能能量守恒方程

能能量守恒方程5.1伯努利方程的微分形式

DifferentialFormofBernoulli’sEquation

在流體的任意方向流動(dòng)中，沿著流體流線方向考查流體的流動(dòng)，則流體的流動(dòng)只有一維流動(dòng)的特征。設(shè)重力場(chǎng)垂直向下，從穩(wěn)定理想流體的動(dòng)量方程(3-44)出發(fā)，推導(dǎo)伯努利方程。 按全微分的定義，流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)速度的微分為：故：第2頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

相應(yīng)的速度分量vx,vy,vz對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可以寫成：第3頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

各速度分量對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可以寫成：第4頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天 因此第三章中的歐拉方程式：可寫成：第5頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

如坐標(biāo)系的z軸垂直地面，則gx=gy=0,gz=-g，再對(duì)上面三式的兩端分別乘以dx、dy、dz，則：將三式相加得：第6頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

流體質(zhì)點(diǎn)在空間任意方向上的速度與各方向上速度分量的關(guān)系為:

即： 將此式代入(5-1)式，又右端第一項(xiàng)括號(hào)內(nèi)為壓力的全微分dp，故(5-1)可寫成： 此式即為流體質(zhì)點(diǎn)在微元空間(dx,dy,dz)內(nèi)沿任意方向流線運(yùn)動(dòng)時(shí)的伯努利方程—能量平衡關(guān)系式。第7頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)沿流線由空間一點(diǎn)p1(v1,z1)運(yùn)動(dòng)到p2(v2,z2)，如圖所示。 質(zhì)點(diǎn)流動(dòng)過(guò)程中的能量 平衡關(guān)系可由積分形式的伯 努利方程確定。 將微分形式伯努利方程

(5-1)積分求解即可得到：第8頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

式(5-3)是伯努利在1738年提出的，這種形式的方程也稱伯努利方程，它表示同一流線上不同點(diǎn)處的能量和總保持為一個(gè)不變的常數(shù)，即為能量守恒。將(5-3)式各項(xiàng)都乘以ρ則此式成為：

此式各項(xiàng)的量綱都是kgm/s2m2或Nm/m3，可把(5-3)式中各項(xiàng)視為能量的表現(xiàn)形式。式(5-4)中各項(xiàng)相應(yīng)的視為單位體積流體所具有的位能、壓力能和動(dòng)能。

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把(5-4)式各項(xiàng)除以常數(shù)ρg，則可得伯努利方程的常用形式：

此式各項(xiàng)的量綱都是m，依次各項(xiàng)的物理意義為分別為單位質(zhì)量流體所具有的位能(位置水頭)、壓力能(壓力水頭)和動(dòng)能(速度水頭)。

流體的位能、壓力能、和動(dòng)能三者之和稱為總能量(機(jī)械能)。第10頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

另一方面，由于伯努利方程(5-4)中每項(xiàng)都具有長(zhǎng)度單位，即表示某一高度，所以可以用一幾何圖形表示各項(xiàng)之間的關(guān)系，如圖所示：第11頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

圖中流線同時(shí)也代表流線上各點(diǎn)距基準(zhǔn)線上的位置高度，稱為位置水頭；P/ρg項(xiàng)指在任意點(diǎn)z處由壓力作用水頭上升的高度，稱為壓力水頭；頂部水平線與P/ρg項(xiàng)之差代表由速度作用水頭上升的高度（v2/2g），表示z點(diǎn)處流體的速度v垂直向上噴射時(shí)所能達(dá)到的射程高度，稱為速度水頭。第12頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

伯努利方程中，位置水頭、壓力水頭和速度水頭三項(xiàng)之和稱為總水頭。 由圖可見，盡管各點(diǎn)位置1、2的兩種水頭各不相等，但每處的三項(xiàng)之和為一常數(shù)，即總水平線為平行于基準(zhǔn)線的水平線。第13頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天伯努利方程的物理意義及幾何意義物理意義：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)單位重量理想流體所攜帶的總能量在它所流經(jīng)的路徑上的任何位置均保持不變，但三種能量可相互轉(zhuǎn)換。幾何意義：總水頭線是平行于基準(zhǔn)線的水平線。第14頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第15頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.2伯努利方程的應(yīng)用

ApplicationsofBernoulli’sEquation 導(dǎo)出伯努利方程的限制條件是：無(wú)粘性流動(dòng)；穩(wěn)定流動(dòng)；不可壓縮流體；沿一根流線。 在實(shí)際管道系統(tǒng)中，不可能獲得這樣的流體條件，但在緩變流的情況下，伯努利方程仍能較準(zhǔn)確地確定管道流體流動(dòng)的能量平衡關(guān)系。 所謂緩變流，是指流場(chǎng)內(nèi)各流線之間的夾角很?。蝗绻鲌?chǎng)轉(zhuǎn)向，各流線也能一致地轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)向的曲率半徑又很大。第16頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

但由于伯努利方程是從流體流動(dòng)體系的能量平衡角度描述流體的力學(xué)關(guān)系及運(yùn)動(dòng)規(guī)律，方程的物理意義明確，特別是方程具有簡(jiǎn)單的代數(shù)方程的形式，應(yīng)用十分簡(jiǎn)便，所以已被人們作為涉及流體傳輸?shù)膭?dòng)力、化工、冶金工程中廣泛應(yīng)用的、流體輸運(yùn)工藝參數(shù)設(shè)計(jì)的一個(gè)基本理論和計(jì)算工具。然而，由于工程中所涉及的實(shí)際流體都是具有粘性的，如：水、石油、和液態(tài)金屬等；另一方面，實(shí)際容器和管道中流動(dòng)的液體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通常是十分復(fù)雜的，不滿足伯努利方程所要求的：沿一根流線的穩(wěn)定緩變流條件、流線平行、在過(guò)流截面上流速處處相等等條件。第17頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

工程上解決上述矛盾的做法是在伯努利方程中引入一定的修正項(xiàng)和修正系數(shù)，一方面保持伯努利方程的簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式，另一方面用修正項(xiàng)/修正系數(shù)來(lái)計(jì)算由于不滿足伯努利方程的應(yīng)用條件，如：粘性、紊流和慣性流等，而引起的偏差。

第18頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、在管流流動(dòng)中的應(yīng)用

ApplicationsinConduits

對(duì)于管道中流量和流速的計(jì)算，人們通常采用管道中地平均速度計(jì)算。當(dāng)流體是無(wú)粘性的理想流體，并以穩(wěn)定的緩變層流方式流動(dòng)時(shí)，管道中某截面上各點(diǎn)速度基本相等。此時(shí)伯努利方程可給出準(zhǔn)確地定量計(jì)算。但是對(duì)于實(shí)際流體由于有粘性，無(wú)論是層流還是紊流，管道中任一截面上各點(diǎn)流速不相等(由于粘性作用，管壁上的流速為零，中心線上最大)。 此時(shí)采用平均速度計(jì)算管路系統(tǒng)中任意截面的能量平衡時(shí)，在伯努利方程中引入流股速度分布修正系數(shù)β。第19頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天 要將適用于流體單一質(zhì)點(diǎn)或微團(tuán)沿流線運(yùn)動(dòng)的情況，推廣到管流系統(tǒng)中，則除不可壓縮、理想流體、穩(wěn)定流動(dòng)條件外，還要求：流線相互平行；過(guò)流截面上的速度均相等。 只有在緩變流條件下，才能較準(zhǔn)確地應(yīng)用。第20頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天按平均流速計(jì)算平均動(dòng)能：實(shí)際平均動(dòng)能：第21頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

則引入流股速度分布修正系數(shù)后，伯努利方程變?yōu)椋毫鞴伤俣确植夹拚禂?shù)β取決于流體的流動(dòng)狀態(tài)。式中：第22頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、實(shí)際管路系統(tǒng)中粘性流體的輸運(yùn)

TransportofViscousFluidsinConduits

實(shí)際工程及生活中接觸到的流體均具有粘性，另一方面，實(shí)際流體的管路輸送系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，不僅有管道的長(zhǎng)短、粗細(xì)差別(對(duì)沿程粘性摩擦阻力影響很大)，而且有管道轉(zhuǎn)彎，管道截面變化和閥門等，對(duì)流體流動(dòng)產(chǎn)生局部阻力。第23頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

上述各種因素產(chǎn)生的阻力均會(huì)產(chǎn)生管流流動(dòng)的能量損失，為正確反映這些能量損失，在伯努利方程中引入能量損失項(xiàng)，即：

式中：h失為管路系統(tǒng)流體流動(dòng)在1，2兩截面之間的能量損失。

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盡管流體流動(dòng)系統(tǒng)的阻力產(chǎn)生的原因有所不同，但流體阻力卻均與流體的流速或動(dòng)能直接相關(guān)，其阻力大小與當(dāng)時(shí)流體動(dòng)能具有不同程度的正比關(guān)系。為了計(jì)算上的方便，人們將各種不同形式的阻力損失項(xiàng)表示為如下的統(tǒng)一形式：

式中：K—流體的阻力系數(shù)，它包括了所有摩擦阻力系數(shù)K摩和局部阻力系數(shù)K局；

第25頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天

因?yàn)?，系?shù)K可以理解為單位動(dòng)能的阻力。阻力系數(shù)K摩和K局的計(jì)算表達(dá)式的形式與具體的造成阻力的種類和形式有關(guān)。人們已根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)與理論分析總結(jié)出了各種阻力稀疏的計(jì)算與分析。第26頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天摩擦阻力損失

FrictionLosses第27頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天局部損失

LocallossesduetoEnlargementandContraction第28頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第30頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、應(yīng)用實(shí)例—金屬液從底注澆包內(nèi)的流出

FlowfromLadles

伯努利能量方程是動(dòng)量傳輸?shù)幕痉匠讨?，在解決涉及流體流動(dòng)及輸運(yùn)工程的實(shí)際問題中具有極其重要的作用和地位。在冶金及鑄造工程中亦是如此。應(yīng)用伯努利方程來(lái)解析鋼液澆包的出流速度/流量，及鑄件澆注系統(tǒng)各澆口出流速度及澆注（充滿型腔）時(shí)間等。第31頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第32頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第34頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天第35頁(yè),共40頁(yè)，2024年2月25日，星期天充型時(shí)間、