(概率論與數(shù)理統(tǒng)計 茆詩松) 第5章 統(tǒng)計量及其分布

第5章統(tǒng)計量及其分布本章將全面介紹統(tǒng)計量及其分布的基本概念和計算方法。從數(shù)據(jù)收集、描述性統(tǒng)計、到推斷性統(tǒng)計，系統(tǒng)地討論各種常見的統(tǒng)計量及其在實際分析中的應(yīng)用。同時闡述這些統(tǒng)計量的理論分布及其性質(zhì)，為后續(xù)的假設(shè)檢驗和區(qū)間估計打下基礎(chǔ)。byJerryTurnersnull5.1統(tǒng)計量的概念定義統(tǒng)計量是基于樣本數(shù)據(jù)計算得出的一個數(shù)值,用于描述總體的特征。重要性統(tǒng)計量為我們提供了對總體的了解,為后續(xù)的統(tǒng)計推斷和決策提供依據(jù)。特點統(tǒng)計量本身也是一個隨機(jī)變量,具有概率分布和抽樣性質(zhì)。5.1.1統(tǒng)計量的定義統(tǒng)計量是用于描述樣本或總體特征的量化指標(biāo)。統(tǒng)計量可以是單一數(shù)值,如樣本平均值或標(biāo)準(zhǔn)差,也可以是一組數(shù)值,如頻數(shù)分布表。統(tǒng)計量能反映某些總體特征,如位置、散布、偏斜等,是開展統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)。它們具有可測量、可比較的性質(zhì),為數(shù)據(jù)分析奠定了數(shù)量基礎(chǔ)。統(tǒng)計量的定義必須明確其描述的總體特征,以及如何從觀測數(shù)據(jù)中計算得到。定義清晰準(zhǔn)確的統(tǒng)計量是后續(xù)分析的前提條件。5.1.2統(tǒng)計量的性質(zhì)統(tǒng)計量是基于樣本數(shù)據(jù)計算得到的量。它具有一些常見的性質(zhì),如無偏性、相合性、有效性等。統(tǒng)計量的無偏性是指統(tǒng)計量的期望等于總體參數(shù)。相合性是指統(tǒng)計量在樣本容量無限大時收斂于總體參數(shù)。有效性是指在所有無偏估計量中,某一估計量的方差最小。此外,統(tǒng)計量還應(yīng)該具有穩(wěn)定性和效率等特性。統(tǒng)計量的分布在統(tǒng)計學(xué)中,了解統(tǒng)計量的分布特性至關(guān)重要。統(tǒng)計量的分布反映了該統(tǒng)計量的概率特性,為估計和檢驗提供理論基礎(chǔ)。本節(jié)將探討統(tǒng)計量的分布函數(shù)以及常見統(tǒng)計量的分布情況。5.2.1統(tǒng)計量的分布函數(shù)統(tǒng)計量的分布函數(shù)是描述統(tǒng)計量取值的概率分布的函數(shù)。它反映了統(tǒng)計量在取值范圍內(nèi)的概率分布情況。通過分析統(tǒng)計量的分布函數(shù),我們可以了解統(tǒng)計量的特性,為后續(xù)的統(tǒng)計推斷奠定基礎(chǔ)。分布函數(shù)可以是離散型的,也可以是連續(xù)型的。常見的分布函數(shù)包括正態(tài)分布、t分布、卡方分布和F分布等。這些分布函數(shù)有各自的特點和應(yīng)用場景,是統(tǒng)計分析中不可或缺的重要工具。5.2.2統(tǒng)計量的期望和方差統(tǒng)計量的期望和方差反映了統(tǒng)計量自身的特性,是評判一個統(tǒng)計量好壞的重要指標(biāo)。期望表示統(tǒng)計量的平均值,方差則表示統(tǒng)計量離其期望值的離散程度。了解統(tǒng)計量的期望和方差有助于更好地理解和運(yùn)用統(tǒng)計量,從而做出更精準(zhǔn)的統(tǒng)計推斷。常見統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量的分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的核心內(nèi)容。常見的統(tǒng)計量包括樣本均值、樣本方差、t分布、卡方分布和F分布。了解這些統(tǒng)計量的分布特性有助于進(jìn)行點估計、區(qū)間估計和假設(shè)檢驗等統(tǒng)計推斷。5.3.1樣本均值的分布樣本均值的分布是一個基礎(chǔ)性的統(tǒng)計量分布問題。當(dāng)總體滿足某些條件時，樣本均值的分布將趨近于正態(tài)分布。這是中心極限定理所揭示的基本規(guī)律。通過研究樣本均值的分布特性，可以為后續(xù)的點估計和區(qū)間估計提供重要理論支撐。5.3.2樣本方差的分布樣本方差是一個重要的統(tǒng)計量,用于衡量樣本數(shù)據(jù)的離散程度。樣本方差服從卡方分布,其自由度等于樣本量減1。樣本方差的分布特性使得我們可以構(gòu)建置信區(qū)間或進(jìn)行假設(shè)檢驗,了解總體方差的情況。5.3.3t分布t分布是一種重要的概率分布,在統(tǒng)計推斷中有廣泛的應(yīng)用。它描述了樣本均值在總體均值附近的分布情況,特別適用于小樣本推斷。t分布有一個自由度參數(shù),反映了樣本容量的大小,自由度越大,t分布越接近于正態(tài)分布。t分布的密度函數(shù)具有"鐘形"特征,中心集中,兩側(cè)漸漸降低。它可以用于構(gòu)建置信區(qū)間和進(jìn)行假設(shè)檢驗,尤其適用于樣本容量較小的情況。5.3.4卡方分布卡方分布是一種重要的概率分布模型，廣泛應(yīng)用于概率統(tǒng)計推斷中。該分布描述了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和的分布特征。它具有單峰對稱的形態(tài)，并且與自由度有關(guān)。自由度越大，分布越接近正態(tài)分布。5.3.5F分布F分布是由卡方分布派生而來的連續(xù)概率分布。F分布主要應(yīng)用于方差分析和檢驗假設(shè)，比如比較兩個獨立總體的方差是否相等。F分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)都有復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式。統(tǒng)計量的漸近分布統(tǒng)計量的漸近分布是指當(dāng)樣本容量足夠大時,某些常見統(tǒng)計量的分布將逐漸趨于某些已知分布,如正態(tài)分布。這為利用已知分布性質(zhì)對未知參數(shù)進(jìn)行估計與檢驗提供了重要理論基礎(chǔ)。5.4.1大樣本理論大樣本理論是指當(dāng)樣本容量n足夠大時,可以使用正態(tài)分布來近似描述樣本統(tǒng)計量的分布。這為統(tǒng)計推斷提供了理論基礎(chǔ),使得我們可以利用中心極限定理等結(jié)果對總體參數(shù)進(jìn)行估計和檢驗。大樣本理論主要包括兩個方面:一是大樣本理論中的強(qiáng)大數(shù)定律,二是大樣本理論中的中心極限定理。這些理論保證了在樣本量足夠大的情況下,樣本統(tǒng)計量能夠很好地反映總體參數(shù)的特征。5.4.2中心極限定理中心極限定理是一個非常重要的統(tǒng)計理論定理。它表明，無論總體分布如何，當(dāng)樣本量足夠大時，樣本平均值的分布都會趨近于正態(tài)分布。這為許多統(tǒng)計推斷提供了理論基礎(chǔ)，如t檢驗、卡方檢驗等。這一定理的本質(zhì)是說，隨機(jī)變量的和或平均值都會趨向正態(tài)分布，這為我們在實際應(yīng)用中使用正態(tài)分布做近似計算提供了依據(jù)。掌握好中心極限定理對于更深入理解隨機(jī)變量的分布特性很重要。5.4.3大數(shù)定律大數(shù)定律是概率論中一個重要定理,描述了大量獨立隨機(jī)事件出現(xiàn)頻率的收斂性。大數(shù)定律說明,當(dāng)樣本容量足夠大時,樣本平均值將趨近于總體的期望。這一定律為統(tǒng)計推論奠定了理論基礎(chǔ),在實際中得到廣泛應(yīng)用,是極為重要的統(tǒng)計量分析工具。大樣本理論大樣本理論是統(tǒng)計學(xué)中一個重要的理論分支,研究了當(dāng)樣本容量足夠大時,統(tǒng)計量的分布特性。這一理論為許多統(tǒng)計推斷提供了理論基礎(chǔ),為我們利用樣本信息進(jìn)行參數(shù)估計和假設(shè)檢驗奠定了堅實的基礎(chǔ)。5.5.1點估計的概念點估計是一種利用樣本數(shù)據(jù)推斷總體參數(shù)的統(tǒng)計方法。它通過計算樣本統(tǒng)計量來估算未知的總體參數(shù)值。例如,使用樣本平均值來估算總體平均值,或者使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估算總體標(biāo)準(zhǔn)差。點估計提供了一種簡潔直觀的方式來推斷總體特征。點估計的核心在于選擇合適的樣本統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計量。一個好的點估計量應(yīng)該具有無偏性、有效性和充分性等優(yōu)良性質(zhì),能夠盡可能準(zhǔn)確地描述總體特征。5.5.2區(qū)間估計的概念區(qū)間估計是統(tǒng)計中一種重要的估計方法。它不僅可以給出點估計的值，還可以給出一個包含未知參數(shù)的區(qū)間,從而更加全面地反映未知參數(shù)的取值范圍。通過建立置信區(qū)間,我們可以更準(zhǔn)確地掌握未知參數(shù)的取值情況。這不僅能夠更好地描述總體特征,還為假設(shè)檢驗等方法奠定了基礎(chǔ)。5.5.3置信區(qū)間的構(gòu)造置信區(qū)間是對未知參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計的方法之一。通過選取合適的統(tǒng)計量和抽樣分布，可以構(gòu)造出包含未知參數(shù)的真實值的區(qū)間。構(gòu)造置信區(qū)間一般遵循以下步驟：確定合適的統(tǒng)計量、確定統(tǒng)計量的抽樣分布、根據(jù)顯著性水平計算臨界值、利用統(tǒng)計量計算區(qū)間估計值。置信區(qū)間的長度反映了估計的精度，置信度越高估計精度越低。選擇合適的置信度水平和樣本量可以得到最優(yōu)的置信區(qū)間。假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的一種重要方法,它允許我們根據(jù)有限的樣本數(shù)據(jù),對總體的未知參數(shù)做出判斷。它包括定義待檢驗的假設(shè)、選擇合適的檢驗統(tǒng)計量、計算臨界值并做出決策等步驟。5.6.1假設(shè)檢驗的定義假設(shè)檢驗是一種統(tǒng)計推斷方法,用于評估一個樣本數(shù)據(jù)是否能夠支持某個關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)。它通過構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量,并計算該統(tǒng)計量的概率值,進(jìn)而得出是否拒絕原假設(shè)的結(jié)論。假設(shè)檢驗的過程包括提出原假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇合適的檢驗統(tǒng)計量、計算p值以及做出判斷。5.6.2檢驗統(tǒng)計量和臨界值檢驗統(tǒng)計量是用于評估假設(shè)檢驗的數(shù)值指標(biāo)。它根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得出,遵循某種已知的概率分布。臨界值是用于判斷檢驗統(tǒng)計量是否落在拒絕域內(nèi)的臨界點。臨界值由顯著性水平和分布類型確定。比較檢驗統(tǒng)計量和臨界值可以決定是否拒絕原假設(shè)。如果檢驗統(tǒng)計量落在拒絕域內(nèi),則拒絕原假設(shè);否則接受原假設(shè)。I類錯誤和II類錯誤I類錯誤：也稱拒真錯誤，即在原假設(shè)為真的情況下,錯誤地拒絕原假設(shè)。這種錯誤的概率被稱為顯著性水平α。II類錯誤：也稱取假錯誤，即在原假設(shè)為假的情況下,錯誤地接受原假設(shè)。這種錯誤的概率被稱為功效β。I類錯誤和II類錯誤是相互矛盾的,降低一種錯誤通常會增加另一種錯誤的概率。因此在實際中需要權(quán)衡兩種錯誤的代價來確定最合適的顯著性水平和樣本量。5.6.4假設(shè)檢驗的步驟明確需要檢驗的統(tǒng)計假設(shè)，包括原假設(shè)和備擇假設(shè)。確定檢驗統(tǒng)計量并計算其數(shù)值。根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的分布確定臨界值或p值。比較檢驗統(tǒng)計量與臨界值，或計算p值與顯著性水平，作出檢驗結(jié)論。常見假設(shè)檢驗問題統(tǒng)計學(xué)中常見的假設(shè)檢驗問題包括均值檢驗、方差檢驗和比例檢驗等。這些檢驗幫助我們判斷樣本數(shù)據(jù)是否符合某些假設(shè)條件,為決策提供依據(jù)。不同檢驗遵循不同的統(tǒng)計分布,如正態(tài)分布、卡方分布和F分布。5.7.1均值檢驗均值檢驗是統(tǒng)計學(xué)中常見的假設(shè)檢驗之一，它用于檢驗總體均值是否等于某個預(yù)設(shè)值。通過抽取樣本數(shù)據(jù)計算樣本均值，并利用統(tǒng)計量的分布理論對總體均值進(jìn)行推斷。常見的均值檢驗包括單總體均值檢驗和兩總體均值差檢驗，分別適用于不同的研究情況。方差檢驗方差檢驗是用于檢驗兩個或多個總體方差是否相等的統(tǒng)計推斷方法。常用的方差檢驗方法包括F檢驗和Bartlett檢驗。F檢驗適用于檢驗兩個