2020-2021學年甘肅省慶陽市寧縣高一（上）期末數(shù)學試卷 （解析版）

2020-2021學年甘肅省慶陽市寧縣高一（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.設(shè)集合A={x|lWxW3},8={x[2<x<4},則AUB=（）

A.{x[2<xW3}B.{x|2WxW3}C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

2.在空間直角坐標系。-孫z中，點A（-1,0,2）關(guān)于坐標原點的對稱點為B,則|AB|

=()

A.1B.V5c.2娓D.5

3.已知/(x-1)=f+l,則/⑸=()

A.37B.35C.26D.29

4.已知圓G：和。2：-5x+4=0,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

5.直線x+〃y+6=0與直線(〃-2)%+3y+2〃=0平行，則。的值為()

A.3或-1B.3C.-1D.—

2

6.己知函數(shù)/(x)=，?(〃+一；)是R上的奇函數(shù)，則實數(shù)。=()

2X+1

A.--B.—C.-1D.1

22

08

7.己知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，若〃=-/(logz、")，b—f(log2-1-),c—f(2'),

55

則4、氏C的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

8.函數(shù)=e-2-3-2的零點所在區(qū)間為()

x+2

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

正視圖側(cè)視圖俯視圖

48,

A.4B.—C.—D.6

33

2+i

10.已知函數(shù)f(x)=4則八-1)-/(4)等于()

f(x+4),x<2,

A.-7B.-2C.7D.17

11.已知加，小/為三條不同的直線，a,B為兩個不同的平面，給出下列命題：

①由a〃魚根ua,/?cp,得“與〃平行或者異面；

②由機〃小機_La,n_Llf得/〃a或/ua；

③由〃J_a,m//a,得m_L〃；

④由mJ_a,/i±p,a±p,l.Lm,得l〃n.

其中錯誤命題的個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

12.設(shè)方程5-x=|/gx|的兩個根分別為a，%2，則（）

A.X]X2<0B.X\X2=1C.X\X2>1D.0<X\X2<i

二、填空題（共4小題）.

13.函數(shù)f（X）=]的定義域是.

ln(x+l)

14.計算：/gl4-2lg—+lgl-lgl8=

15.aABC的斜二測直觀圖如圖所示，則△ABC的面積為

16.已知點P（x,y）是直線x+6，+2=0（A<0）上一動點，PA,PB是圓C：(x-1)2+/

=1的兩條切線，A,B為切點,若弦AB長的最小值為則實數(shù)％的值為

三、解答題（共6小題）.

17.已知直線/i：2x+y-3=0,直線'ar-2y+l=0.

（1）若直線/i直線/2平行，求直線/i與/2的距離：

（2）若直線人與直線/2垂直，求直線6與/2的交點坐標.

2

18.已知函數(shù)f（x）=a-\—為奇函數(shù).

ex+l

（1）求實數(shù)a的值；

（2）判斷函數(shù)/（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;

（3）解不等式/（Inx）>0.

19.2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同時也嚴重阻礙了經(jīng)濟的發(fā)展，英雄的中國

人民率先戰(zhàn)勝了疫情，重啟了經(jīng)濟引擎.今年夏天武漢某大學畢業(yè)生創(chuàng)建了一個生產(chǎn)電

子儀器的小公司.該公司生產(chǎn)一種電子儀器每月的固定成本為20000元(如房租、水電

等成本)，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入80元，己知每月生產(chǎn)x臺的總收益滿足函數(shù)

480x-04x4500

R(x)=2X，其中x是儀器的月產(chǎn)量.

115000,x>500

(1)將月利潤/(x)表示為月產(chǎn)量的x的函數(shù).(總收益=總成本+利潤)

(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司每月所獲得利潤最大？最大利潤為多少元？

20.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CZ)為矩形，平面平面ABC。，AB=2,

BC=\,PC=PD=EE為PB的中點.

(1)求證：〃平面ACE；

(2)求證：PC平面P8C.

21.已知圓C與y軸相切于點A(0,1),且被x軸所截得的弦長為2百，圓心C在第一

象限.

(I)求圓C的方程；

(II)若點P是直線/：2x+y+5=0上的動點，過P作圓C的切線，切點為8,當△P8C

的面積最小時.，求切線P3的方程.

4

22.已知函數(shù)f(x)=1------(?>0,且/(0)=0.

2ax+a

(I)求。的值；

(II)若函數(shù)g(x)=(2V+1)?/(%)+A有零點，求實數(shù)k的取值范圍.

(III)當xe(0,1)時，f(x)恒成立，求實數(shù)"?的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.設(shè)集合A={x[l<x<3},B={x|2<x<4},則AUB=()

A.{x|2<xW3}B.{x|2WxW3}C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

解：：集合A={x|lWxW3},B={x|2<x<4},

AU8={x[1Wx<4}.

故選：C.

2.在空間直角坐標系。-孫z中，點4(-1,0,2)關(guān)于坐標原點的對稱點為B,則|AB|

=()

A.1B.依C.2^5D.5

解：在空間直角坐標系O-xyz中，

點A(-1,0,2)關(guān)于坐標原點的對稱點為8,

：.B(1,0,-2),

二|AB|={(]+i)2+(-2-2)2=2^/5.

故選：C.

3.己知f(x-l)=x+},則/(5)=()

A.37B.35C.26D.29

解：根據(jù)題意，/(x-1)=W+1,

令x-l=5,即x=6可得：f(5)=62+l=37,

故選：A.

4.已知圓G：，+)?=]和C2：f+y?-5x+4=0,則兩圓的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

解：根據(jù)題意，圓C：x2+/=1,其圓心G(0,0),半徑r=l,

C2：f+y2-5X+4=0,即(X——)?+y?其圓心為(-->0)，半徑R=~9

2422

兩圓的圓心距IGQI=5=R+r，兩圓外切，

故選：C.

5.直線x+@+6=0與直線(a-2)x+3y+2a=0平行，則a的值為()

A.3或-1B.3C.-1D.—

2

解：：直線x+ay+6=0與直線(a-2)x+3y+2a=0平行，

1X3-a(a-2)=0,解得a=-1或3,

經(jīng)檢驗“=-1符合題意，

故選：C.

6.己知函數(shù)/(x)—X*~一)是R上的奇函數(shù)，則實數(shù)a=()

2X+1

A.——B.—C.-1D.1

22

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=￥?(a+—；)是R上的奇函數(shù)，則有f(-x)=-/(、)，

2X+1

即(-x)2(a+-)=-(x2*(a+~~),

2-x+l2X+1

2X1

變形可得：Cl-\-------(〃+--)，

2X+12X+1

貝ij有2a=-1,即a=--；

2

故選：A.

7.已知奇函數(shù)/(工)在R上是增函數(shù)，若〃=-/(log2！)，〃=/(log2§)，C=f(208),

55

則a、氏c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

解：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

所以a=-f(log2--)=f(-Iog2-^-)=f(log25),

55

8

因為0Vk)g22VI,2<log25<3,l<2°-<2,

5

所以Iog2-1-<20-8<log25,

5

又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，

8

所以/(logzg)<f(2°-)</(log25),

即b<c<a.

故選:A.

8.函數(shù)f(x)=e~2-士-2的零點所在區(qū)間為()

x+2

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

解：函數(shù)/(x)=/一2-3-2是連續(xù)增函數(shù),

x+2

,：f(2)=1---2<0,

4

f(3)=e」-2>0,

5

/(3)<0,

由零點判定定理可知函數(shù)的零點在(2,3)

故選：C.

9.某幾何體的三視圖(單位：。加)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：。療)是()

MB[

□

正視圖側(cè)視圖俯視圖

4

A.4B.—C.—D.6

33

解：由三視圖可知：此幾何體為放倒三棱柱如圖：

...此幾何體的體積：yX2X2X2=4.

故選：A.

10.已知函數(shù)f(x)=|X+1'x>2,則八

-1)-/(4)等于()

f(x+4),x<2,

A.-7B.-2C.7D.17

解：函數(shù)

f(x+4),x<2,

則/(-1)=/(3)=32+1=10,

f(4)=42+l=17,

則/(-1)-/<4)=10-17=-7,

故選：A.

11.已知機，小/為三條不同的直線，a,0為兩個不同的平面，給出下列命題：

①由a〃0,"zua,nep,得機與〃平行或者異面；

②由m〃〃，m_La,〃J_/,得/〃a或/ua；

③由〃_La,m//a,得"z_L〃；

④由機_La,〃_L0,a±P，l.Lm,得/〃

其中錯誤命題的個數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

解：由加，％/為三條不同的直線，a,0為兩個不同的平面，知：

對于①，由?！?,〃?ua,利用面面平行的性質(zhì)得用與〃平行或者異面，故①正

確；

對于②，由"?〃mm_La,〃_!_/,利用線線平行、線面垂直的性質(zhì)得/〃?；?ua,故②

正確；

對于③，由〃_La，〃7〃a,利用線面垂直的性質(zhì)得加_L〃，故③正確；

對于④，由加_La,n±p,a±p,l.Lm,得/與〃相交、平行或異面，故④錯誤.

其中錯誤命題的個數(shù)是1.

故選：C.

12.設(shè)方程5-x=|/gx|的兩個根分別為為，x2,則()

A.X\X2<0B.X1X2=1C.X\X2>1D.OVXM2VI

解：f(x)=5-x,g(x)=|/g%|的圖象為：

5-%2-(5-X|)=lgXi+lgM=lg(X1X2)

Ig(X1X2)=x\-%2<0,X1X2E(0,1),

.\0<X\X2<1

故選：D.

二、填空題（共4小題）.

1

13.函數(shù)/（無）=+7擊乂2的定義域是.{x|-1<XW2且x#0}

ln(x+l)

\+1>0

解：由<x+1?-1,解得：-1<XW2,且x#0.

,4-x?》0

二函數(shù)/（X）―」^不-+14-*2的定義域是3-l〈xW2,且xWO}.

lnkx+lj

故答案為：{x|-l<xW2,且x#O}.

14.計算：lg\4-Igl-418=0.

解:/gl4-Ig7-38

=收14-/g49+/g9+/g7-/gl8

14X9X7,

=/g(

49X18

故答案為：0.

15.ZXABC的斜二測直觀圖如圖所示，則△ABC的面積為

解：把△ABC的斜二測直觀圖還原為原圖形，如圖所示;

貝QABC的面積為S=—X2X2=2.

2

故答案為：2.

22

16.己知點P(x,y)是直線尤+燈+2=0(AVO)上一動點，PAf尸8是圓C：(x-1)+y

=1的兩條切線，A,B為切點,若弦AB長的最小值為則實數(shù)k的值為_半_.

解：弦AB長最小等價于/ACB最小，等價于PC最小，

弦AB長的最小值為次，圓C的半徑為1,故sin/4CP=2^,

AC1

故/ACP=60°,由cos60°=&J,PC=2,

PC2

11+2|

PC的最小值為P到圓心C的距離d=-jr-2,

Vl+kJ

o5

故k=—,k<0,

4

所以％=-返，

2_

故答案為：k=-返.

2

三、解答題(共6小題).

17.已知直線/|：2x+y-3=0.直線，2：ax-2y+l=0.

(1)若直線/i直線b平行，求直線/i與/2的距離；

(2)若直線與直線/2垂直，求直線6與/2的交點坐標.

解：(1)因為直線/"2x+y-3=0與直線6：or-2y+l=0平行,

則有。=-4,所以直線IT.4x+2y-1=0,直線/i：4x+2y-6=0,

|-6-(-1)|

根據(jù)兩條平行直線間的距離公式可得

^42+222

(2)因為直線與直線/2垂直，

則有2X〃+1X(-2)=0,解得a=l,

故直線/2：x-2y+l=0,

2x+y-3=0日

聯(lián)立方程組,解得x=l,y=L

x-2y+l=0

故直線/1與/2的交點坐標為(1，1).

9

18.已知函數(shù)f(x)=a-r—為奇函數(shù).

ex+l

(1)求實數(shù)。的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

(3)解不等式/(Inx)>0.

解：(1)的解集是K,

：.f(x)的定義域是R.

又?：f(x)是奇函數(shù)，.?./(())=0.

(0)=a-1=0,即a=\.

經(jīng)檢驗知，當〃=1時，/(-%)=(x),符合題意.

9

(2)由(1)知f(x)=l-—,

ex+l

經(jīng)判斷可知/(x)在R上是增函數(shù).

任取Xi，X26R,且X|〈X2，

則/(XI)-f(x2)=1--^--=―2(e,

X1Xz

eFe'I(e+l)(e+l)

，X1Xz

；y=，為增函數(shù)，xi<x2?--0<e<e-

xxxx

Aei+1>0,e2+1>0,ei_ez<0.

:?f5)-/(X2)<0,即(即)<f(X2).

：.f(x)在R上是增函數(shù).

2

(3)由f(x)=l-—，

ex+l

99v-1

可得f(lnx)=lK^=lFF，

二>0

x+1,

X.x>0

解得X>1,

...原不等式的解集為(1,+8).

19.2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同時也嚴重阻礙了經(jīng)濟的發(fā)展，英雄的中國

人民率先戰(zhàn)勝了疫情，重啟了經(jīng)濟引擎.今年夏天武漢某大學畢業(yè)生創(chuàng)建了一個生產(chǎn)電

子儀器的小公司.該公司生產(chǎn)一種電子儀器每月的固定成本為20000元(如房租、水電

等成本)，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入80元，已知每月生產(chǎn)x臺的總收益滿足函數(shù)

480x-gx2，0<x4500

R(x)=2X，其中x是儀器的月產(chǎn)量.

115000,x>500

(1)將月利潤f(x)表示為月產(chǎn)量的x的函數(shù).(總收益=總成本+利潤)

(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司每月所獲得利潤最大？最大利潤為多少元？

解:(1)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000+80X,

480x-yx2-20000-80x,0<x<50C

那么f(x)=R(x)-(20000+80x)=<41

115000-20000-80x,x>500

-^x2+400x-20000,0<x<50C

整理得f(x)=12；

95000-80x,x>500

(2)當OWxW5OO時，f(x)=-y(x-400)2+60000>

:.當x=400時，f(x)最大值為60000；

當x>500時，f(x)是減函數(shù)，且/(x)<95000-80X500=55000,

.?.當x=400時，函數(shù)的最大值為60000,

即當月產(chǎn)量為400臺時，所獲得利潤最大，最大利潤為60000元.

20.如圖，在四棱錐P-ABCC中，底面ABCD為矩形，平面PC。，平面ABC￡>,AB=2,

BC=1,PC=PD=?,E為PB的中點.

(1)求證：PQ〃平面ACE；

(2)求證：尸￡)，平面尸BC.

【解答】(1)證明：連結(jié)8。交AC于點凡連結(jié)EF.

,/底面ABCD是矩形，,F為BD中點.

又為尸8中點，：.EF//PD.

：POU平面ACE,EFu平面ACE,

...PD〃平面ACE；

(2)證明：?.?底面ABC。為矩形,

：.BCLCD.

又.平面PC￡>_L平面ABC。，BCu平面ABCZ),平面PCZ>A平面ABCr>=CZ),

.?.BC_L平面PCD.

?"Ou平面PC。，：.BCLPD.

:PC=PD=?,：.PC2+PD2=CD2,BPPDLPC.

\"BCnPC=C,BC,PCu平面PBC,

.?.PO_L平面PBC.

21.已知圓C與y軸相切于點A(0,1),且被x軸所截得的弦長為2百，圓心C在第一

象限.

(I)求圓C的方程：

(II)若點P是直線/：2%+尹5=0上的動點，過尸作圓C的切線，切點為8,當△PBC

的面積最小時，求切線P8的方程.

解:(I):?圓C與y軸相切于點A(0,1),圓心C在第一象限，

.??設(shè)圓心坐標為(a,1),則半徑為r=a(a>0),

又圓被x軸所截得的弦長為2^3,

可得(?)2+l=a4得。=2.

圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=4；

(II)如圖，P為直線/：2x+y+5=0上的動點，過P作圓C的切線，切點