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文檔簡(jiǎn)介

江蘇省淮安、宿遷等2024年高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.2.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組,,可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個(gè)小組的概率為()A.B.C.D.3.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.34.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為()A. B. C. D.6.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.27.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對(duì)應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.168.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.10.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對(duì)任意都有零點(diǎn);則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱12.已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a=()A.-1 B.1 C.0 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若曲線(其中常數(shù))在點(diǎn)處的切線的斜率為1,則________.14.某校高二(4)班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間,有7人用時(shí)為6分鐘,有14人用時(shí)7分鐘,有15人用時(shí)為8分鐘,還有4人用時(shí)為10分鐘,則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為____分鐘.15.已知集合,則____________.16.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點(diǎn)N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求λ的值.18.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.19.(12分)已知,且滿足,證明:.20.(12分)隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展,我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視,企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),并制定如下方案:每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元,日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即檢查污染源處理系統(tǒng);若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè),且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段(以1小時(shí)為計(jì)量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為,且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.(1)當(dāng)時(shí),求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)(不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用),除運(yùn)行費(fèi)用外,所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施,問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)?并說明理由.21.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),若,求直線l的斜率k.22.(10分)記拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,且直線的斜率為1,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點(diǎn),,求直線的斜率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】依題意,基本事件的總數(shù)有種,兩個(gè)人參加同一個(gè)小組,方法數(shù)有種,故概率為.3、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計(jì)算出模.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.5、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個(gè)四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、D【解析】

在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析:集合考點(diǎn):集合間的關(guān)系9、B【解析】

由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當(dāng);當(dāng)綜上:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先分別判斷每一個(gè)命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí),直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí),,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當(dāng)時(shí),沒有零點(diǎn),所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、C【解析】

依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

化簡(jiǎn)得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù),故a-1=0故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、7.5【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為:7.5【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù),關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和,易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).15、【解析】

根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于容易題.16、【解析】

根據(jù)組合的知識(shí),結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項(xiàng)來(lái)源可以是:(1)取1個(gè),4個(gè)(2)取2個(gè),3個(gè)的系數(shù)為:故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的知識(shí),熟悉二項(xiàng)式定理展開式中每一項(xiàng)的來(lái)源,實(shí)質(zhì)上每個(gè)因式中各取一項(xiàng)的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識(shí),屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)1【解析】

(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.(2,由AN=λ,設(shè)N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一個(gè)法向量,利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,由|cos〈,〉|===求解.【詳解】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因?yàn)椤螧AD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.(2)因?yàn)锳N=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).設(shè)平面PBC的法向量為=(x,y,z),則即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角,線面角的求法及應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,在解題中必須要注明.19、證明見解析【解析】

將化簡(jiǎn)可得,由柯西不等式可得證明.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,又,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用,相對(duì)不難,注意已知條件的化簡(jiǎn)及柯西不等式的靈活運(yùn)用.20、(1);(2)不會(huì)超過預(yù)算,理由見解析【解析】

(1)求出某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元,則的可能取值為900,1500.求得,,求得其分布列和期望,對(duì)其求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得期望的最大值,從而得出結(jié)論.【詳解】(1)某個(gè)時(shí)間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元,則的可能取值為900,1500.,令,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,的最大值為,實(shí)施此方案,最高費(fèi)用為(萬(wàn)元),,故不會(huì)超過預(yù)算.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望,及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值,由根據(jù)期望值確定方案,此類題目解決的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量,屬于中檔題.21、(1)(2)直線l的斜率為或【解析】

(1)根據(jù)已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為,借助向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,及韋達(dá)定理即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意得解得故橢圓C的方程為.(2)直線l的方程為,設(shè),,則由方程組消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直線l的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,難度一般.22、(1)(2)0【解析】

(1)根據(jù)題意,設(shè)直線,與聯(lián)立,

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