǎn)單過程。

加法原理：如果所要計(jì)數(shù)的對(duì)象有n類，第一類有叫種，第二類有m2種，…，第n類

有mn種，那么這些對(duì)象總計(jì)有g(shù)+m2+…+?種。應(yīng)用加法原理的關(guān)鍵是將所有計(jì)

/=1

數(shù)對(duì)象，依據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)，分為不重、不漏的若干類。

整數(shù)的進(jìn)位制表示

正整數(shù)的十進(jìn)制表示法:anan_}...axaQ,…,—都是0到9的整數(shù)，且。產(chǎn)0）

是和式anT0n+為_r10n-l+…+。2-1（）2+0.10+。0的簡(jiǎn)單記法。這種以10的方暴的降幕形式表示整

nnI2

數(shù)的方法又叫科學(xué)計(jì)數(shù)法。以二進(jìn)制表示為an-2+an.i-2'+"''+a2-2+ai-2+ao＞簡(jiǎn)記為3＞而1…

其中出,%-1,…，。1,。0取0或1,且出力0。

整除：對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a,b（bWO）,若存在一個(gè)整數(shù)q,使得a=bq,則稱b整除a,或a被b

整除，記作b|a,且稱a是的b倍數(shù)，b是的a約數(shù)（因數(shù)）。若不能整除，則記作bta。

整除性質(zhì)

⑴如果b|a,那么b|(-a),-b|a,(-b)|(-a),|b|I|a|。

⑵如果c|b,b|a,那么c|a。(傳遞性)

⑶如果c|a,c|b,m、n是整數(shù)，那么c|ma+nb。

特別地，當(dāng)m=l,n=±l時(shí)，c|a±b；一般地，若b?,xfZ（i=l,2,…,n）,則“工為當(dāng)。

/=!

⑷如果b|a,c為整數(shù)（0除外），那么b|ac,bc|ac；反之，若bc|ac,則b|a。

⑸如果c|a,cIb,那么c,la+b。

⑹如果|a|<|b|,且|b|I|a|,那么a=0。

⑺如果b|a,d|c,那么bd|ac。

⑻如果a=b+c,d|b,d|c,那么d|a。

⑼如果a|b,b|a,那么|a|=|b|。

（10）如果b|a,c|a,且（b,c尸L那么bc|a。

（11）如果bc|a,那么b|a,c|a0

?如果61ac,且（b,c）-1,那么b\a?

?〃個(gè)連續(xù)整數(shù)中有且僅有一個(gè)能被〃整除；〃個(gè)連續(xù)整數(shù)之積一定能被〃整除。

（14）〃個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積一定能被〃！整除。

nn

（15）若/（x）=6rltx+t7n.|X-'H----⑷田”）是整系數(shù)多項(xiàng)式且d|b-c,則d|f（b）-f（c）o

整除的規(guī)則

個(gè)位上是偶數(shù)，就能被2整除。

各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，就能被3（或9）整除。

末兩位能被4（或25）整除，就能被4（或25）整除。

個(gè)位上是0或5,就能被5整除。

末三位與其前的差能被7（或11,13）整除，就能被7（或11,13）整除。

末三位能被8（或125）整除，就能被8（或125）整除。

把個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能

被7整除。

奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，就能被11整除。

末四位與前面的數(shù)的差能被73（或137）整除，則這個(gè)數(shù)能被73（或137）整除。

末4位與前面的數(shù)的和能被101整除，則這個(gè)數(shù)能被101整除；末2位與前面的數(shù)

的差能被101整除，則這個(gè)數(shù)能被101整除。

末五位與前面的數(shù)的差能被9091整除，則這個(gè)數(shù)能被9091整除。

當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則2k.i+^21。

質(zhì)數(shù)?合數(shù)

正整數(shù)依據(jù)其正約數(shù)的個(gè)數(shù)分為三類：只有一個(gè)正約數(shù)的，單位數(shù)1;只有兩個(gè)正約數(shù)

的(1和它自身)，叫質(zhì)數(shù)(又稱素?cái)?shù))；有兩個(gè)以上正約數(shù)的，叫合數(shù)。

2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶素?cái)?shù)。相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫李生素?cái)?shù)，截至2002年底，

人們發(fā)現(xiàn)的最大的季生素?cái)?shù)是：(33218925x2169690-1,33218925x2169690+1)。

素?cái)?shù)有無窮多(歐兒里得證明在他的兒何學(xué)原本中)：假設(shè)素?cái)?shù)只有有限的n個(gè)，從

小到大依次排列為Pl，P2，…，Pn°取X=P1P2…Pn+1，則它被Pl，P2，…，Pn中的任

何一個(gè)素?cái)?shù)整除都會(huì)余1。由假設(shè)X是合數(shù)，它必有一個(gè)素約數(shù)p,顯然p不同于P1，

P2，…，Pn，這與假設(shè)pl，p2，…，pn為全部素?cái)?shù)矛盾。

素?cái)?shù)可用愛拉托斯散篩選法進(jìn)行判定：若自然數(shù)N不能被不大于后的所有素?cái)?shù)整

除，則N是一個(gè)素?cái)?shù)。(可用孫子定理證明)

費(fèi)爾馬猜想Fn=2*+1(nCN)是素?cái)?shù)，他驗(yàn)算了n=0?4。但歐拉證明：F5=641X

6700417是合數(shù)。以后的Fn值，數(shù)學(xué)家再也沒有找到哪個(gè)Fn值是質(zhì)數(shù)；現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們

取得Fn的最大值為n=1495,其位數(shù)多達(dá)10心84位，但它不是質(zhì)數(shù)。

梅森猜想Mp=2P-l(p是質(zhì)數(shù))是素?cái)?shù)，他驗(yàn)算了p=2、3、5、7、17、19。歐拉證明

M31是質(zhì)數(shù)。但M“=2047=23x89不是素?cái)?shù)。美國(guó)數(shù)學(xué)家科勒證明，M67=193707721X

761838257287是合數(shù)，這是第九個(gè)梅森數(shù)。第10個(gè)梅森數(shù)是質(zhì)數(shù)，第11個(gè)梅森數(shù)是

合數(shù)?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)家找到的最大的梅森數(shù)是一個(gè)有9808357位的數(shù)：232582657/。

質(zhì)數(shù)的規(guī)律：10之內(nèi)的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7；其余質(zhì)數(shù)的個(gè)位為1,3,7,90質(zhì)數(shù)

不能被個(gè)位數(shù)是9的自然數(shù)整除；個(gè)位數(shù)是9的質(zhì)數(shù)不能完全開方和不能被個(gè)位數(shù)是7

的自然數(shù)整除；個(gè)位數(shù)是7的質(zhì)數(shù)不能被個(gè)位數(shù)是7的自然數(shù)整除；個(gè)位數(shù)是3的質(zhì)數(shù)

不能被個(gè)位數(shù)是3的自然數(shù)整除；個(gè)位數(shù)是1的質(zhì)數(shù)不能完全開方和不能被個(gè)位數(shù)是3

的自然數(shù)整除。

梅森合數(shù)的進(jìn)展

①p=4r+3,如果8r+7也是素?cái)?shù)，則：(8什7)|(2「-1),即2p+l|2P-l；

如：11=4x2+3,23|(2"-1)；23=4x5+3,47|(223-1)；83=4x20+3,167|(283-1)

②p=2"x32+l,則6p+l|2P-l；

如：37=22x32+1,223|237-1；73=23x32+l,439|(273-1)；577=26x32+l,3463|(2577-1)

③P=2nx3mx5-1,則8p+l|2P-l；

如:29=2x3x5-1,233|229-1；179=22X32X5-1,1433|2179-1；239=24x3x5-l,1913|2239-1

威爾森定理(Wilson)：p是一個(gè)素?cái)?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)(p-1)!=—1(modp)□

拉格朗日定理：如果n是素?cái)?shù)，那么(n-l)!+l一定是n的倍數(shù)。

奇素?cái)?shù)p能表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的充分必要條件是：p三1(mod4)o

四平方定理(Lagrange)：每一個(gè)正整數(shù)都能表示成4個(gè)整數(shù)的平方和。

設(shè)n=q2p,n>0,且p沒有平方因數(shù)，則n能表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和的充分必要

條件是：p沒有形如4m+3的質(zhì)因數(shù)(即只有因數(shù)2或4m+l型質(zhì)因數(shù))。

算術(shù)基本定理：任何合數(shù)N,都可以唯一分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，N=p；',

其中Pi<P20..<Pn是質(zhì)數(shù)，諸方暴《是正整數(shù)。又叫唯一分解定理。

這樣的分解稱為正整數(shù)N的素因數(shù)標(biāo)準(zhǔn)分解式，由乘法原理可得：

(1)它的正因數(shù)個(gè)數(shù)為：(1+。1)(1+做)…(1+%)。

當(dāng)且僅當(dāng)N為(完全)平方數(shù)時(shí)，正約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)。奇數(shù)的平方都可以表示為8k+l,

奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù)；偶數(shù)的平方(為4的倍數(shù))都可表示為8k或8k+4；即任何平

方數(shù)被4除的余數(shù)只能是0或1；四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1,必定是一個(gè)平方數(shù)。

(2)它的所有正因數(shù)之和為d(N)=(1+p1+,?,+pI°1)(1+P2+,?,+P2°2),?,(1+Pn+,,,+Pnan)

=f[--------。當(dāng)d(N)=2N時(shí)就稱N為完全數(shù)(Perfectnumber又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是否

VA-1

存在奇完全數(shù)，是一個(gè)至今未解決之猜想)，所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和

(即因子函數(shù))，恰好等于它本身。完全數(shù)的性質(zhì)如下：

1、它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和。6=1+2+3；28=1+2+…+7；496=1+2+…+31

2、每個(gè)都是調(diào)和數(shù)(全部因數(shù)的倒數(shù)之和為2)。1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

3、除6以外的完全數(shù)，可以表示成連續(xù)奇立方數(shù)之和。496=13+33+53+7