專題05 圓錐曲線之焦點(diǎn)三角形（模擬+真題）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題教師版

第第頁(yè)專題05圓錐曲線之焦點(diǎn)三角形1．（2020·廣西欽州一中）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】（技巧法）（常規(guī)法），，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，故選：C.2．（2020·伊美區(qū)第二中學(xué)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（）A． B．C．24 D．48【答案】C【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為2，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】畫出圖形，結(jié)合解三角形知識(shí)、數(shù)量積的定義、橢圓的定義以及平方關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，由題意，，兩式相比得，又，且，所以，而由余弦定理有，即，且由橢圓定義有，所以，解得.故選：C.4．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，即．故選：C．5．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)為、，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)可得出，可得出關(guān)于、的齊次等式，可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】將代入橢圓方程的方程得，可得，則，由對(duì)稱性可知，當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，則該三角形為等腰直角三角形，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，可得，即，等式兩邊同時(shí)除以可得，因?yàn)?，解?故選：B.6．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l與橢圓相切于點(diǎn)P，與圓交于A，B兩點(diǎn)，圓在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由，，，四點(diǎn)共圓，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出相交弦方程，再由與橢圓相切，可得過的切線方程，從而得出，，再由橢圓的參數(shù)方程和向量的運(yùn)算，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)，，由，，可得四點(diǎn)，，，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，若不與軸垂直時(shí)，當(dāng)時(shí)，可化為，設(shè)，在的切線方程為，即，同理可得時(shí)，在的切線方程為，若軸時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為，滿足故過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，，由于在橢圓上，可設(shè)，，，即有，，可得，且，，即有，當(dāng)即或或或時(shí)，的面積取得最大值．故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在求面積的最大值時(shí)，關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最大值.7．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，當(dāng)最大時(shí)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定，，，當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線時(shí)的值最大，計(jì)算，根據(jù)余弦定理得到，計(jì)算面積即可.【詳解】由橢圓的方程可得，，連接PM，PN，則，所以當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線時(shí)的值最大，此時(shí)，，所以，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以，故選：D8．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，則的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及可得出關(guān)于、的方程組，求出的值，即可求得的面積.【詳解】在橢圓中，，，，則，設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上且，得，解得.所以.故選：B.9．（2020·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過且與軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的面積為（

）A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】根據(jù)橢圓，求得，進(jìn)而求得坐標(biāo)，再由點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到坐標(biāo)，可得的長(zhǎng)度及點(diǎn)到直線的距離，然后由三角形面積公式求解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，因?yàn)檫^且與軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離為2，所以的面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線與題意的位置關(guān)系以及對(duì)稱問題和三角形面積問題，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.10．（2019·浙江·校聯(lián)考一模）已知橢圓：上的三點(diǎn)，，，斜率為負(fù)數(shù)的直線與軸交于，若原點(diǎn)是的重心，且與的面積之比為，則直線的斜率為A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，直線BC的方程為．可得，；聯(lián)立，利用原點(diǎn)是△ABC的重心，得，．由，．由此可得，∵．∴．【詳解】設(shè)，．．，直線的方程為.∵原點(diǎn)是的重心，∴與的高之比為，又與的面積之比為，則.即，…①聯(lián)立.，…②，由①②整理可得：…③∵原點(diǎn)是的重心，∴，.∵，∴…④．由③④可得，∵．∴.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11．（2018·河北衡水·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)為橢圓：上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，如的內(nèi)切圓的直徑為3，則此橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，所以的面積，整理得，又，故得橢圓的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)三角形的面積可以建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系．從而找出之間的關(guān)系，求出離心率．12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，且，的內(nèi)切圓半徑為4，的面積為9，則（

）

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法及相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)榈拿娣e為9，所以，因?yàn)?，所以，所以．易知，所以，所以．故選：C.13．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）已知，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若成立，則λ的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，從而可求得離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)，可得，再根據(jù)雙曲線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，所以離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，又，所以，即，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】根據(jù)，得出是解決本題的關(guān)鍵所在.14．（2022·天津河?xùn)|·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，拋物線的準(zhǔn)線與交于、兩點(diǎn)，且三角形為正三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，，由可得出關(guān)于、的齊次等式，結(jié)合可求得的值，即可得解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立可得，所以，，因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，則且，所以，，即，即，所以，，因?yàn)?，解?故選：A.15．（2021·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)條件寫出焦點(diǎn)、的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在C的一條漸近線上且求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)而得解.【詳解】雙曲線C：中，，，漸近線方程：，因，則點(diǎn)P在線段的中垂線：上，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)y0有，所以面積.故選：C16．（2019·遼寧沈陽·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的漸近線與圓相切，且過雙曲線的右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線l與雙曲線交于點(diǎn)A，B，的面積為，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)漸近線與圓相切求得，再根據(jù)的面積得到等式，聯(lián)立方程，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線（）的漸近線方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，可得，解得，所以漸近線方程為，即，即，將代入雙曲線的方程，得，整理得，所以，又由的面積為，即，即聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.17．（2024·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃ǘ噙x題）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)．的內(nèi)切圓圓心為，與分別相切于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)求解，再結(jié)合三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】橢圓：，則，所以，又，所以點(diǎn)再橢圓上，連接，

則，故A不正確；由橢圓的定義可得，又的內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓半徑，由于，所以，故，故C正確；又，所以，則，所以，故D正確；又，所以，又，所以，即，故B正確.故選：BCD.18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知雙曲線C：的一條漸近線與直線垂直，焦距為，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別相交于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的離心率為C．的面積為定值 D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得漸近線斜率，結(jié)合焦距即可求解，進(jìn)而可判斷AB,聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解面積，即可判斷C，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，B：由題意得雙曲線的一條漸近線的斜率為，又焦距為，所以得,因此雙曲線的方程為，離心率，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，易知雙曲線的漸近線的方程為，則由，解得，不妨取，同理可得，則，，（另解：，）于是，由于點(diǎn)P在雙曲線上，所以，因此，所以的面積，由于是定值，所以也為定值，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC19．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x題）如圖，已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)B，連接，，與雙曲線左支交于點(diǎn)P，與漸近線分別交于點(diǎn)M，N，則（

）A．B．C．過的雙曲線的弦的長(zhǎng)度的最小值為8D．點(diǎn)B到兩條漸近線的距離的積為【答案】AD【分析】由，若結(jié)合已知可得，設(shè)且，應(yīng)用點(diǎn)在雙曲線上、兩點(diǎn)距離公式求坐標(biāo)，寫出直線求出坐標(biāo)，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題設(shè)，若，則，，即，可得，若且，則，可得，故，所以，直線為，即，而漸近線為，所以，，則，又，可得（舍）或，故，所以，即，A正確；而，B錯(cuò)誤；令，則，可得，故過垂直于x軸所得弦長(zhǎng)為8，而過和兩頂點(diǎn)的直線，所得弦長(zhǎng)為2，所以過的雙曲線的最短弦為2，C錯(cuò)誤；由到的距離為，到的距離為，所以B到兩條漸近線的距離的積為，D正確.故選：AD20．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知雙曲線（，）的上、下焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且與一條漸近線垂直的直線l與C的上支交于點(diǎn)P，垂足為A，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．三角形的面積為 D．直線l被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為【答案】BC【分析】利用雙曲線的定義、漸近線方程、離心率公式及平面幾何的相關(guān)知識(shí)解決本題.【詳解】設(shè)焦距為2c，不妨取C的一條漸近線，則直線，垂足為A，易知，，因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，設(shè)線段的中點(diǎn)為E，則，所以，，在中，，即，得，故雙曲線的漸近線方程為，A錯(cuò)誤；，解得，B正確；，C正確；設(shè)直線l被以為直徑的圓截得的弦為MN，易知點(diǎn)A即為MN中點(diǎn)，故，D錯(cuò)誤．故選：BC．21．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，．【答案】【分析】根據(jù)定義結(jié)合中位線及面積公式計(jì)算正弦值即可.【詳解】

由題可知，．因?yàn)槠椒?，所以到，的距離相等，設(shè)為，則．易知是的中位線，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，過作于，易得，則，從而．故答案為：22．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，，分別為其左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P，在第三象限交于點(diǎn)Q．若的面積為，則．【答案】/【分析】通過的位置關(guān)系可以判斷出PQ為圓O的直徑，由此易知四邊形為矩形，將轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)三角形的面積后即可判斷出之間的關(guān)系，進(jìn)行求解.【詳解】如下圖所示：由對(duì)稱性知PQ為圓O的直徑，所以．又因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，所以．因?yàn)椋?，所以，，，則．故答案為：【點(diǎn)睛】橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．23．（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)且滿足，延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)Q，則△的內(nèi)切圓半徑是．【答案】【詳解】由橢圓的性質(zhì)知，,．而直角△的內(nèi)切圓半徑是,在△中,，．因?yàn)?，即，所?可得，所以在△中,，可得，解得：，則的內(nèi)切圓半徑是．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線中橢圓基本量的計(jì)算問題，焦點(diǎn)三角形問題是橢圓中的常見題型，本題的切入口是利用面積和求內(nèi)切圓的半徑。此題屬于中檔題.24．（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？级＃┮阎謩e為其左右焦點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，為平分線與軸交點(diǎn)，過作垂線，垂足分別為，求的最大值．【答案】【解析】設(shè)，，，計(jì)算，化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算最值得到答案.【詳解】設(shè)，，，故，故，，故.當(dāng)為上下頂點(diǎn)時(shí)，，，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)的面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.25．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上.若的周長(zhǎng)為，則的面積是.【答案】【分析】設(shè)，由的周長(zhǎng)為，得到，再由雙曲線的定義得到，聯(lián)立解得m，n，然后在中，利用余弦定理和三角形面積公式求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)殡p曲線：（）的離心率為3，所以，即，又的周長(zhǎng)為，所以，由雙曲線的定義得，解得，由余弦定理得，則，所以，故答案為：26．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)半焦距為，由題意知，，所以，所以，雙曲線.

記的內(nèi)切圓與邊，，分別相切于點(diǎn)，則橫坐標(biāo)相等，則，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，由于直線與的右支有2個(gè)交點(diǎn)，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為，可得，即，可得的范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得到的表達(dá)式，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即得.27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，，分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則的最大值為.【答案】4【分析】由雙曲線定義可得，分析可得為的中位線，結(jié)合、的周長(zhǎng)關(guān)系可得，AB為雙曲線的通徑即，聯(lián)立上式可得，則可由均值不等式求二次商式最大值.【詳解】∵軸且過，則AB為雙曲線的通徑，由，代入雙曲線可得，故.為的中點(diǎn)，，則為的中位線，故，又的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：428．（2022·陜西·統(tǒng)考二模）已知橢圓，雙曲線的離心率互為倒數(shù)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M為的漸近線上的一點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為16，則的方程為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的離心率求得雙曲線的離心率，從而求得雙曲線漸近線的方程，根據(jù)以及的面積列方程，化簡(jiǎn)求得，從而求得的方程.【詳解】橢圓的離心率為，所以雙曲線的離心率為，不妨設(shè)在直線上，設(shè)，則，設(shè)，，則，∵，∴.整理得①，依題意：，即：②，①②聯(lián)立得.∴，，，∴的方程為：.故答案為：29．（2021·上海徐匯·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與的左、右支分別交于點(diǎn)、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點(diǎn)、，因?yàn)樵c(diǎn)為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達(dá)定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.30．（2023·天津·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,的面積為,則.【答案】【詳解】試題分析：有得所以雙曲線的漸近線為又拋物線的準(zhǔn)線方程為聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程得在中，到的距離為..考點(diǎn)：雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì).31．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)為定值．【分析】（1）由橢圓所過的點(diǎn)及焦點(diǎn)坐標(biāo)求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，寫出直線的方程，進(jìn)而求縱坐標(biāo)，同理求縱坐標(biāo)，由化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知，橢圓的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義，所以，所以．又，所以，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，由，得，易知，所以，，直線的方程為，令得，，同理可得，所以，為定值．.32．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？家荒＃┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)為、，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，過的左焦點(diǎn)作直線交的左支于A、B兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)若，求的大??；(3)若，試問：是否存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出的值，則的大小可知；（3）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直接分析即可，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，從而判斷出是否存在.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為：；（2）因?yàn)椋?，且，所以，所以的大小為；?）假設(shè)存在滿足要求，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，由解得，所以，所以不垂直，故不滿足要求；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，因?yàn)榕c雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，設(shè)，，聯(lián)立可得，且，即，所以，所以，所以，所以，所以也不滿足要求，故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答本題第三問的關(guān)鍵在于：將“以為直徑的圓過點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“”，從而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的運(yùn)算.33．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，直線，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，求與面積之比的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用拋物線定義即可求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先求得的表達(dá)式，再利用均值定理即可求得其最大值.【詳解】（1）過點(diǎn)且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則，則點(diǎn)到直線和定點(diǎn)距離相等，則的軌跡為以為焦點(diǎn)以直線為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線的方程為：（2）設(shè)A，，，坐標(biāo)分別為，，，，因?yàn)?/p>

令直線：，，：，，由得：，由得：所以

令：，與聯(lián)立得：，所以，，，則所以，代入得：

又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)所以與面積之比的最大值為34．（2023·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程．(2)以曲線E上一動(dòng)點(diǎn)M為切點(diǎn)作E的切線，若直線與直線l交于點(diǎn)N，試探究以線段MN為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)．若過定點(diǎn)．求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)定點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，得到，求得，再聯(lián)立兩直線，求得，設(shè)，結(jié)合恒成立，化簡(jiǎn)得到恒成立，求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)，定直線l：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l的距離的比值為，可得，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為.（2）解：因?yàn)橹本€與相交，所以的斜率存在，可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，即且，所以，即，所以，則，所以，聯(lián)立方程組，解得，即，假設(shè)以線段為直徑的圓過軸上一定點(diǎn)，設(shè)為，則，所以恒成立，即，可得，即，整理得，即，即恒成立，要使得恒成立，則，所以恒過定點(diǎn)，即以線段為直徑的圓過軸上一定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

35．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.36．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．37．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.38．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.39．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.40．（2019·全國(guó)·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).【詳解】由已知可得，又為上一點(diǎn)且在第一象限,為等腰三角形，．∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．41．（2009·重慶·高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】【詳解】試題分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，則由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|設(shè)點(diǎn)（x0，y0）由焦點(diǎn)半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,則a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0＞-a則>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故橢圓的離心率：e∈(-1，1)，故答案為(-1，1)．考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的定義，性質(zhì)及焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，特別是離心率應(yīng)是橢圓考查的一個(gè)亮點(diǎn)，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能通過橢圓的定義以及焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得到離心率的范圍．42．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.43．（2019·全國(guó)·高考真題）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【答案】(1)；（2），a的取值范圍為.【分析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個(gè)式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）[方法一]【橢圓的定義+基本不等式】由題意可知，且，所以．因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，且，所以，從而，故，所以，a的取值范圍為．[方法二]【最優(yōu)解：橢圓的定義+余弦定理】由題意有則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)P為短軸端點(diǎn)，，且滿足．即當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16．故，a的取值范圍為．[方法三]【余弦定理+面積公式】設(shè)，對(duì)橢圓上任一點(diǎn)P，設(shè)，由余弦定理有，所以，即．則．又，即．由于，則以O(shè)為