2020年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）

2020年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）2020年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）PAGE2020年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）絕密★啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，在選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D【解析】【分析】解絕對值不等式化簡集合的表示，再根據(jù)集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為，或，所以.故選：D.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.（1–i）4=（）A.–4 B.4C.–4i D.4i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，結(jié)合復數(shù)的乘方運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查了復數(shù)的乘方運算性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（）A.5 B.8 C.10 D.15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數(shù)之和為10．故選：C．【點睛】本題主要考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，屬于基礎(chǔ)題．4.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）A.10名 B.18名 C.24名 D.32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，故需要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（）A.a+2b B.2a+b C.a–2b D.2a–b【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.6.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.7.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的k=0，a=0，則輸出的k為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，即可求得答案.【詳解】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出的值模擬程序的運行過程第1次循環(huán)，，為否第2次循環(huán)，，為否第3次循環(huán)，，為否第4次循環(huán)，，為是退出循環(huán)輸出.故選：C.【點睛】本題考查求循環(huán)框圖的輸出值，解題關(guān)鍵是掌握模擬循環(huán)語句運行的計算方法，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.9.設(shè)為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.10.設(shè)函數(shù),則（）A.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，其關(guān)于原點對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．故選：A．【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11.已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【點睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.12.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)椋鶕?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個選項中真數(shù)與的大小關(guān)系，進而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________．【答案】【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.14.記為等差數(shù)列的前n項和．若，則__________．【答案】【解析】【分析】因為是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：可得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線，在平面區(qū)域內(nèi)找到一點使得直線在縱軸上的截距最大，求出點的坐標代入目標函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域為下圖所示：平移直線，當直線經(jīng)過點時，直線在縱軸上的截距最大，此時點的坐標是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學運算能力.16.設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④【答案】①③④【解析】【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點在平面內(nèi)，同理，與的交點也在平面內(nèi)，所以，，即，命題真命題；對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【點睛】本題考查復合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因為，所以，即，解得，又，所以；（2）因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【點睛】本題主要考查誘導公式和平方關(guān)系的應用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，=1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應采用分層抽樣.【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為（2）樣本的相關(guān)系數(shù)為（3）由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應采用分層抽樣先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡單隨機抽樣法抽取樣本即可.【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸重直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．【答案】（1）；（2）：，：.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的方程，結(jié)合橢圓和拋物線的對稱性不妨設(shè)在第一象限，運用代入法求出點的縱坐標，根據(jù)，結(jié)合橢圓離心率的公式進行求解即可；（2）由（1）可以得到橢圓的標準方程，確定橢圓的四個頂點坐標，再確定拋物線的準線方程，最后結(jié)合已知進行求解即可；【詳解】解：（1）因為橢圓的右焦點坐標為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因為橢圓的方程為：，所以當時，有，因此的縱坐標分別為，；又因為拋物線的方程為，所以當時，有，所以的縱坐標分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標分別為，，，，的準線為.由已知得，即.所以的標準方程為，的標準方程為.【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標準方程，考查了橢圓的四個頂點的坐標以及拋物線的準線方程，考查了數(shù)學運算能力.20.如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分別為，的中點，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）根據(jù)已知條件求得和到的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得.【詳解】（1）分別為，的中點，又在等邊中，為中點，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）過作垂線，交點為，畫出圖形，如圖平面平面，平面平面又為的中心.故：，則，平面平面，平面平面，平面平面又在等邊中即由（1）知，四邊形為梯形四邊形的面積為：，為到的距離，.【點睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間【解析】【分析】（1）不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進而進行求解即可；（2）對函數(shù)求導，把導函數(shù)分子構(gòu)成一個新函數(shù)，再求導得到，根據(jù)的正負，判斷的單調(diào)性，進而確定的正負性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為：，設(shè)，則有，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；（2）且因此，設(shè)，則有，當時，，所以，單調(diào)遞減，因此有，即，所以單調(diào)遞減；當時，，所以，單調(diào)遞增，因此有，即，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.【點睛】本題考查了利