2019年各地中考解析版數(shù)學(xué)考試試卷匯編：全等三角形

全等三角形

一.選擇題

1.（2019?廣東?3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,延長(zhǎng)CB至E使EB=2,以EB為

邊在上方作正方形EFGB,延長(zhǎng)FG交DC于M,連接AM、AF,H為AD的中點(diǎn)

,連接

FH分別與AB.AM交于點(diǎn)N、K.則下列結(jié)論：①△ANH絲ZXGNF：②NAFN=NHFG：

③FN=2NK；④SAAFN：SAADM=1：4.其中正確的結(jié)論有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】AH=GF=2,ZANH=ZGNF,ZAHN=ZGFN,△ANH^AGNF（AAS），①正確

；由①得AN=GN=1,：NG，F(xiàn)G,NA不垂直于AF,...FN不是NAFG的角平分線(xiàn)，

/.ZAFN#ZHFG,②錯(cuò)誤；由AAKHsaMICF,且AH:MF=1:3,；.KH:KF=1:3,又

1

VFN=HN,；.K為NH的中點(diǎn)，即FN=2NK,③正確；SAAFN=2ANFG=1,SAADM

1

=2DM-AD=4,SAAFN：SAADM=1：4,④正確.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的應(yīng)用，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形，相似三角形，三

角形的面積

2.（2019?廣西池河?3分）如圖，在正方形ABCQ中，點(diǎn)E,F分別在BC,CQ上，BE=

CF,則圖中與NAEB相等的角的個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用SAS即可證明△相^^△8C凡再根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得/BFC=NAEB,進(jìn)一步得到NB尸C=NABF,從而求解.

【解答】證明：???四邊形ABCD是正方形,

：.AB//BC,AB=BC,/ABE=/BCF=90°,

在△A8E和△BCF1中，

'AB=BC

<NABE=/BCF，

BE=CF

：./\ABE^/\BCF(SAS),

:.NBFC=NAEB,

：.NBFC=ZABF,

故圖中與NAEB相等的角的個(gè)數(shù)是2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

3.(2019?湖北天門(mén)?3分)如圖，AB為。。的直徑，BC為。。的切線(xiàn)，弦AO〃OC,直線(xiàn)

CD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接BD.下列結(jié)論：①CD是。。的切線(xiàn)；@COLDB；

③

△EDASAEBD；④瓦〉BC=BO*BE.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】由切線(xiàn)的性質(zhì)得NCBO=90°,首先連接OD,易證得△C。?？誂COB(SAS)

,然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得NC￡>O=90°,即可證得直線(xiàn)CO是。。的切

線(xiàn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=CB,根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理得到即C。

LDB,故②正確；根據(jù)余角的性質(zhì)得到/AOE=NBDO,等量代換得到NED4=/

DBE,根據(jù)相似三角形的判定定理得到△EDAs△砂0,故③正確；根據(jù)相似三角形的

ED0D

性質(zhì)得到

于是得到ED*BC=BO-BE,故④正確.

【解答】解：連結(jié)DO.

TAB為。0的直徑，8C為。。的切線(xiàn)，

.\ZCBO=90°,

?：AD〃OC,

：.ZDAO=ZCOB1ZADO=ZCOD.

又???OA=OD,

：.ZDAO=ZADOf

：.ZCOD=ZCOB,

'CO=DO

<ZC0D=ZC0B

在△COO和△COB中，［OD二OB，

:?△CODmACOB(SAS),

：.ZCDO=ZCBO=90°.

又?：點(diǎn)。在o。上，

???co是o。的切線(xiàn)；故①正確，

?:△CODqACOB,

:?CD=CB,

?.,OD=OB,

?,?CO垂直平分DB,

即CO_LDB,故②正確；

TAB為。。的直徑，。。為OO的切線(xiàn)，

：.ZEDO=ZADB=90°,

AZEDA+ZADO=ZBDO+ZADO=90°,

???/ADE=/BDO,

?：OD=OB9

：.ZODB=ZOBD,

:?/EDA=NDBE,

VZE=ZE,

:?叢EDAsREBD,故③正確;

■:NEDO=NEBC=90°,

ZE=ZE,

：./\EOD^/\ECB,

.ED_0D

^BE=BC，

'：OD=OB,

：.ED-BC=BO?BE,故④正確

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線(xiàn)的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與

性質(zhì)，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵.

4.（2019?湖北孝感?3分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊CD,ADk,BE與

CF

交于點(diǎn)G.若BC=4,DE=AF=\,則GF的長(zhǎng)為（）

A.—B.-C.-D.16

555-p-

5

【分析】證明△BCEgZXCD尸（SAS）,得/CBE=NDCF,所以NCGE=90°,根據(jù)等

角的余弦可得CG的長(zhǎng)，可得結(jié)論.

【解答】解：正方形A8C。中，??,3C=4,

：.BC=CD=AD=4fZBCE=ZCDF=90°,

?：AF=DE=1,

:.DF=CE=3,

:.BE=CF=5,

在△BCE和△(?￡)尸中,

BC=CD

NBCE二NCDF，

CERF

：?4BCEW4CDF(SAS),

：.NCBE=/DCF,

,:/CBE+/CEB=/ECG+/CEB=9C=NCGE,

,、z/^orr___/廠—BCCG

cosCDLLCOS乙ECCJ;二一___'，

BECE

GF=CF

-CG=5-

12=13

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三

角函數(shù)，證明aBCE絲△C。尸是解本題的關(guān)鍵.

5.（2019?山東省濱州市?3分）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>

OC,/AOB=/COQ=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)、M,連接OM.下列結(jié)論：①AC=

BD；@ZAMB=40°；③。M平分NBOC；④M。平分/BMC.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】全等三角形

【分析】由SAS證明△AOC經(jīng)ABO力得出/OCA=NOOB,AC=BD,①正確;

由全等三角形的性質(zhì)得出/OAC=NOB。，由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC^Z

AOB+NOBD,得出/AMB=NAOB=40°,②正確；

作OGLMC于G,O4_LMB于H,如圖所示：則/OGC=NO”O(jiān)=90°,由A4S證明

△OCG絲（AAS）,得出OG=OH,由角平分線(xiàn)的判定方法得出M。平分NBMC

④正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：'：ZAOB=ZCOD=40°,

ZAOB+ZAOD^ZCOD+ZAOD,

即NAOC=NB。。，

'OA=OB

在△AOC和△BOO中，，ZA0C=ZB0D，

OC=OD

A/\AOC^/\BOD(SAS),

：.ZOCA=ZODB,AC=BD,①正確；

:.NOAC=NOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC^ZAOB+ZOBD,

；.NAMB=/AOB=40°,②正確；

作OG_LMC于G,OH_LMB于H,如圖所示：

則NOGC=NOH￡>=90°,

'N0CA=N0DB

在aOCG和△O￡)”中，?Z0GC=Z0HD，

,OC=OD

：./\OCG^/\ODH(44S),

OG=OH,

平分NBMC,④正確；

正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線(xiàn)的判定等

知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?山東省聊城市?3分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，/BAC=90°,一個(gè)三

角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B,將三角

尺繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意一個(gè)銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB,AC分別交于

點(diǎn)E,尸時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AE+AF=ACB.ZBEO+ZOFC=180°

C.OE+OF=?BC

D.5四邊形

2

【考點(diǎn)】全等三角形

【分析】連接AO,易證△EOA經(jīng)△尸OC(ASA),利用全等三角形的性質(zhì)可得出EA=

FC,進(jìn)而可得出AE+A/=AC,選項(xiàng)A正確；由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合NB+NC=90°,Z

EOB+

/尸OC=90°可得出NBEO+/OFC=180°,選項(xiàng)B正確；由△￡■(四絲△尸OC可得出S

△EOA=S&FOC,結(jié)合圖形可得出S四邊形

ABC,選項(xiàng)。正確.綜上，此題得解.

【解答】解：連接AO,如圖所示.

,?.△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)。為5C的中點(diǎn)，

：.OA=OC,NAOC=90°,ZBAO=ZACO=450.

VZEOA+ZAOF=ZEOF=90°,ZAOF+ZFOC=ZAOC=90°,

：.ZEOA=ZFOC.

"ZEOA=ZFOC

<OA=OC

在△EOA和中，NEAO二/FCO'

AAEOA^AFOC(ASA),

：.EA=FC,

：.AE+AF=AF+FC=ACf選項(xiàng)A正確；

VZB+ZBEO+ZEOB=ZFOC+ZC+ZOFC=\SO°,N8+NC=90°,ZEOB+ZFOC

=180°-/EOF=90°,

???N8EO+N。尸。=180°,選項(xiàng)5正確;

/\EOA^/\FOC,

：.S^EOA—S^FOC,

；.S四邊?^-S^ABC,選項(xiàng)D正確.

2

故選：c.

E,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形以及三角

形內(nèi)角和定理，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

1.（2019,四川成都，4分）如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E都在邊BC上，

ZBAD=ZCAE,若BD=9,則CE的長(zhǎng)為.

【解析】此題考察的是全等三角形的性質(zhì)和判定，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以有

AB=AC,ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE,所以△ABDACE（ASA）,所以BD=二次,

EC=9.

2.（2019?浙江嘉興?4分）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個(gè)平

面上，

邊AC與EF重合，AC=12cm.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)

C出發(fā)沿射線(xiàn)BC方向滑動(dòng).當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

24-12）

cm；連接BD,則AABD的面積最大值為（2對(duì)+36盛-12遙）cm?.

A(E)

BC(F)

【分析】過(guò)點(diǎn)D'作D'NLAC于點(diǎn)N,作D'MLBC于點(diǎn)M,由直角三角形的性質(zhì)可得BC

45&cm,AB=8后m,ED=DF=6^>/^cni,由“AAS”可證△[)'NE'四△1)'MF',可得D'N=

D'M,即點(diǎn)D'在射線(xiàn)CD上移動(dòng)，且當(dāng)E'D'LAC時(shí)，DD'值最大，則可求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路

徑

長(zhǎng)，由三角形面積公式可求S△加,B口CXAC+J^ACXD'N-，方(12±

2222

-4如)XD'N,則E'D'_LAC時(shí)，Sao'B有最大值.

【解答】解：：AC=12cm,ZA=30°,ZDEF=45°

.?.BC=W^cm,AB=86cm,ED=DF=6匹m

如圖，當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得△￡'□'「'，過(guò)點(diǎn)D'作D'NLAC于點(diǎn)N,作D'M

±BC于點(diǎn)M

NE'D'N=NF'D"M,且ND'NE'=ND'MF'=90°,E'D'=D'F'

.?.△D'NE'絲△D'MF'(AAS)

.?.D'N=D'M,且D'N_LAC,D'M±CM

...CD'平分/ACM

即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn)D'在射線(xiàn)CD上移動(dòng)，

...當(dāng)E'D'1AC時(shí)，DD'值最大，最大值物D-CD=(12-672)cm

當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)正)=(24-1272)

cm

如圖,連接BD',AD,,

...SAAD，B=1BCXAC+—XACXD'N--XBCXD'M=2碼(12-4遙)XD'N

222

當(dāng)E'D'J_AC時(shí),SAAP'B有最大值,

.*.SAAB'B最大值=24J^(12-+36

故答案為：(24-12廠)，(24_+3612_)

V2V3V2V6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)

的性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵.

3.（2019?湖南邵陽(yáng)?3分）如圖，已知請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△?!￡）（；絲△4E8

，你添加的條件是48=—（7或/4￡^=/4￡：=或/48￡=/4。=.（不添加任

何字母和輔助線(xiàn)）

【分析】根據(jù)圖形可知證明△AOC絲△4EB已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此

可以利用ASASAS、41s證明兩三角形全等.

【解答】解：=AD^AE,

.?.可以添加AB=AC,此時(shí)滿(mǎn)足SAS；

添加條件/ADC=N4EB,此時(shí)滿(mǎn)足ASA；

添加條件/ABE=/ACO,此時(shí)滿(mǎn)足A45,

故答案為AB=AC^ZADC=ZAEB^ZABE=ZACD；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，是一道開(kāi)放題，解題的關(guān)鍵是牢記全等三角形的

判定方法.

三.解答題

I.（本題7分）已知：如圖，點(diǎn)B,D在線(xiàn)段AE上，AD=BE,AC〃EF,NC=/H.求證:

BC=DH

B

H

【解析】證明：VAD=BE,/.AD-BD=BE-BD,即AB=DE.

：AC〃EF,.\ZA=ZE

在^ABC和4EDH中

ZC=ZH,ZA=ZE,AB=DE.A△ABC^AEDH,ABC=DH

2.(2019,四川成都，10分)如圖1,在△ABC中，AB=AC=20,tanB=3

,點(diǎn)D為BC邊上

4

的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合).以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作NADE=/B,射線(xiàn)DE交AC邊于點(diǎn)E

，過(guò)點(diǎn)A作AF±AD交射線(xiàn)DE于F,連接CF.

(1)求證：△ABDs^DCE；

(2)當(dāng)DE〃AB時(shí)(如圖2),求AE的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得DE=CF?若存在，求出

此時(shí)BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】此題考查了三角形全等，相似問(wèn)題.

(1)VAB=AC,AZB=ZACB.VZADE+ZCDE=ZB+ZBAD,ZADE=ZB,

ZBAD=ZCDE..,.△ABD^ADCE.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AMJ_BC于點(diǎn)M.在RtAABM中，設(shè)BM=4k,則AM=BM-tanB=4女?3=

3k.

4

由勾股定理，得+202=?A)2+(4%)2,k=4.

；AB=AC,AM1BC,；.BC=2BM=2-4k=32,VDE/7AB,二NBAD=NADE.又

VZADE=ZB,

ABDB

ZB=ZACB,/.ZBAD=ZACB.VZABD=ZCBA,/.AABD^ACBA.A-----=------.

CBAB

20x25

AB220225AE

B

D

DB=,VDEZ/AB,???=.AE=BD=2=125

CB322ACBC3216

B

C

,3,京。在6c邊上運(yùn)動(dòng)的江媚中.在在某冷位it^DF=CF.

這點(diǎn)F作尸，，BC于點(diǎn)H.過(guò)點(diǎn),.4作AM1BC千也M.AN工FH千點(diǎn).N.

聃tNHM=&MH=ZJA7/=90。.

：.0通科.4MHN為t￡4L

二乙MAN-90°.MH=AN.

VAB=AC.AM1BC.

N.4NF=90°=N.4MD.

?/Z.DAF=900=AMAN.

：.Z.NAF=ZA/JD.

.1.2FN，C，4DM.

ANAFn3

r.----=-------tailZ.ADF=tan8=—.

ANAD4

/.AN=—AAf=3x12=9.

44

CH=CM-MH=CM-AN=16-9=1.

當(dāng)OF=C/時(shí),由點(diǎn)O不與點(diǎn)C重合.可知AZ＞尸C為等腰三用彩.

義FH1.DC.

CD=2CH=14

:.30=8C-CO=32—14=18.

所以.點(diǎn)。在3c邊上運(yùn)動(dòng)的近代中,存在臬外位置.使得。尸=3.此時(shí)80=18.

2.(2019?湖南長(zhǎng)沙?8分)如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E,尸分別在AD,CDk,且DE=CF

4尸與BE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=AF；

(2)若AB=4,DE=l,求AG的長(zhǎng).

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出廣=90°,AB=AO=CD,得出AE=。尸

，由SAS證明△BAEg/SAOF,即可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出/￡BA=/FA。，得出NG4E+NA￡G=90°,因此/AGE

=90°,由勾股定理得出口居藐W=5,在RtAABE中，由三角形面積即可得出結(jié)

果.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABCQ是正方形，

，/BAE=NAOF=90°,AB^AD=CD,

"：DE=CF,

J.AE^DF,

'AB=AD

<NBAE=NADF

在△8AE和△AOF中，［皿二DF，

.?.△BAE絲△AQF(SAS),

：.BE=AF；

(2)解：由(1)得：/XBAE^/XADF,

:"EBA=/FAD,

：.ZGAE+ZAEG=90°,

：.ZAGE=90Q,

'：AB=4,DE=l,

：.AE=3,

B￡=VAB2+AE2=V42+32=5'

在RtZ\A8E中LBXAE=4EXAG,

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面

積公式；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

3.(2019?湖南懷化?10分)已知：如圖，在。ABCD中，AE±BC,CFLAD,E,尸分別為

垂足.

(1)求證：AABEqACDF；

(2)求證：四邊形AEC尸是矩形.

,D

B

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出NB=/￡>,AB=CD,AD//BC,由已知得出N

AEB

=NAEC=/C尸Q=/AFC=90°,由A4S證明△ABE絲△(7￡>尸即可;

(2)證出/￡4尸=/人曰：=/4氏：=90°,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.ZB=ZD,AB=CD,AD//BC,

'：AELBC,CF^AD,

：.ZAEB=^ZAEC^ZCFD^ZAFC=90°,

在△ABE和△CQF中，fZB=ZD

<ZAEB=ZCFD

：./\ABE^/\CDF(AAS.>);

［曲=CD

(2)證明：'：AD//BC,

...NEAF=NAE3=90°,

AZEAF=ZAEC=ZAFC=90°,

，四邊形AECF是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練學(xué)

握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

4(2019?湖南湘西州?8分)如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,F分別在邊CD,A。上，且

AF=CE.

(1)求證：△AB&ACBE；

(2)若AB=4,AF=1,求四邊形BED尸的面積.

【分析】(1)利用SAS即可證明;

（2）用正方形面積減去兩個(gè)全等三角形的面積即可.

【解答】解：（I）在aAB尸和△C8E中

rAB=BC

■ZA=ZC=90°

AF=CE，

:.△ABF^.ACBE（SAS）；

（2）由已知可得正方形ABC。面積為16,

△48/面積=/\。8e面積?X4X1=2.

2

所以四邊形BEZm的面積為16-2X2=12

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較小，掌握全等三角形的判定方

法是解題的關(guān)鍵.

5.（2019?湖南岳陽(yáng)?6分）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)EF分別為ADC。邊上的點(diǎn)，

DE

=DF,求證：Z1=Z2.

【分析】由菱形的性質(zhì)得出\D=CD,由SAS證明/會(huì)△CDE,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：???四邊形ABCO是菱形，

J.AD^CD,

'AD=CD

?ND=/D

在/XADF和△€1￡>￡中，IDF=DE

.?.△ADF學(xué)ACDE(SAS),

.*.Z1=Z2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)：熟練掌握菱形的性質(zhì)，證

明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?甘肅武威T0分）閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問(wèn)題:

例題：如圖①，在等邊AABC中，"是BC邊上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B,C),N是叢ABC

的外角NACH的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且AM=MN.求證：ZAMN=60".

點(diǎn)撥：如圖②，作NC8E=60°,BE與NC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E,得等邊△BEC,連接

EM.易證：AABM絲AEBM(5A5),可得AM=EM,Z1=Z2；又AM=MN,則

EM

—MN,可得/3=N4；由/3+Nl=/4+/5=60°,進(jìn)一步可得/I=/2=/5,又因

為N2+N6=120°,所以N5+N6=120°,即：NAMN=60°.

問(wèn)題：如圖③，在正方形4I81OD1中，Mi是81。邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)Bi,CD,

N1

是正方形AiBiCiOi的外角的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且41Ml=M1M.求證：Z

A1M1M

=90°.

【分析】延長(zhǎng)481至E,使EBI=4Bi,連接EMIC.EC1,則E8i=8lO,/EBiA71中

90°=N48iMi,得出△E8IO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/

B1ECI=NB1C1E=45°,證出/B1OE+/MC1M=180°,得出E6N1,三點(diǎn)共線(xiàn)，

由

S4S證明絲△E81M1得出A\M\=EM\,Z1=Z2,得出EMi=MiNi,由等腰

三角形的性質(zhì)得出/3=/4,證出/1=N2=N5,得出/5+N6=90°,即可得出結(jié)論

【解答】解：延長(zhǎng)AiBl至E,使EB\=A\B\,連接EMCEC1,如圖所示

：則￡B1=B1CI,NE81M1中=90°=AA\B\M\,

AAEBiCi是等腰直角三角形，

.,.ZB1EC1=ZBIC1E=45°,

?:N1是正方形A\B\C\D\的外角/。。卻的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，

.,.ZM1CWI=9O0+45°=135°,

...NBiCiE+NMiCiNi=180°,

1E.C1.NI,三點(diǎn)共線(xiàn),

入3曰1

在△4151M1和△11M1中，

(SAS),

：.A\M\=EM\,Z1=Z2,

VA1MI=A/W1,

:.EMi=MINI,

二/3=/4,

VZ2+Z3=45°,Z4+Z5=45°,

AZ1=Z2=Z5,

,.,Zl+Z6=90°,

：.N5+N6=90°,

E

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰

直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)：本題綜

合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵.

7.(2019?甘肅?8分)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)A

作

AGLEQ交DE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)、G.

(1)證明：△ADG四△￡>(7￡

(2)連接BF,證明：AB=&3.

【分析】(1)依據(jù)正方形的性質(zhì)以及垂線(xiàn)的定義，即可得到NAQG=NC=90°,AD=

DC,/DAG=NCDE,即可得出△AOG絲/XOCE；

(2)延長(zhǎng)DE交A3的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,根據(jù)△DCEZAHBE,即可得出B是A"的中點(diǎn)

進(jìn)而得到AB=FB.

【解答】解：（1）.??四邊形ABC。是正方形,

.../AQG=/C=90°,AD=DC,

又：AG_L￡>E,

/.ND4G+/AQF=90°=NCDE+/ADF,

：.NDAG=NCDE,

：./\ADG^/\DCE(ASA)；

(2)如圖所示，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,

是BC的中點(diǎn)，

；.BE=CE,

又；NC=/HBE=90°,ZDEC=ZHEB,

:.ADCE咨AHBE(ASA),

:.BH=DC=AB,

即B是AH的中點(diǎn)

,又；/4尸”=90

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形

的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形.

8.（2019,山東棗莊，10分）在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AO_LBC于點(diǎn)D.

，AB=

2

時(shí)，求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)E,尸分別在AB,AC上，且NEC尸=90°,求證：BE=AF；

(3)如圖3,點(diǎn)M在A。的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)N在AC上，且NBMN=90°,求證：

AB+AN

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到班,求

出NMBO=30°,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

(2)證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

(3)過(guò)點(diǎn)例作MEHBC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,證明△BME絲△4MN,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到BE=AN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論.

【解答】(1)解:VZBAC=90°,AB=AC,ADLBC,

：.AD=BD=DC,/ABC=/ACB=45°,NBAC=/CA￡>=45°,

；AB=2,

:.AD=BD=DC=H

'：ZAMN=30a,

：.ZBMD=lS00-90°-30°=60°,

：.ZMBD=30°,

：.BM=2DM,

由勾股定理得，BM2-DM2=BD2,即J，)2,

(2)證明：'JADLBC,Z￡DF=90",

ZBDE=ZADF,

在△BDE和△4。/中，

2B=NDAF

?DB=DA，

ZBDE=ZADF

：./\BDE^/\ADF(ASA)

：.BE=AF；

(3)證明：過(guò)點(diǎn)M作ME〃BC交A8的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,

，N/U/E=90°,

則Z￡=45°,

：.ME=MA,

?..N4ME=90°,NBMN=9Q°,

:.NBME=NAMN,在

△BME和△AMN中，

2E=NHAN

<ME=MA，

,ZBME=ZAMN

:.ABME^AAMN(ASA),

：.BE=AN,

：.AB+AN=AB+BE=AE=y/^AM.

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2019,四川巴中，8分）如圖，等腰直角三角板如圖放置.直角頂點(diǎn)C在直線(xiàn)機(jī)上，

分別過(guò)點(diǎn)A.B作AEJ_直線(xiàn)機(jī)于點(diǎn)E,直線(xiàn)〃，于點(diǎn)D.

①求證：EC=BD；

②若設(shè)△AEC三邊分別為A.B.c,利用此圖證明勾股定理.

【分析】①通過(guò)A4S證得△C4E絲△BC。，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論;

②利用等面積法證得勾股定理.

【解答】①證明：,?,/ACB=90°,

AZACE^ZBCD=90Q.

VZACE+ZCAE=90°,

:.NCAE=NBCD.

在AAEC與△88中，

'NCEA=NBDC

，ZCAE=ZBCD

,AC=CB

AACAE^ABCD(AAS).

:.EC=BD；

②解：由①知：BD=CE=a

CD=AE=b

：.S梯形AEDB=[(a+h)(a+b)

2

=Xa2+a/?+-^?2.

又榜彩AEDB—S^AEC+S^BCD+S^ABC

整理，得a2+b2=c2.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的證明，解

本題的關(guān)鍵是判斷兩三角形全等.

10.（2019?浙江嘉興?6分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線(xiàn)BD.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件

使得結(jié)論"AE=CF”成立，并加以證明.

【分析】根據(jù)SAS即可證明△ABEgZXCDF可得AE=CF.

【解答】解：添加的條件是BE=DF（答案不唯一）.

證明：???四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AB=CD,

.".ZABD=ZBDC,又

；BE=DF（添加）,

.".△ABE^ACDF(SAS),

.\AE=CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型.

11.(2019?浙江衢州?6分)如圖，在4x4的方格子中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，

(1)在圖1中畫(huà)出線(xiàn)段CD,使CD±CB,其中D是格點(diǎn),

(2)在圖2中畫(huà)出平行四邊形ABEC,其中E是格點(diǎn).

【答案】(1)解：如圖，

線(xiàn)段CD就是所求作的圖形.

(2)解:如圖,

B

圖2

OABEC就是所求作的圖形

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖

【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CDLCB,且點(diǎn)D是格點(diǎn)即可.（2）作一個(gè)

BAC全等即可得出圖形.

12.（2019?浙江紹興T2分）如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，BC在地面上，支架A8C是

底邊為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂A?？衫@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),擺動(dòng)臂。用可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，

AO=30,DM=10.

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

①當(dāng)4,D,例三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，求AM的長(zhǎng).

②當(dāng)A,D,M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求AM的長(zhǎng).

（2）若擺動(dòng)臂A。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。的位置由AABC外的點(diǎn)。轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)D2

處，連結(jié)。點(diǎn)2,如圖2,此時(shí)NAD2c=135。，CZ）2=60,求的長(zhǎng).

【分析】（1）①分兩種情形分別求解即可.

②顯然NM4O不能為直角.當(dāng)NAMD為直角時(shí)，根據(jù)AM^AD^-DM2,計(jì)算即可，當(dāng)

NA￡>M=90。時(shí)，根據(jù)AM2=AD2+DM2,計(jì)算即可.

（2）連接CD.首先利用勾股定理求出C）,再利用全等三角形的性質(zhì)證明BD2=CD，

即可.

【解答】解：（1）①AM=A￡>+Z）M=40,或AM=AD-DM=20.

②顯然NM4D不能為直角.

當(dāng)N4W。為直角時(shí)，AM2=AD2-DA/2=302-102=800,

；.4M=20&或（-20V^棄）.

當(dāng)/ADW=90°時(shí)，AM2=A￡）2+OM2=302+102=1000,

或（-10近5舍棄）.

綜上所述，滿(mǎn)足條件的AM的值為&或伍.

(2)如圖2中，連接CD.

圖2

由題意：N?AQ2=90。，401=402=30,

AZAD2Di=45°,￡>Q=30&,

NAD2c=135°,

：.ZCD2D\=90°,

22

CD\=^CD2+D1D2=30注，

VZBAC=ZA1AZ)2=9O0,

:.NBAC-ZCAD2^ZD2AD\-ZCAD2,

；.NBADi=NCAD2,

?：AB=AC,AQ2=AOI,

...△BAD絲△CADi(SAS),

:.BD2=CDi=30娓.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬

于中考?？碱}型.

13.（2019甘肅省蘭州市）（本題6分）如圖，AB=DE,BF=EC.ZB-ZE.

求證：ACZ/DF.

【答案】AC〃DF.

【考點(diǎn)】三角形的全等.

【考察能力】推理論證能力.

【難度】簡(jiǎn)單.

【解析】證明：??'BF=EC第13題圖

???BF+CF=EC+CF

???BC=EF

在^ABC與^DEF中,

\AB=DE

IZB=Z￡

\BC=EF

.,.△ABC^ADEF(SAS)

，/ACB=/EFD

，AC〃DF.

14.（2019,山東淄博，5分）已知，在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，AB=AD,AC=AE,

NBAE=NDAC.求證：ZE=ZC.

【分析】由“SAS”可證△A8C四△4OE,可得NC=/E.

【解答】證明：：NBAE=ND4C

ZBAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE

：.ZCAB=ZEAD,且AB=AD,AC=AE

/\ABC^/\ADE（SAS）

.".ZC=ZE

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明NC48=NEA￡＞是本題的關(guān)鍵.

15.（2019?黑龍江哈爾濱?8分）已知：在矩形ABCQ中，BQ是對(duì)角線(xiàn)，AE_LB。于點(diǎn)E,

CFJ_BQ于點(diǎn)F.

(1)如圖1,求證：4E=C/；

(2)如圖2,當(dāng)/4力8=30°時(shí)，連接A尺CE,在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直

接寫(xiě)出圖2中四個(gè)三角形，使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABC。面積強(qiáng).

7

(2)由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出NCBO=/A￡>B=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出乎8,

AE^^AD,得出AABE的面積當(dāng)1BXA￡>="|矩形ABCD的面積，由全

等三角形的性質(zhì)得出△CDF的面積看矩形A8CC的面積；作EGLBC于G,由直角三

角形的性質(zhì)得出%得出aBCE的面積5矩形ABC。的面積，同

22248

理：△

ADF的面積■!矩形ABC。的面積.

【解答】(1)證明：???四邊形48CQ是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

NABE=NDF,

于點(diǎn)E,CF1,BD于點(diǎn)、F,

：.ZAEB=ZCFD=90°,

'/ABE=NCDF

<ZAEB=ZCFD

在△ABE和△(?￡>/中，［皿=CD

：./\ABE^/\CDF(4AS),

：.AE=CF；

(2)解：△ABE的面積=4C￡?F的面積=Z\BCE的面積=△4￡>尸的面積=矩形ABCD

面積理由如下：

8

'：AD//BC,

：.ZCBD=ZADB=30°,

VZABC=90°,

AZABE=60Q,

U：AEA.BD,

...NBAE=30°,

AE=^-AD,

.?.△ABE的面積工8￡：*4￡：=工*上48乂工4。=工43義4。=%形ABCD的面積,

222288

AABE^ACDF,

.?.△CDF的面積■!矩形ABC。的面積；作

EG_L8C于G,如圖所示：

VZCBD=30°,

EG——BE=X=—AB9

2224

.二△BCE的面積—BCXEG=—BCX—AB=—BCXAB^^.形

22488

ABCD的面積，同理：△AD尸的面積看矩形ABC。的面積.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形

的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和含30。角的

直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

16.（2019?湖北十堰T0分）如圖1,△ABC中，CA=CB,NACB=a,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)

,將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a得到△C8E,點(diǎn)A,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B

,E,且A,D,E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.

（1）填空：NCDE=T80a_（用含a的代數(shù)式表示）；

2

（2）如圖2,若a=60°,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，再過(guò)點(diǎn)C作CFJ_4E于點(diǎn)F,然后探究線(xiàn)段

CF,

AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若加,且點(diǎn)G滿(mǎn)足NAGB=90°,BG=6,直接寫(xiě)出點(diǎn)C到AG

的距離.

c

E

（圖1）（圖2）

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE,ZDCE=a,即可求解;

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=BE,CD=CE,ZDCE=60°,可證△(?￡)￡：是等邊三角形

由等邊三角形的性質(zhì)可得亞CF，即可求解；

3

(3)分點(diǎn)G在的上方和A3的下方兩種情況討論，利用勾股定理可求解.

【解答】解：(1)???將△C4。繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a得到

AAACD^ABCF,ZDCE=a

：.CD=CE

zcn/-=180-0-

故答案沏Ja

(2)AE=BE+^^CF

3

理由如下：如圖，

?.,將△C4O繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角6