專題09 垂徑定理綜合題（解析版）

專題09垂徑定理（綜合題）知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)易錯點撥易錯點撥知識點1：垂徑定理1.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

細(xì)節(jié)剖析:(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點2：垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。黄椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.細(xì)節(jié)剖析:在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）易錯題專訓(xùn)易錯題專訓(xùn)一．選擇題1．（2022?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（）A．1 B． C．2 D．4【易錯思路引導(dǎo)】由垂徑定理可知，點D是AC的中點，則OD是△ABC的中位線，所以O(shè)D＝BC，設(shè)OD＝x，則BC＝2x，則OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴點D是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，且OD＝BC，設(shè)OD＝x，則BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故選：C．【考察注意點】本題主要考查中位線的性質(zhì)與判定，垂徑定理，勾股定理等知識，設(shè)出參數(shù)，根據(jù)勾股定理得出方程是解題關(guān)鍵．2．（2018秋?松北區(qū)月考）過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為20cm，最短弦為16cm，那么OM的長為（）A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm【易錯思路引導(dǎo)】先根據(jù)垂徑定理求出OA、AM的長，再利用勾股定理求OM．【規(guī)范解答】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，如圖所示．直徑ED⊥AB于點M，則ED＝20cm，AB＝16cm，由垂徑定理知：點M為AB中點，∴AM＝8cm，∵半徑OA＝10cm，∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36，∴OM＝6cm．故選：B．【考察注意點】本題考查了垂徑定理和勾股定理求解．能夠熟練垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（）A．36 B．24 C．18 D．72【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根據(jù)垂徑定理求出CD，即可求出四邊形的面積．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四邊形ACBD的面積＝．故選：A．【考察注意點】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用定理．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．4．（2022?鄂州）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【易錯思路引導(dǎo)】連接OE，交AB于點F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判斷方法得出四邊形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切線的性質(zhì)得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），進(jìn)而得出EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半徑，繼而求出這種鐵球的直徑．【規(guī)范解答】解：如圖，連接OE，交AB于點F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∴四邊形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于點E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴這種鐵球的直徑為20cm，故選：C．【考察注意點】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022?平桂區(qū)一模）如圖，在⊙O中，直徑AB＝8，弦DE⊥AB于點C，若AD＝DE，則BC的長為（）A． B． C．1 D．2【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)垂徑定理求出DC＝CE，求出DC＝AD，求出∠DAB＝30°，求出∠CDB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出BD＝AB，BC＝BD，再求出BC即可．【規(guī)范解答】解：∵DE⊥AB，AB過圓心O，∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，∵AD＝DE，∴DC＝AD，∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD＝AB＝＝4，∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC＝BD＝，故選：D．【考察注意點】本題考查了垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理等知識點，能根據(jù)垂徑定理求出DC＝CE是解此題的關(guān)鍵，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．6．（2019秋?蕭山區(qū)期末）如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點E，且OE＝DE．點P為上一點（點P不與點B，C重合），連接AP，BP，CP，AC，BC．過點C作CF⊥BP于點F．給出下列結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②在點P從B→C的運動過程中，的值始終等于．則下列說法正確的是（）A．①，②都對 B．①對，②錯 C．①錯，②對 D．①，②都錯【易錯思路引導(dǎo)】如圖，作CM⊥AP于M，連接AD．首先證明△AOD是等邊三角形，推出∠D＝60°，即可證明①正確．利用全等三角形的性質(zhì)證明AM＝BF，PM＝PF，CF＝PF即可判斷②正確．【規(guī)范解答】解：如圖，作CM⊥AP于M，連接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等邊三角形，故①正確，∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴＝，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，∴CF＝PF?tan60°＝PF，∴PF＝CF，∴＝，故②正確，故選：A．【考察注意點】本題考查垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．二．填空題7．（2022?南陵縣自主招生）如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F(xiàn)、N在半圓上．若則正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是16，則AB的長為8．【易錯思路引導(dǎo)】連接ON，OF，設(shè)正方形CDMN的邊長為a，正方形DEFG邊長為b，OD＝c，根據(jù)正方形的性質(zhì)CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，設(shè)OA＝ON＝OF＝OB＝r，根據(jù)勾股定理得出a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b﹣c）2＝r2②，①﹣②得出a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，把等式的左邊分解因式后得出2（a+b）（a﹣b+c）＝0，求出b＝a+c，再代入①，即可求出答案．【規(guī)范解答】解：連接ON，OF，設(shè)正方形CDMN的邊長為a，正方形DEFG邊長為b，OD＝c，則CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四邊形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，設(shè)OA＝ON＝OF＝OB＝r，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b﹣c）2＝r2②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝r2，∵正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是16，∴a2+b2＝16，∴r2＝16，解得r＝4（負(fù)值舍去），∴AB＝2r＝8．故答案為：8．【考察注意點】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，能求出b＝a+c是解此題的關(guān)鍵．8．（2022?虞城縣模擬）如圖，以AB為直徑的?O中，點C為?O上一點，且AC＝BC＝，過點O作OD⊥AC，垂足為D，點P為直線OD上一個動點，則弧BC，PB，PC構(gòu)成的封閉圖形周長最小值為2．【易錯思路引導(dǎo)】要使得弧BC，PB，PC構(gòu)成的封閉圖形周長最小，弧BC的值不變，則BP+PC最小即可，點C關(guān)于PD的對稱點為點A，即當(dāng)P點與O點重合時，弧BC，PB，PC構(gòu)成的封閉圖形周長最小，求出半徑和弧BC的長即可．【規(guī)范解答】解：要使得弧BC，PB，PC構(gòu)成的封閉圖形周長最小，弧BC的值不變，則BP+PC最小即可，∵OD⊥AC，∴點C關(guān)于PD的對稱點為點A，即當(dāng)P點與O點重合時，BP+PC最小，即弧BC，PB，PC構(gòu)成的封閉圖形周長最小，連接OC，∵AC＝BC＝，∴∠BOC＝90°，OB＝OC＝BC＝＝1，∴弧BC的長為＝，∴弧BC，PB，PC構(gòu)成的封閉圖形周長最小為：2+．故答案為：2．【考察注意點】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟記定理并靈活運用．垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．9．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．【易錯思路引導(dǎo)】連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，根據(jù)垂徑定理的推論得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【規(guī)范解答】解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，∵C是⊙O中弦AB的中點，CD過圓心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑長為m．故答案為：．【考察注意點】本題考查了垂徑定理的推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?0．（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AD⊥BC，連接AB、CD，當(dāng)AB＝2，CD＝6時，則⊙O半徑長為2．【易錯思路引導(dǎo)】如圖，連接CO，延長CO交⊙O于H，連接BH，DH，BD．首先證明DH＝BA＝2，利用勾股定理求出CH即可．【規(guī)范解答】解：如圖，連接CO，延長CO交⊙O于H，連接BH，DH，BD．∵CH是直徑，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠CDB＝∠DBH，∴＝，∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根據(jù)勾股定理CH＝＝2，故答案為2．【考察注意點】此題主要考查了圓周角定理及其推論，同時也利用了勾股定理，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022?游仙區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy如圖所示，以原點O為圓心，以2為半徑的⊙O中，弦AB＝，點C是弦AB中點，P（+1，﹣1），連接PC，當(dāng)弦AB在⊙O上滑動，線段PC掃過的面積為+π．【易錯思路引導(dǎo)】首先利用已知條件求得點C的軌跡，可得線段PC掃過的面積為四邊形DOEP的面積+大扇形ODE的面積，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理，切線長定理，三角形、扇形的面積公式解答即可．【規(guī)范解答】解：連接OC，OA，如圖，∵點C是弦AB中點，∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝，∴OC＝＝．∵弦AB在⊙O上滑動，∴點C的軌跡為以點O為圓心，以為半徑的圓，如圖中的虛線⊙O，過點P作該圓的切線PD，PE，連接OD，OE，PO，如上圖，則OD＝OE＝．利用勾股定理可求得PO＝，∵PD，PE是虛線⊙O的切線，∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．∵sin∠OPD＝＝，∴∠OPD＝30°，∴∠OPE＝30°，∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，∴∠DOE＝120°．∵線段PC掃過的面積為四邊形DOEP的面積+大扇形ODE的面積，∴線段PC掃過的面積為2×PD?OD+＝+π．故答案為：+π．【考察注意點】本題主要考查了垂徑定理，切線長定理，三角形，扇形的面積，點的軌跡，確定出點C的軌跡是解題的關(guān)鍵．12．（2022?煙臺模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，則CD的長為4．【易錯思路引導(dǎo)】過O作OI⊥CD于I，連接OD，求出半徑OD＝OA＝8，求出OP，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出OI，根據(jù)勾股定理求出DI，根據(jù)垂徑定理求出DI＝CI，再求出CD即可．【規(guī)范解答】解：過O作OI⊥CD于I，連接OD，則∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直徑AB＝4+12＝16，即半徑OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI＝OP＝＝2，由勾股定理得：DI＝＝＝2，∵OI⊥CD，OI過圓心O，∴DI＝CI＝2，即CD＝DI+CI＝4，故答案為：4．【考察注意點】本題考查了勾股定理，垂徑定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．13．（2022?寧海縣校級模擬）如圖，圓O的半徑為4，點P是直徑AB上定點，AP＝1，過P的直線與圓O交于C，D兩點，則△COD面積的最大值為8；作弦DE∥AB，CH⊥DE于H，則CH的最大值為．【易錯思路引導(dǎo)】當(dāng)∠COD＝90°時，△COD面積有最大值，利用三角形的面積公式即可求解；當(dāng)△COD面積有最大值時，CH取最大值，設(shè)△APO的PO邊上的高為h1，△DPO的邊PO上的高為h2，利用S△CDO＝S△PCO+S△DPO，列出等式，即可求得h1+h2＝，則CH＝h1+h2，結(jié)論可得．【規(guī)范解答】解：如圖1，∵OC?OD?sin∠COD，∴當(dāng)∠COD＝90°時，△COD面積有最大值，且最大值＝×4×4×1＝8；設(shè)△APO的PO邊上的高為h1，△DPO的邊PO上的高為h2，如圖，∵S△CDO＝S△PCO+S△DPO，∴當(dāng)△COD面積有最大值時，PO×h1+PO×h2＝8．∴×3×（h1+h2）＝8，∴h1+h2＝．∴CH的最大值為．故答案為：8；．【考察注意點】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相交弦定理，平行線的判定與性質(zhì)，利用圓的性質(zhì)確定出取得最大值時點的位置是解題的關(guān)鍵．三．解答題14．（2022?合肥模擬）如圖，在⊙O中，AB，AC為弦，CD為直徑，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF與CD相交于G．（1）求證：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半徑．【易錯思路引導(dǎo)】（1）連接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA證明△BGE和△BDE全等即可；（2）連接OA，設(shè)OA＝r，則DG＝r+1，根據(jù)ED＝EG容易求出OE＝，再根據(jù)垂徑定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根據(jù)勾股定理求出r的值即可．【規(guī)范解答】（1）證明：如圖：連接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如圖：連接OA，設(shè)OA＝r，則DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根據(jù)勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半徑為．【考察注意點】本題結(jié)合勾股定理和全等三角形的證明考查了垂徑定理的應(yīng)用，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的優(yōu)弧和劣?。?5．（2022?宜昌）石拱橋是我國古代入民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長）AB＝26m，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點到弦的距離）CD＝5m．連接OB．（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．【易錯思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)垂徑定理便可得出結(jié)論；（2）設(shè)主橋拱半徑為R，在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理列出R的方程便可求得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）設(shè)主橋拱半徑為R，由題意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m．【考察注意點】此題考查了垂徑定理，勾股定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．16．（2022?全椒縣一模）如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點E．（1）OM⊥CD于點M，CD＝24，⊙O的半徑長為4，求OM的長．（2）點G在BD上，且AG⊥BD交CD于點F，求證：CE＝EF．【易錯思路引導(dǎo)】（1）連接OD，由垂徑定理和勾股定理可得答案；（2）連接AC，由垂直的定義及等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，連接OD，∵OM⊥CD，OM過圓心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的長為4；（2）證明：如圖，連接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．【考察注意點】此題考查的是垂徑定理及勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?7．（2022?開福區(qū)一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：四邊形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．【易錯思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)三個直角可得矩形，再利用垂徑定理可得一組鄰邊相等，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理可得半徑．【規(guī)范解答】（1）證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四邊形ADOE是正方形；（2）解：連接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半徑是cm．【考察注意點】本題考查正方形的判定，運用垂徑定理得到AD＝AE是解題關(guān)鍵．18．（2021秋?嘉祥縣期末）如圖，線段AB＝10，AC＝8，點D，E在以AB為直徑的半圓O上，且四邊形ACDE是平行四邊形，過點O作OF⊥DE于點F，求AE的長．【易錯思路引導(dǎo)】首先分析題干：根據(jù)平行四邊形可得出ED＝8，再根據(jù)垂徑定理可得EF的長；再過點E作EG⊥AB、連接OE，從而得矩形，根據(jù)勾股定理進(jìn)一步得EG、AE的長．【規(guī)范解答】解：過點E作EG⊥AB于點G，連接OE，則OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴DE＝AC＝8，D