湖北高考數(shù)學試卷

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)

數(shù)學(理工農(nóng)醫(yī)類)

本試卷共4面，滿分150分，考試時間120分鐘

★祝考試順利★

注意事項：

答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘巾在答題卡

上指定位置。

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上，對應題目的答案標號涂寫，如寫改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其它答案標號，答在試題卷上無效。

非選擇題用0.5毫米的黑色墨水簽字攵答在答題卡上每題對應的答題區(qū)域內，答在試題卷上無效。

考試結束，請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本次題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

設2=(1,-2)力=(-3,4)￡=(3,2),則6+2切飛=

A.(-15,12)B.OC.-3D.-11

若非空集合A,B,C滿足AUB=C,且B不是A的子集，則

A.“x€C”是“x€A”的充分條件但不是必要條件

B."xec”是“X0A”的必要條件但不是充分條件

c.“xec”是“xCA”的充分條件

D.“x€C”是“x€A”的充分條件也不是“x€A”必要條件

用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為兀，則球的體積為

8行132萬

A.3B,3c.8c兀D,3

-ln(Vx~—3x+2+V-X~—3x+4)

函數(shù)f(x)=X的定義域為

A.(-8,-4)[U2,+oo]B.(-4,0)U(0,l)

C.[-4,0]U(0,1)]D.[-4,OU(0,1)

7T.TT

5.將函數(shù)尸3al(.V--?)的聰F按向量(y3)平移得到圖氮嚴若嚴的一條對稱軸是直線則

g的一個可能取值是

55,H?11

A.—7TB.--穴C.—7TD.—7T

12121212

6.將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為

A.540B.300C.180D.150

7一若f(x)=-ix2+3山0+2)在(-1,+8)上是減函數(shù)，則c的取值范圍是

AJ-1,一叼B(yǎng).(-1,—C.(-8,-1)D一(心，-1)

8.已知mE^.a.bEIL若lim,+')~~—=3.則々?b=

A.-mB.mC.-1D.1

9.過點A(11,2)作圓了2+V+2尤—164=°的弦，其中弦長為整數(shù)的共有

A.16條B.17條C.32條D.34條

10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為

一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍

以F為一個焦點的橢圓軌道E繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌

進入以F為圓心的圓形軌道DI繞月飛行，若用2cl和2c2分別表示橢

軌道I和口的焦距，用2al和2a2分別表示橢圓軌道I和n的長軸的

長，給出下列式子：

C3。2

①al+cl=a2+c2;②aLcl=a2-c2;③cla2>alcl;④。<%.

其中正確式子的序號是

A.①③B.②③C.①④D.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.

11.設zl=zLzl(其中zl表示zl的共朝復數(shù))，已知z2的實部是-1,則z2的虛部為

12.在4ABC中，三個角A,B,C的對邊邊長分別為a=3,b=4,c=6,則becosA+cacosB+abcosC的值

為

13.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x€R,a,b為常數(shù)，則方程f(ax+b)=。的解集為

14.已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列｛ax｝的公差為2.若f(a2+a4+ab+a2+al)=4,則

Log2[f(al)-f(a2)-f(a).........f(alO)]=

15.觀察下列等式：

1

-n2H---M,

i=l2

n121

斤=-n+-n2H—n.

i=l326

-3=ln2+-n2

n+-n2

z424

i=l

nl^l4l31

a=+n+n---",

i=l52330

2

+〃-4也=(-—3n+21),

、、.kk+2kk—\k-2

〉J=g+1〃++%-1〃+〃左_2〃+'''+Cl^l+CIQ,

z=l

11

ak+\=

可以推測，當x>2(kCN*)時,人+1

ak-2=.

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

J---,g(x)=cosx[f(sinx)+sinxf(cosx),xe(匹衛(wèi)馬.

已知函數(shù)f(t)=V12

(I)將函數(shù)g(x)化簡成Asin(3x+tp)+B(A>0,w>0,ipG[0,2n])的形式；

(H)求函數(shù)g(x)的值域.

17.(本小題滿分12分)

袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n=l,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球.

之表示所取球的標號.

(I)求之的分布列，期望和方差；

(0)若試求a,b的值.

18.(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC_L側面A1ABB1.

(I)求證：AB1BC;

(□)若直線AC與平面A1BC所成的角為仇二面角A1-BC-A的大

小為〒的大小關系，并予以證明.

19.(本小題滿分13分)

如圖，在以點。為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD±

是半圓弧上一點，

AB,P

ZPOB=30°,曲線C是滿足為定值的動點M的軌

跡，且曲線C過點P.

（i）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€c的方程；

（n）設過點D的直線1與曲線C相交于不同的兩點E、F.

若AOEF的面積不小于2,求直線1斜率的取值范圍.

20.（本小題滿分12分）

水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水

量（單位：億立方米）關于t的近似函數(shù)關系式為

<（一?+1書—40）"+50,0?<10,

V（t）」4?-10）（3/-41）+50,10t<12.

（I）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以表示第1月份（HX.J2），同一年內哪幾個

月份是枯水期？

（II）求一年內該水庫的最大蓄水量（取-2.7計算）.

21.（本小題滿分14分）

已知數(shù)列｛4｝和滿足：a】=Xran-]=-as+n-A,bn=（-1）*（%-3%+21）,其中X為實數(shù):，n為正整數(shù)一

（I）對任意實數(shù)入，證明數(shù)列｛他｝不是等比數(shù)列；

（II）試判斷數(shù)列｛&｝是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；

（III）設0V&V&近為數(shù)列｛服｝的前n項和.是否存在實數(shù)％，使得對任意正整數(shù)n，都有

aV嬴港存在，求入的取值范圍；若不存在，說明理由.

2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）

數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）試題參考答案

一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算.每小題5分，滿分50分.

l.C2.B3.B4.D5.A6.D7.C8.A9.C10.B

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分25分.

61k

11.112.213.014.-615.12,o

三、解答題：本大題共6小題，共75分.

16.本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質等基本知識，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡

變形和運算能力.（滿分12分）

/、11-cos%

g（x）=cos----Hsinx.----------

解.（［）V1+sinxV1+cosx

/(I-cos%)2

cos------bsinxA-------；-----

Vcos-%Vsin2x

1-cosx

=cos

|sin.x|

xe|cosx|=-cosx,|sinx|=-sinx,g(x)=cos+sinx-儂》

-cosx-sin%

=sinx+cosx-2

,’17K5K,兀，5兀

7U<^'X?，.

(n)由12得443

（5兀3兀?3K5K

sin，在142」上為減函數(shù)，在123」上為增函數(shù),

.5兀，，.5兀.3TU./兀、，，.5兀（17K

sm——<sin——,sm——<sm(x+—)<sin——問兀，丁

又34244（當t2」）,

-1<sin(x+—)<一^~,-A/2-2<\/2sin(x+—)-2<-3,

即424

[-五一2,-3).

故g（x）的值域為

17.本小題主要考查概率、隨機變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運算能力.（滿分12分）

解：（I）?的分布列為:

01234

J_113

p

220io205

E￡=Ox-+lx—+2x—+3x—+4x-=1.5.

22010205

^(0-1.5)2X-+(1-1.5)2X—+(2-1.5)2X—+(3-1.5)2X—+(4-1.5)2X-=2.75.

22010205(n)由

0rlL,得a2X2.75=ll,即4=±2.又如=々后自+"所以

當a=2時，由l=2X1.5+b,得b=-2;

當a=-2時,由1=-2X1.5+b,得b=4.

a—2,a——2,

<V

:.b-或［。=4即為所求.

18.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關

系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）

（I）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內作

ADJ_A1B于D,則

由平面A1BC上側面A1ABB1,且平面A1BC側面

A1ABB1=A1B,得

ADJ_平面A1BC,又BC<=平面A1BC,

所以ADXBC.

因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，

則AA1,底面ABC,

所以AA1XBC.

又AA1AD=A，從而BCJ_側面A1ABB1,

又AB<=側面A1ABB1,故AB_LBC.

（□）解法1:連接CD,則由（I）知NA。。是直線AC與平面A1BC所成的角,

NABA是二面角Al-BC—A的平面角，即ZACD=0,ZABy41=（P，

.AD

sin0=—,sin(p=------

于是在RtAADC中,AC在RtAADB中,AB

.c.0<。，中〈—，d

由AB<AC,得smOVsincp,又2所以9〈中，

解法2:由(I)知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分

別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AAl=a,AC=b,

AB=c,則B(0,0,0),A(0,c,0),

2

C(A/^-C,0,0)，A(0,C,?)_E

T

BC=(J/-c?,0,0),BA]=(0,c,a),

AC=("2-2,-c,0),A4=(0,0,a).

設平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z),則

nB\=0,fcy+az=0,

,nBC=0,/曰]ylb2-c1x=0,

由l，得l、

可取于是與口的夾角

n=(0,-a,c),"AC=ac>ftACB為銳

角，則°與°互為余角.

nACac

sin0-cosp=

RMb-Ja2+c2

BABAc

cosq)=?~~2~~I-=/.a

Mn網(wǎng)5+。22左花

所以

于是由c<b

.八一-0<0,<P<一,c

即sineVsincp,又丫2所以

19.本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以

及綜合解題能力.(滿分13分)

(I)解法1：以。為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A(-2,0),

B(2,0),D(0,2),P2，1),依題意得

-22

MA|-|MB|=1PA|-IPB|=Q+6)2+仔A/C2-V3)+1=2V2<AB?=4

，曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設實平軸長為a,虛半軸長為b,半焦距為c,

則c=2,2a=2、2,a2=2,b2=c2-a2=2.

22

土-絲=1

???曲線C的方程為22.

.解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得I必j-1MS!=i%「-1paIv

IABI=4.

.?:曲線C是以原點為中心，A.8為焦點的雙曲線.

設雙曲戲的方程為，>0).

a0

(II)解法1:依題意，可設直線1的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理得(l-k2)x2-4kx-6=0.

1.直線1與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,

l—k~0,k±1,

A=(—4左)2+4X6(1—R)>0,O1—6<k<耳

二.ke(-◎/)u(-i,i)u(i,向.

4k6

----=-------------

設E(x,y),F(x2,y2),則由①式得xl+x2=1-4-一1一左，于是

EF|=Ja-/)2+(%+%2)2=J(l+:2)(七一%)2

22

71+k-+x2)-4X,X2=J1+12-2,3J

2

11+k2

而原點o到直線1的距離d=

2日3-左2

-d-\EF\=--2-A/1+^2-2H/3-1

22Ji+k?

SADEF=

若△OEF面積不小于20,即S4OEFN2J，，則有

2向3-A

>2V2?>V-V-2<OJW-V2<^<V2.

③

綜合②、③知，直線1的斜率的取值范圍為［-J5,u(i,J5).

解法2:依題意，可設直線1的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,

得(l-k2)x2-4kx-6=0.

1.直線1與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,

J1—左2/0,fk^+1,

.=(-4jt)2+4x6(1-^2)>0.^-43<k<43

.'.k€(-也，A)U(-1,1)U(1,向.

設E(xl,yl),F(x2,y2),則由①式得

后用

由n--/--+--X-?-)----------VA=2I

xl-x21=111?③

當E、F在同一去上時(如圖1所示)，

|SAO?F-SACDEI=卜||X1|-Lil=,Bi-引；

SAOEF=22

當E、F在不同支上時(如圖2所示).

S=S+—|0D|?(|^11+|^2I)-~^\OD\,\X1~X2I-

□AOEF^\ODFs△ODE=2

』。。卜人-司，

綜上得SZ\OEF=2于是

2向3"

由IODI=2及③式，得S4OEF=I1

若△OEF面積不小于2"即SAOEF-2叵則有

2后，3-左22后O左J/40,解得—行《左〈后.

1-V

綜合②、④知，直線1的斜率的取值范圍為[-J5,-i]u(-1,1)u(1,J5),

20.本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)和不等式等基本知識，考查用導數(shù)求最值和綜合運用數(shù)學知識解決實際問題

能力.(滿分12分)

%

解：(I)①當0ct410時，V(t)=(-t2+14t-40)e+50<50,

化簡得t2-14t+40>0,

解得t<4,或t>10,又0<t410,故0<t<4.

②當10<t412時，V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,

化簡得(t-10)(3t-41)<0,

41

解得10<t<3,又10<t412,故10<t^l2.

綜合得0<t<4,或10<tl2,

故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個月.

(H)(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)內達到.

-(1,31-t

c(--?+-?+4)=--c4?+2)(-8),

由V，(t)=424

令V'(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

當t變化時，V'(t)與V(t)的變化情況如下表：

t(4,8)8(8,10)

vz(t)+0-

v(t)極大值

由上表，v(t)在t=8時一取得最大值V(8)=8e2+50-108.52(億立方米).

故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

21.本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題

的能力和推理認證能力，(滿分14分)

(I)證明：假設存在一個實數(shù)3使｛an｝是等比數(shù)列,則有a22=ala3,即

244,4,

(-2-3)29=4(—4—4)0—下一42+9=—》—4409=0,

3999矛盾.

所以｛an｝不是等比數(shù)列.

2

(H)解：因為bn+l=(-l)n+l[an+l-3(n-l)+21]=(-l)n+l(3an-2n+14)

22

=3(-l)n-(an-3n+21)=-3bn

又blxQ+18),所以

當入=T8,bn=0(n€N+),此時｛bn｝不是等比數(shù)列：

^__2

當入￥—18時，bl=(X+18)中0,由上可知bnWO,°(n€N+).

2

故當入土-18時，數(shù)列｛bn｝是以一晨+18)為首項，―3為公比的等比數(shù)歹心

(皿)由(□)知,當入=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.

2_

故知bn=-(X+18)-(-3)n-1,于是可得

3

-(2+18)-1-

Sn=-5-

要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立,

32

5

即a<-(X.+18)-[1-(―3)n]<b(nGN+)

“日a3/。1c、

得--------<——(2+18)<-----b----

I-n5I

3

4f(n)=l-(--),則

①

<3；當〃為正偶數(shù)時，-</(?)<i,

當n為正奇數(shù)時，l<f(n)39

55

??.f(n)的最大值為f(l)=3,f(n)的最小值為f(2)=9,

533

---60—6—3a—18.

于是，由①式得9a<-58+18),<5

當a<b43a時，由一b-18?=-3a-18,不存在實數(shù)滿足題目要求；

當b>3a存在實數(shù)入，使得對任意正整數(shù)n,都有a〈Sn<b,且入的取值范圍是(一b-18,-3a-18)

2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）

數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）

本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

?？荚図樌?/p>

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡

上指定位置。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標號，答在試題卷上無效。

3.填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對應的答題區(qū)域內，答在試題卷上無效。

4.考試結束，請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本大題共1。小題，每小題5分，共50分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題

目要求的。

1、已知。={m（L⑴根（0,酷，R好，b職|“1對）（正是兩個向量集合，則

PIQ=

A.{Cl,1]}B.{〔-1,1〕}C.{〔1,0]}D.{〔0,1]}

y=匕竺原e氏且xW」）的反函數(shù)是

2.設a為非零實數(shù)，函數(shù)1+以a

i+axp1

y=-——(xeR,且%w--)y=------(xGA,且xw——

A、1+axaB、I-axa

1—y

y=eR,且xH1)

J：%))

C、a(l-XD、a(l+X

3、投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為m和n,則復數(shù)（m+ni）（n-mi）為實數(shù)的概率為

￡￡1_J_

A、3B、4C、6D、12

/c7C、-

y=cos（2x+—）-2,_q、

4.函數(shù)6的圖象/按向量0平移到p,尸的函數(shù)解析式為當丁=八刃為奇

函數(shù)時，向量a可以等于

R冗兀TC

口，-2)C.(-，-2)叫,2)

5.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到

同一個班，則不同分法的種數(shù)為

A.18B.24C.30D36

22n-l2n

=CLQ++…+〃2八-11+

6.設則

limK%+a?+%+…+a2n一(%+/+%+…+。2〃-1=

A.-1B.0C.1D.2

—+^-=1

7.已知雙曲線22的準線過橢圓4"的焦點，則直線，=履+2與橢圓至多有一個交點的

充要條件是

j_1Ke(-oo,--1

Kw—,+oo

A.2,2B.I22

8.在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可

供使用。每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機

10臺。若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為

A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元

9.設球的半徑為時間t的函數(shù)A"）。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑

A.成正比，比例系數(shù)為CB.成正比，比例系數(shù)為2c

C.成反比，比例系數(shù)為CD.成反比，比例系數(shù)為2c

10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：

他們研究過圖1中的1,3,6,10,???,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱

圖2中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

A.289B.1024C.1225D.1378

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上，一題兩空的

題，其答案按先后次序填寫.

ax-1//1、

----（一0°,_1）（_-+°°）

11.已知關于X的不等式X+1<0的解集是29.則a=

12.樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在［6，1°）內的

頻數(shù)為，數(shù)據(jù)落在［2/°）內的概率約為

13.如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號沿直線傳播，電視信號能夠傳送到達的地面區(qū)域，稱為這個衛(wèi)星的覆蓋區(qū)

域.為了轉播2008年北京奧運會，我國發(fā)射了“中星九號”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為

36000km.已知地球半徑約為6400km,則“中星九號”覆蓋區(qū)域內的任意兩點的球面距離的最大值約為

km.（結果中保留反余弦的符號）.

/(x)=f*(—)cosx+sinx,嚀的值為

14.已知函數(shù)4則

%，當a,，為偶數(shù)時，

4+1=j2

15.已知數(shù)列｛%｝滿足:（m為正整數(shù)）,當4為奇數(shù)時。若&=1,則m所有可

能的取值為。

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）

一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)2,3,4,5;另一個盒子也裝有4張大小形狀

完全相同的卡片，分別標有數(shù)3,4,5,6。現(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一

盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y,記隨機變量〃=x+y,求〃的分布列和數(shù)學期望。

17.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

（I）求向量〃+c的長度的最大值；

_71

（□）設al且o,S+c）,求cos,的值

18.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD，平面ABCD,SD=2a,=缶點E是SD上的點，

且DE=2a（0<A<2）

（I）求證：對任意的'e9,2],都有AC_LBE

（n）設二面角C—AE—D的大小為。,直線BE與平面ABCD所成的角為夕，若tan'gtan°=l,求

2的值

19、（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）

[a]S“=-an_（；）"T+2

已知數(shù)列I"的前n項和2（n為正整數(shù)）。

（I）令2=2"%,求證數(shù)列也，｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛風｝的通項公式;

c“=j“_—

（n）令〃"，T"H++%試比較［與2〃+l的大小，并予以證明。

20、（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）

過拋物線丁=2*（P>0）的對稱軸上一點A（a，°）（a>°）的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N

向直線，：x=-a作垂線，垂足分別為“1、乂。

（I）當2時，求證：AM」4Vl.

（n）記、AAMNI、AANN,的面積分別為E、S2S3,是否存在2，使得對任意的。>o,

s；=4sls2

都有成立。若存在，求出4的值；若不存在，說明理由。

21.（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）

0:pS)q=—；(p_c)(q-b)+4bc

在R上定義運算（b、C為實常數(shù)）。記工（Z）=Z-2c

力(%)=%一%,令/⑶=工(%)③￡(%)

_4

（I）如果函數(shù)/（%）在力=1處有極什3,試確定&c的值；

（n）求曲線y_/（/）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；

（明記g（x）"（到（1VI）的最大值為".若"2左對任意的b、c恒成立，試示上的最大值。

2009年高考湖北理科數(shù)學卷解析

1.【答案】A

【解析】因為。=（1，根）代入選項可得PcQ=｛（U）｝故選A.

2.【答案】D

【解析】同文2

3.【答案】C

【解析】因為（加+方）（〃-疝）=2胸+（“2一病》為實數(shù)

6_1

P

22《?C廠飛

所以〃=機故機=〃則可以取1、2…6,共6種可能，所以

4.【答案】B

【解析】同文科7

5.【答案】C

【解析】用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數(shù)是戲，順序有用種，而甲乙被分在同

一個班的有用種，所以種數(shù)是C：蜀一禺=30

6.【答案】B

【解析】令得22"

%+2+,?,+a2n

兩式相加得：2

—1產(chǎn)

q+。3+,,,+〃2八-1二

兩式相減得：2

代入極限式可得，故選B

7.【答案】A

亭±1

【解析】易得準線方程是b

所以c2="-62=4一〃=i即匕2=3所以方程是43

聯(lián)立y"+2可得3%2+(4k2+16k)%+4=°由以?？山獾肁

8.【答案】B

【解析】同文8

9.【答案】D

V⑺=—4"N,⑺_.

【解析】由題意可知球的體積為3，則°="產(chǎn)先&火，由此可得

------；-=4"R⑺2

R(，)RQ)，而球的表面積為s?)=4?H⑺，

所以曝=S〃)=4〃&⑺=8萬尺⑺尺⑺，

v表=8?R?)R(0=2x4兀R(t)R(0=—^―R?)=蕓

即R⑴R⑺RQ),故之

10.【答案】c

【解析】同文10

11.【答案】-2

a(x+l)(x—)<0

【解析】由不等式判斷可得a*0且不等式等價于a

a<0且————=>a=—2

由解集特點可得a2

12.【答案】640.4

【解析】同文15

8

13.【答案】12800arccos53

【解析】如圖所示，可得A0=42400,則在

8

RtAABO中可得COS/AOB=53

Q

l=dR=2ZAOB-R=12800arccos—

所以53

14.【答案】1

f\x)=-/'(y)-sinx+cosx/'(y)=-/'(y)-sin^+cosf

【解析】因為4所以4444

=>/6)=應-1故/￡)=/q)cos卜+si吟n嚀=1

15.【答案】4532

mm

——a2————=—

【解析】（1）若4="為偶數(shù)，則2為偶，故22324

mmrr1mlec

—%—..........cif-————1m—32

①當4仍為偶數(shù)時，832故32

一a4=3a+1=—m+1.......a6——

②當4為奇數(shù)時，44

3?

—m+1

4—=1

故4得m=40

3m+1

"3-g

⑵若《=”為奇數(shù)，則&=3q+i=3加+i為偶數(shù)，故2必為偶數(shù)

3m+13m+1

，所以可得

61616=11rL=5

16.解析：依題意，可分別取〃=5、6、-?.11取，則有

八11/八2/"7)J

。(〃=5)="=—P(〃=6)=,p(

4x41616

432,,,"A

p(r]=8)=M〃=9)=M〃=10)=-^(7=11

7lo7lo77lo

,,,77的分布列為

7567891011

P124321

1616316161616

16

1234321

Erj=5x----l-6x----F7X--F8X--F9X----FlOx----i-llx—=8

16161616161616

17.解析：(1)解法1：B+cnQosQ—LsinQ).!)

|b+c|2=(cos/?-1)2+sin2/7=2(1-cos/?).

-1<COS/?<1,.\0<|Z>+C|2<4即04|b+c區(qū)2.

當cos夕=T時，有S+cl=2,所以向量》+c的長度的最大值為2.

解法2：傳1=1,lc|=l,S+C區(qū)傳|+|c|=2

當cos〃=-l時，有|)+c|=(—2,0),即|〃+c|=2,

5+C的長度的最大值為2.

(2)解法1：由已知可得8+c=(cos尸一Lsin尸)，

aS+c)=cosacos尸+sin°sin尸一cosa=cos(a-/?)-cosa

c

a_L(b+c)/.a?(〃+(?)=0即cos(。-/?)=cosa

a=—cos(--y^)=cos—/?--=2kn±—(Jc^z)

由K得44,即〃44

jr

…兀+產(chǎn)=2km也ez)=0或cos尸=1

，J

=工=(叵曷

解法2：若心,則”二萬，又由人=(cosAsin〃)，c=(-l,0)得

.?.a-(Z?+c)=(—).(cos/?-l,sin/?)=—cos/?+—sin/?--

^2/2^

a_L(b+c)a-(b+c)=0即cos