2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習分式的概念和性質(zhì)（提高）知識講解

2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習分分式的概念和性質(zhì)（提高）【學習目標】1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2．掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進而進行條件計算.【要點梳理】【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)知識要點】要點一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點詮釋：（1）分式的形式和分數(shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分數(shù)是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分數(shù)的分子、分母中都不含字母.（2）分式與分數(shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性；分數(shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（3）分母中的“字母”是表示不同數(shù)的“字母”，但π表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當作分式.（4）分母中含有字母是分式的一個重要標志，判斷一個代數(shù)式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結(jié)果.要點二、分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點詮釋：（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要點詮釋：（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質(zhì)時，必須重點強調(diào)M≠0這個前提條件.（2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點四、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).要點詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運算中起著重要的作用.要點五、分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.要點詮釋：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.要點六、分式的通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點詮釋：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.【典型例題】類型一、分式的概念【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)例1】1、指出下列各式中的整式與分式：，，，，，，，，．【思路點撥】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【答案與解析】解：整式有：，，，，；分式有：，，，．【總結(jié)升華】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母．此題判斷容易出錯的地方有兩處：一個是把π也看作字母來判斷，沒有弄清π是一個常數(shù)；另一個就是將分式化簡成整式后再判斷，如和，前一個是整式，后一個是分式，它們表示的意義和取值范圍是不相同的．類型二、分式有意義，分式值為0【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)例2】2、當取什么數(shù)時，下列分式有意義？當取什么數(shù)時，下列分式的值為零？（1）；（2）；（3）．【答案與解析】解：（1）當，即時，分式有意義．∵為非負數(shù)，不可能等于－1，∴對于任意實數(shù)，分式都有意義；當時，分式的值為零．（2）當即時，分式有意義；當即時，分式的值為零（3）當，即時，分式有意義；當時，分式的值為零，由①得時，由②得，互相矛盾．∴不論取什么值，分式的值都不等于零．【總結(jié)升華】分母不為零時，分式有意義；分子的值為零，而分母的值不為零時，分式的值為零．舉一反三：【變式1】（2016春?紹興期末）下列分式中不管取何值，一定有意義的的是（）A． B． C． D． 【答案】C.【變式2】當取何值時，分式的值恒為負數(shù)？【答案】解：由題意可知或解不等式組該不等式組無解．解不等式組得．所以當時，分式的值恒為負數(shù)．類型三、分式的基本性質(zhì)【高清課堂403986分式的概念和性質(zhì)例4】3、不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項的系數(shù)是正數(shù).(1)；(2)；(3).【答案與解析】解：(1)；(2)；(3).【總結(jié)升華】(1)、根據(jù)分式的意義，分數(shù)線代表除號，又起括號的作用；(2)、添括號法則：當括號前添“＋”號，括號內(nèi)各項的符號不變；當括號前添“—”號，括號內(nèi)各項都變號.舉一反三：【變式】下列分式變形正確的是（）A．B．C．D．【答案】D；提示：將分式變形時，注意將分子、分母同乘（或除以）同一個不為0的整式這一條件．其中A項分子、分母乘的不是同一整式，B項中這一條件不知是否成立，故A、B兩項均是錯的．C項左邊可化為：，故C項亦錯，只有D項的變形是正確的．類型四、分式的約分、通分4、約分：（1）；（2）；通分：（3）與；（4），，．【答案與解析】解：（1）；（2）；（3）最簡公分母是．，．（4）最簡公分母是，，，．【總結(jié)升華】如果分子、分母都是單項式，那么可直接約去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪．通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母，若分母是多項式，則要因式分解，要防止遺漏只在一個分母中出現(xiàn)的字母以及符號的變化情況．類型五、分式條件求值5、若，求的值．【思路點撥】本題可利用分式的基本性質(zhì)，采用整體代入法，或把分式的分子與分母化成只含同一字母的因式，使問題得到解決．【答案與解析】解法一：因為，可知，所以．解法二：因為，所以，且，所以．【總結(jié)升華】本題的整體代入思想是數(shù)學中一種十分重要的思想．一般情況下，在條件中含有不定量時，不需求其具體值，只需將其作為一個“整體”代入進行運算，就可以達到化簡的目的．舉一反三：【變式1】已知，求的值．【答案】解：設(shè)，則，，．∴．【變式2】（2015春?惠州校級月考）若0＜x＜1，且的值．【答案】解：∵x+=6，∴（x﹣）2=（x+）2﹣4=36﹣4=32，∴x﹣=±4，又∵0＜x＜1，∴x﹣=﹣4．故答案為﹣4．【鞏固練習】一.選擇題1．（2015?南寧模擬）要使分式有意義，x的取值范圍為（）A.x≠﹣5B.x＞0 C.x≠﹣5且x＞0 D.x≥02.（2016·富順縣校級模擬）把分式的均擴大為原來的10倍后，則分式的值（）A．不變 B．為原分式值的10倍 C．為原分式值的D．為原分式值的3．若分式有意義，則滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．4．若分式的值是負數(shù)，則滿足（）A．＜0 B．≥1 C．＜1 D．＞15．下面四個等式：其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．化簡的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．二.填空題7.使分式有意義的條件為______．8.（臨清市期末）若，則=．9．（2016春·龍崗區(qū)期末）要使分式的值等于零，則的取值是．10．填空：11．填入適當?shù)拇鷶?shù)式，使等式成立．（1）（2）12.分式約分的結(jié)果是______．三.解答題13.（2015春?泰興市校級期中）（1）當x=﹣1時，求分式的值．（2）已知a2﹣4a+4與|b﹣1|互為相反數(shù)，求的值．14.已知，求的值．15.（1）閱讀下面解題過程：已知求的值．解：∵即（2）請借鑒（1）中的方法解答下面的題目：已知求的值．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】解：由題意得：x+5≠0，且x≥0，解得：x≥0，故選：D．2.【答案】C；【解析】，則分式的值變?yōu)樵质降?3.【答案】D；【解析】由題意，，所以.4.【答案】D；【解析】因為所以即＞1.5.【答案】C；【解析】①④正確.6.【答案】B；【解析】.二.填空題7.【答案】.8.【答案】；【解析】解：設(shè)=k，則a=2k，b=3k，c=4k．∴===．故答案為．9.【答案】-1；【解析】，所以.10.【答案】（1）－；（2）＋；11.【答案】（1）；（2）；【解析】；.12.【答案】；【解析】.三.解答題13.【解析】解：（1）===（2）a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，|b﹣1|≥0，∵a2﹣4a+4與|b﹣1|互為相反數(shù)，∴a﹣2=0，b﹣1=0，∴a=2，b=1∴==14.【解析】解：方法一：∵，等式兩邊同乘以，得．∴．∴．方法二：∵，∴．15.【解析】解：∵∴，∴∴.【鞏固練習】一.選擇題1．（洪江市期末）下列計算正確的是（） A.+= B.+=0 C.﹣=0 D.+=02．等于（）A． B．C． D．3．的計算結(jié)果是（）A． B．C． D．4.（2016·攀枝花）化簡的結(jié)果是（）A.B.C.D.5．等于（)A． B． C． D．6．等于（）A． B． C． D．1二.填空題7.分式的最簡公分母是______．8．分式的最簡公分母是______．9．計算的結(jié)果是____________．10.（2016·新縣校級模擬）計算：．11._________.12．若＝2，＝3，則＝______．三.解答題13.（2015??？悼h模擬）化簡：+．14．已知，用“＋”或“－”連結(jié)M、N，有三種不同的形式：M＋N、M－N、N－M，請你任選其中一種進行計算，并化簡求值，其中∶＝5∶2．15．已知，求代數(shù)式的值．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】解：A、+=，故錯誤；B、原式=+=，故錯誤；C、原式==﹣，故錯誤；D、原式=﹣=0，故正確．故選D．2.【答案】A；【解析】.3.【答案】C；【解析】.4.【答案】A；【解析】.5.【答案】A；【解析】.6.【答案】D；【解析】.二.填空題7.【答案】；8.【答案】；9.【答案】；【解析】.10.【答案】；【解析】．11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】.三.解答題13.【解析】解：原式=+=+=．14.【解析】解：M－N＝.因為∶＝5∶2，設(shè)所以原式＝.15.【解析】解：因為所以原式.分式的加減（基礎(chǔ)）【學習目標】1．能利用分式的基本性質(zhì)通分．2．會進行同分母分式的加減法．3．會進行異分母分式的加減法．【要點梳理】【高清課堂403995分式的加減運算知識講解】要點一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.要點詮釋：（1）“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個分子都應(yīng)用括號，當分子是單項式時，括號可以省略；當分子是多項式時，特別是分子相減時，括號不能省，不然，容易導致符號上的錯誤.（2）分式的加減法運算的結(jié)果必須化成最簡分式或整式.要點二、異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.上述法則可用式子表為：.要點詮釋：（1）異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進行同分母分式的加減運算，③把結(jié)果化成最簡分式.【典型例題】類型一、同分母分式的加減【高清課堂403995分式的加減運算例1（5）（6）】1、計算：（1）；（2）； （3）；（4）【答案與解析】解：（1）；（2） （3）；（4）.【總結(jié)升華】本例為同分母分式加減法的運算，計算時注意運算符號，結(jié)果一定要化簡．舉一反三：【變式】（2016春·廣州校級月考）化簡：【答案】解：原式===類型二、異分母分式的加減 2、計算：（1）；（2）；（3）．【思路點撥】（1）題中的兩個分母都是單項式，最簡公分母為；（2）題是異分母分式的加減，為了減少錯誤應(yīng)先把分母按字母降冪排列，并且使最高次項系數(shù)為正，再將分母因式分解；（3）題是分式與即的和，可將整式部分當成一個整體，且分母為1，使運算簡化．【答案與解析】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【總結(jié)升華】（1）異分母分式的加減法關(guān)鍵是確定最簡公分母；（2）整式和分式相加減時，把整式看作分母是1的“分式”，按異分母分式的加減法的步驟進行運算．舉一反三：【變式】計算：（1）；（2）.【答案】解：（1）．（2）.類型三、分式的加減運算的應(yīng)用3、（白云區(qū)期末）設(shè)A、B兩地的距離為s，甲、乙兩人同時從A地步行到B地，甲的速度為v，乙用v的速度行走了一半的距離，再用v的速度走完另一半的距離，那么誰先到達B地，說明理由．【思路點撥】分別求出甲乙兩人走完全程的時間，比較即可．【答案與解析】解：甲走完全程的時間為，乙走完全程的時間為+=+=?，∵?＞，∴甲先到達B地．【總結(jié)升華】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．4、將一個分數(shù)的分子、分母同時加上一個正數(shù)，這個分數(shù)是變大了，還是變小了？請先舉例發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，再設(shè)法說明理由．【答案與解析】解：應(yīng)選擇不同特點的分數(shù)來試驗探索．；；；；…我們發(fā)現(xiàn)：對于正的真分數(shù)，分子、分母都加相同的正數(shù)時分數(shù)變大；對于正的假分數(shù)，分子、分母都加相同的正數(shù)時分數(shù)變??；對于負分數(shù)，結(jié)論與上兩條恰好相反．說明：（1）對于（，均為正整數(shù)，且），分子、分母同時加上正數(shù)，則變成．因為，所以．①（2）對于（，均為正數(shù)，且），分子、分母同時加上正數(shù)，則變成了，因為，所以．②（3）對于負分數(shù)的情形，只要將①、②兩式兩邊同乘－1即得結(jié)論．【總結(jié)升華】通過特例發(fā)現(xiàn)問題，得出一般結(jié)論，并去證明，是我們常用研究、探索問題的手段．【鞏固練習】一.選擇題1．（洪江市期末）下列計算正確的是（） A.+= B.+=0 C.﹣=0 D.+=