考點(diǎn)40拋物線-高考全攻略之2019年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過含解析

考點(diǎn)40拋物線

考輛摩攵

(1)了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.

(2)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).

二知識(shí)整合

一、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線7(2不經(jīng)過點(diǎn)n距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

點(diǎn)尸叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.拋物線關(guān)于過焦點(diǎn)廠與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱，這條

直線叫拋物線的對(duì)稱軸，簡稱拋物線的軸.

注意：直線/不經(jīng)過點(diǎn)凡若/經(jīng)過尸點(diǎn)，則軌跡為過定點(diǎn)尸且垂直于定直線/的一條直線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(〃>0)；

(2)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=—2px(〃>0)；

(3)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=2刀(〃>0)；

(4)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=—2〃y(〃>0).

注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)。的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以0的值永遠(yuǎn)大于0,當(dāng)

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值時(shí)，不要出現(xiàn)°<0的錯(cuò)誤.

二、拋物線的幾何性質(zhì)

1.拋物線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y1=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

圖形IV-

Trh十

范圍x>0,yeRx<0,yGRy>0,xeRy<0,xGR

對(duì)稱性關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱

幾

焦點(diǎn)嗚,0)尸(《0)F%)m-y)

何

性

準(zhǔn)線方程x=—TT

質(zhì)2

頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)

離心率e-\

2.拋物線的焦半徑

拋物線上任意一點(diǎn)P(x0,%)與拋物線焦點(diǎn)廠的連線段，叫做拋物線的焦半徑.

根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表:

拋物線方程V=2px(p>0)y2=-2px(〃>0)x2=2〃y(p>0)x2=—2py(p>0)

焦半徑公式|P3+/IPB專X。IP尸得+為IM號(hào)為

3.拋物線的焦點(diǎn)弦

拋物線的焦點(diǎn)弦即過焦點(diǎn)廠的直線與拋物線所成的相交弦.

焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo),

再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，設(shè)4?為焦點(diǎn)弦，A(X，y),B(x2,y2),則

拋物線方程y2=2px(p>0)y2=-2/?%(/?>0)x2=2py(p>0)x2=—2〃y(p>0)

焦點(diǎn)弦公式|AB|=p+（X]+々）\AB\=p-（xt+x2）\AB\=p+（y}+y2）\AB\=p-(y]+y2)

其中，通過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸而交拋物線于46兩點(diǎn)的線段/反稱為拋物線的通徑.

對(duì)于拋物線y2=2px（p>0）,由A（日，p）,B（g,-p）,可得|AB|=2p,故拋物線的通徑長為2P.

4.必記結(jié)論

直線力夕過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，交拋物線于力（小，力），夕（尼，必）兩點(diǎn)，如圖：

/1、2P

（1）y\y2=-p,x\X2=~^.

（2）\AB\=x\+x2-Vp,t+x2川=P，即當(dāng)汨=生時(shí)，弦長最短為2R

112

（3）訴[+]^可為定值3

（4）弦長協(xié)=肅]（。為的傾斜角）.

（5）以47為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

（6）焦點(diǎn)廠對(duì)48在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.

考向一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

1.拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M一個(gè)定點(diǎn)尸（拋物線的焦點(diǎn)），一條定直線/（拋

物線的準(zhǔn)線），一個(gè)定值1（拋物線的離心率）.

2.拋物線的離心率。=1,體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半

徑、焦點(diǎn)弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即

附=卜碼或附=3+勺使問題簡化.

典例引領(lǐng)

典例1平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)尸(0,2)的距離和到直線/：y=-2的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為是

【答案】d=8y

【解析】由題意知，該點(diǎn)軌跡是以尸(0,2)為焦點(diǎn)，y=-2為準(zhǔn)線的拋物線，其中〃=4,所以方程為

x2=8^.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.

典例2拋物線V=2px(p>0)上的動(dòng)點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p=

A.—B.1

2

C.2D.4

【答案】c

【解析】拋物線/=2RP>0)上的動(dòng)點(diǎn)。到其焦點(diǎn)的距離的最小值即到準(zhǔn)線的最小值，

很明顯滿足最小值的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可知：j=L..P=2.

本題選擇C選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.由題意結(jié)合

拋物線的定義確定點(diǎn)的位置，然后求解〃的值即可.

變式拓展

1.已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，是該拋物線上兩點(diǎn)，|例耳+|Nq=6,則MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離為

3

A.-B.2

2

C.3D.4

考向二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)健是判斷焦點(diǎn)的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)

確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)P,只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：

若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.

典例引領(lǐng)

典例3若點(diǎn)A,8在拋物線上2Px(p>0)上,0是坐標(biāo)原點(diǎn),若正三角形的6的面積為4遍則該拋物線的方程

是

A."=xB.

3

C.D.y-^-x

3

【答案】A

【解析沖艮據(jù)對(duì)稱性.可知Mix軸,由于正三角形OAB的面積是4、@故吟故用T正三角形OAB

的高為2#,故可設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(20Z：代入拋物線方程得I、■，解得尸孝，故所求拋物線的方程為產(chǎn)

雪.

3

典例4求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程.

(1)過點(diǎn)(—3,2)；

(2)焦點(diǎn)在直線x-2y—4=0上.

【解析】(D設(shè)所求拋物線的方程為丁=-2/或/=2水p>0).

2Q

二.過點(diǎn)(一3,2),「.4二一2P父(-3)或9=2px2,=三或p=二.

34

4.01Q

故所求拋物線的方程為丁=一］%或/=］如對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是4=?=-孑

(2)令％=0得y=-2；令y=0得%=4,.?.拋物線的焦點(diǎn)為(4>0)或(0,-2).

當(dāng)焦點(diǎn)為(40)時(shí)，與=4,「.p=8,此時(shí)拋物線的方程為/=i6x；

當(dāng)焦點(diǎn)為(0，-2)時(shí)，§=2,.?.p=4,此時(shí)拋物線的方程為

故所求拋物線的方程為丁=16x或，=Ty,對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是乂=>4,y=2.

變式拓展

2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(T,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

A.y2--^xB.x2-4y

C.=-Axx2=4yD.)2=4%或/=與曠

考向三拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的關(guān)鍵與技巧：

(1)關(guān)鍵：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)技巧：要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解.

典例引領(lǐng)

典例5已知等腰三角形“徹中，0PLMP,〃為拋物線尸=2以(或0)的頂點(diǎn)，點(diǎn)材在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)

戶在拋物線上，則點(diǎn)。與拋物線的焦點(diǎn)廠之間的距離是

A.2^2pB.—p

2

C.2PD.V2p

【答案】B

2

【解析】由題意得=%.-.xp=2沖.=2〃,因此點(diǎn)尸與拋物線的焦點(diǎn)下之間的距離為

x+—―—―,選B.

p「22

【名師點(diǎn)睛】（1）凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理.（2）解答本

題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可.

變式拓展

3.已知拋物線C:x2=2〃y（〃>0）的焦點(diǎn)為F,拋物線C的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M0,%）在拋物線

C上，|MF|=半，則tan/必M=

25

2

45

54

考向四焦點(diǎn)弦問題

與拋物線的焦點(diǎn)弦長有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解.解題時(shí)，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長公式

是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)定還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定，是p與交點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的和還是與交點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的差，這

是正確解題的關(guān)鍵.

典例引領(lǐng)

典例6過拋物線六4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)力（為,%），8（如④，若［加=7,求四的中點(diǎn)"到拋物

線準(zhǔn)線的距離.

【解析】拋物線的焦點(diǎn)為旗1,0?隹線方程為x=-l.

由拋物線的定義知=MF|+|B曰=%+與+如+與=%+孫+以即乙+必+2=7得乙+3=5.

于是弦數(shù)的中點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為I.

因此點(diǎn)〃到拋物線準(zhǔn)線的距離為?+1=（?

典例1已知過拋物線/=2px（p>0）的焦點(diǎn),斜率為2小的直線交拋物線于4（打力），B（x2,%）（不<在）兩點(diǎn),且

/W=9.

（1）求該拋物線的方程；

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為拋物線上一點(diǎn)，若沆=血+，血，求A的值.

【解析】(1)直線四的方程是尸2立仁介與爐=2/聯(lián)立從而有4曲5取■產(chǎn)0

所以Xl+X2=孚一

4

由拋物線的定義相加IF+X23手斤以Z

從而拋物線的方程是爐=取.

(2)因?yàn)閜=4,

所以M-S/a+pM),可簡化為x2-5x+4=0,

從而xi=1IX2=4^I=^2)/2J*I=4V25

從而^(1,-272)^(4,472).

設(shè)％"),則沆=@兇)=(1:2煙+及4,4在)=(以+1,4\%-2\2)一

又另期心

所以［2誼(2M)F=8(44+1)即(21-1產(chǎn)41+1，解得A=0或A=2.

變式拓展

4.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線/與拋物線交于AB兩點(diǎn)，以A8為直徑的圓的方程為

(x-3『+(y-2『=16,則〃=

A.1B.2

C.3D.4

考向五拋物線中的最值問題

1.拋物線中經(jīng)常根據(jù)定義把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，從而求解.

2.有關(guān)拋物線上一點(diǎn)材到拋物線焦點(diǎn)廠和到己知點(diǎn)E(￡在拋物線內(nèi))的距離之和的最小值問題，可依

據(jù)拋物線的圖形，過點(diǎn)￡作準(zhǔn)線/的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)尸和到已知點(diǎn)￡的距離之和

是最小值.

典例引領(lǐng)

典例8如圖，己知點(diǎn)Q(2#,0)及拋物線y=亍上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則y+|PQ|的最小值是

A.2B.3

C.4D.2M

【答案】A

【解析】如圖,作PB1x軸于A點(diǎn),并與準(zhǔn)線相交于B點(diǎn).拋物線爐=4y的焦點(diǎn)為F@I)J隹線為y=由拋

物線的幾何意義可得1尸身=|PF],所以

y+附卜I尸用+P(2I=|PB\+IPQ\-1=\PF\+\PQ\-1>|FQ|-1=VT+8-1=2.故選A.

典例9已知拋物線的方程為V=8%/是焦點(diǎn)，點(diǎn)4(-2,4),在此拋物線上求一點(diǎn)已使|加+|用|的值最小.

【解析】???(-2)z<8X4,.?.點(diǎn))(-2,4)在拋物線在=8y的內(nèi)部.

如圖所示,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為1,過點(diǎn)戶作PQL1于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作ABV1于點(diǎn)B,連接AQ.

由拋物線的定義可知,閥+網(wǎng)l=EQI+四歸M0歸陽?I當(dāng)且僅當(dāng)pg乂三點(diǎn)共線時(shí)，閥+咫取得最小值1^陽|一

...不妨設(shè)陽+口|的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2瑜代入拋物線方程爐畤得止;.

二使附呷|的值最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2；）.

變式拓展

5.已知拋物線V=4x,過焦點(diǎn)尸作直線與拋物線交于點(diǎn)A,B,設(shè)IAfi=m，IB司=〃，則加+〃的

最小值為

A.2B.3

C.73D.4

聲點(diǎn)沖關(guān)充

1

1.拋物線>9的準(zhǔn)線方程是

4

A.y=TB.y=l

C.x=—1D.x—\

2.已知加,〃￡R，則“根〃<0”是“拋物線如2+肛;二o的焦點(diǎn)在y軸正半軸上，，的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.以x軸為對(duì)稱軸,通徑長為8,頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程是

A.y-^xB.y=-8x

C.y=8x^y=~8xD.V=8y或必=-8y

4.已知拋物線/=4x上一點(diǎn)材與該拋物線的焦點(diǎn)U的距離|加1=4,則點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)尸

A.0B.3

C.2D.4

5.已知點(diǎn)以-3,2）是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為￡點(diǎn)。是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則

〃胞'-/〃/的最小值是

7

A.-B.3

2

D.2

6.設(shè)廠為拋物線C：：/=4x的焦點(diǎn)，M為拋物線。上的一點(diǎn)，。為原點(diǎn)，若△OF"為等腰三角形,

則△OEM的周長為

A.4B.2布+1

C.君+2或4D.行+1或4

7.尸是拋物線f=2x的焦點(diǎn)，以尸為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于點(diǎn)A,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)8,

若E6=4E4，則=

3

A.1B.一

2

9

C.2D.-

4

8.曲線y=2f上兩點(diǎn)A(%,y)、3(%2，%)關(guān)于直線丁=%+相對(duì)稱，且玉-X2=-5,則0的值為

3

A.—B.2

2

9.已知拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,6始終滿足/月陷60°,過弦4?的中點(diǎn)〃作

拋物線的準(zhǔn)線的垂線期;垂足為N,則上?的取值范圍為

\AB

A.(0,烏B.[巫,+8)

33

C.[1,+8)D.(0,1]

丫2

10.若拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線L-7=l的右頂點(diǎn)重合，則片

4

11.已知點(diǎn)4(1,%),3(9,必)是拋物線：/=2〃式〃>0)上的兩點(diǎn)，必>y>0,點(diǎn)F是它的焦點(diǎn)，若

|BF|=5|AF|,則弁+%的值為.

12.已知等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)都在拋物線丁=2px(p>0)上，且AB//CD,

AB=2,CD=4,NADC=60°,則點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離是

13.已知拋物線C:「=ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)1(0,1),射線均與拋物線C相交于點(diǎn)火與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,

若|掰：|削=1：3,則實(shí)數(shù)a的值為.

14.已知拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為K準(zhǔn)線方程是》=-I

(1)求此拋物線的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)M在此拋物線上，且|MF|=3,若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OBW的面積.

15.己知北川是焦點(diǎn)為尸的拋物線丁=2px(p>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn),線段協(xié)'的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4-5.

⑴求|炳+|即|的值;

(2)若尸2,直線MN與x軸交于點(diǎn)B,求點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的取值范圍.

16.設(shè)A,8是拋物線/=2px(p>0)上的兩點(diǎn),且滿足的_1如(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

求證：(1)46兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值;

(2)直線4?經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).

17.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線上有一點(diǎn)尸（小,5）到焦點(diǎn)的距離為6.

（1）求該拋物線。的方程；

（2）已知拋物線上一點(diǎn)“（4"）,過點(diǎn)M作拋物線的兩條弦和ME,且ADJAE，判斷直線OE

是否過定點(diǎn)，并說明理由.

直通高考此

S?

2

1.（2018新課標(biāo)I理）設(shè)拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)（-2,0）且斜率為1的直線與。交于M,N

兩點(diǎn)，則FMFN二

A.5B.6

C.7D.8

2.（2016新課標(biāo)全國I理科）以拋物線。的頂點(diǎn)為圓心的圓交。于4B兩點(diǎn),交。的準(zhǔn)線于〃￡兩點(diǎn).

已知|47|二4血，\DEU2舊,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

A.2B.4

C.6D.8

3.（2017新課標(biāo)全國I理科）已知尸為拋物線Gy2=4x的焦點(diǎn)，過/作兩條互相垂直的直線九k,

直線人與。交于力、夕兩點(diǎn)，直線4與。交于〃、￡兩點(diǎn)，則I力引+：龍|的最小值為

A.16B.14

C.12D.10

4.（2016浙江理科）若拋物線/=4”上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則"至ijy軸的距離是.

5.（2017新課標(biāo)全國II理科）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是。上一點(diǎn)，的延長線交曠

軸于點(diǎn)N.若“為RV的中點(diǎn)，則|EV|=.

6.（2018新課標(biāo)HI理）已知點(diǎn)知（-1,1）和拋物線Gy2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為火的直線與C交于A,

B兩點(diǎn).若NAMB=90°,則&=.

113913

7.（2017浙江）如圖，已知拋物線，點(diǎn)力（一不二），8（不工），拋物線上的點(diǎn)尸（x,y）（—.過

點(diǎn)6作直線4。的垂線，垂足為Q.

（1）求直線/!一斜率的取值范圍;

（2）求IPAHPQI的最大值.

8.（2016新課標(biāo)全國IH理科）已知拋物線C：、2=2%的焦點(diǎn)為尸，平行于x軸的兩條直線L分別

交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,。兩點(diǎn).

（1）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明ARFQ.

（2）若APOF的面積是△ABE的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

9.(2018新課標(biāo)n理)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為Z(k>0)的直線/與C交于A,B兩

點(diǎn)，"|=8.

(1)求/的方程；

(2)求過點(diǎn)A,8且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

10.(2018北京理)已知拋物線Gy2=2px經(jīng)過點(diǎn)p(1,2).過點(diǎn)0(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線加交y軸于N.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=AQO,QN=juQO.求證：?+一為定值.

X〃

1.【答案】c

【解析】由題意，尸是拋物線/=4x的焦點(diǎn)，所以F(LO),準(zhǔn)線方程為x=—l,

設(shè),yJ,N(叱，為)，所以MFI+INFM^+I+XJ+IMG,解得毛+叱=4,

所以線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以線段MN的中點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為2+1=3.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中熟記拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，把

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義，列出方程求出M,N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再

求出線段MN的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離.

2.【答案】C

【解析】?.?拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(-4,4),

.??設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2〃y(p>0)或(p>0),

將點(diǎn)(-4,4)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，=2切(p>0)得：16=8p,「.9=2,

...此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，=4y；

將點(diǎn)(-4,4)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程丁=_2聲(p>0),同理可得p=2,

此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-4x.

綜上可知，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(-4,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是丁=-4%或，=4).

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型是關(guān)鍵，考查待定系數(shù)法，

屬于中檔題.依題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2刀（p>0）或丁=_20（p>0）,將點(diǎn)（T,4）

的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得〃即可.注意，本題也可用排除法，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（T,4）,且

該點(diǎn)在第三象限，所以拋物線的開口朝上或朝左，觀察各選項(xiàng)知選項(xiàng)C符合題意.

3.【答案】C

【解析】由拋物線的定義知阿=%+解得%=2”，

又點(diǎn)M（1,%）在拋物線。上，代入V=2/〃解得%=1,p=[.

團(tuán)14

過點(diǎn)"作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為七則tanNEAM=tanNAME=~L==_.

\ME\55

4

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.先利用拋物線的定義和已知條件求出

%=再過點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為E,最后解直角三角形4必得tanZFAM的值.

4.【答案】B

【解析】設(shè)過拋物線y2=2px（">0）的焦點(diǎn)的直線/與拋物線交于A（x，yJ,3（七,必）兩點(diǎn)，則

|陰=%+%+0，又因?yàn)橐?為直徑的圓的方程為（一3）2+（3；-2）2=16,所以

|AB|=Xy4-Xj+p=6+p=8,解得p=2.故選B.

【名師點(diǎn)睛】涉及過拋物線的焦點(diǎn)的弦的長度問題，往往要借助拋物線的定義轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)

線的距離，比聯(lián)立方程利用弦長公式進(jìn)行求解減少了計(jì)算量.

5.【答案】D

【解析】由題意知，拋物線丁=板的焦點(diǎn)坐標(biāo)為a0）,準(zhǔn)線方程為x=T,

當(dāng)斜率先存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=儀X-1）,聯(lián)立拋物線方程，可得//一（常+4卜+廿=0,

設(shè)4（天,必）,5（女,〉2），貝ij%+項(xiàng)=2+乃>2:不丐=1,

依據(jù)拋物線定義得出掰=xl+l,n=x1+l^m+n=xl+x1+2>4}

當(dāng)斜率上不存在時(shí)，易得您+”=4.

則?《+"的最小值是4,故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)

的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的

轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)

化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.

1.【答案】A

【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y,焦點(diǎn)在）'軸上，...2。=4,即p=2,.4=1,則準(zhǔn)線方

程為y=-1.故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，先將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出準(zhǔn)線方程，屬于基

礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】若“根〃<0"，則丁=一一y中的一一>0,所以“拋物線如2+肛,=0的焦點(diǎn)在y軸正半

mm

軸上”成立，是充分條件；反之，若“拋物線蛆〃y=0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”，則/=一一y中

m

n

的一一>0,即加〃<0,則“mn<0”成立，故是充分必要條件.

m

故答案為C.

【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷和拋物線的幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水

平和分析推理能力.（2）判斷充要條件，首先必須分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后利用定義法、轉(zhuǎn)換法和

集合法來判斷.

3.【答案】C

【解析】依題意設(shè)拋物線方程為/=±2后（0>0）,則2片8,所以拋物線方程為/=8x或*="8x.故選C.

4.【答案】B

【解析】拋物線/=4x,??."=2,由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距

離是相等的，畫|=4,即有與+5=4,.?.XM=3.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】活用拋物線的定義是解決拋物線問題最基本的方法，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，叫焦半

徑.到焦點(diǎn)的距離常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求解.

5.【答案】C

【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)-工，當(dāng)，4〃x軸時(shí)，/，典/-/0/取得最小值，此時(shí)

2

lMQl-lQFl=/2+3/-/2卷/=1.

6.【答案】D

【解析】①若MC>=MF,即點(diǎn)M在直線x上，解得M,所以△。同，的周長為

3

2x-+l=4

2

②若OM=OF,設(shè)M(%,為］,所以、+=/=],解得拉（括-

2,,所以

\MF\=j5-l,所以△。成/的周長為在—1+1+1=在+1.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì).由題意可知，滿足要求的點(diǎn)有兩個(gè)，所以進(jìn)行分類討論.本題的關(guān)

鍵就是求出M的坐標(biāo)，求出周長，所以只需設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合各自的等量關(guān)系，求坐標(biāo)，得到周長.

7.【答案】D

,1.

I177-4-—I

【解析】由題意得尸七,0）,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為機(jī)，則由拋物線的定義，可得23,則機(jī)=：,

2----=-4

14

所以E4=1,EB=3,所以=41MMeosO=；.故本題選D.

8.【答案】A

【解析】設(shè)直線3的方程為產(chǎn)r+瓦代入）=2/得太2+工_匕=0,,、兇=一,一：.

.A1,即總的方程為LX+L

設(shè)里的中點(diǎn)為yo）,則JCO=）?工J：，代入y計(jì)1,得yo=?.

2414

.51.3

又jld（-->一）在/女+覆|L9??------.??褥=一.

44442

故答案為A

【名師點(diǎn)睛】這是屬于圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題，可以聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系得到中點(diǎn)坐標(biāo)，代入已

知直線.還有解決中點(diǎn)弦問題和對(duì)稱問題，可以利用點(diǎn)差法，由兩式作差直接得中點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率的關(guān)

系.

9.【答案】D

【解析】過A,6分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線4Q,BP,垂足分別為Q,P,設(shè)[A昨a,[BFkb,則由拋物線的定義,

得〃0/=a,/外/=&所以/&V/當(dāng)上.在△ABE中，由余弦定理得〃勿=a2+/?2a6cos60°=3+&-ab,所

a+b

|"N|_2_a+b_a+b_1

以何=俄+b?-ab=2g+后一曲=2屁時(shí)-3帥=/3ab，因?yàn)閍+后2、語所

W1|H7V|

：3ab八,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立，故上■甘的取值范圍為（0,1].故選D.

10.【答案】4

【解析】由雙曲線《-A1可得a2則雙曲線的右頂點(diǎn)為⑵0）,則4=2,所以04

42

11.【答案】10

【解析】由拋物線的定義可得網(wǎng)=1+與幽=9+勺依據(jù)題設(shè)可得9+言=5+當(dāng)op=2,

則y：=4xl=4,￡=4x9=36=%=6（舍去負(fù)值），故4+%=10,應(yīng)填10.

12.【答案】述

12

【解析】由題意可設(shè)（根+，5,2）,因此,42'（機(jī)+百）=＞，=4?，/〃=乎，因此點(diǎn)A

1=2pm2J

到拋物線的焦點(diǎn)的距離是根+‘=@+走=拽.

23412

13.【答案】企

【解析】依題意得焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（2,0）,設(shè)"在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為K,連接加；由拋物線的定義

4

_0-1_-4,

/

知Ml=|四|,因?yàn)閨掰：|硼=1：3,所以|KN\：|KM\=2媳：1,又%=an=T,k，T熬-2也

---0AM

4

4

所以一=2^/2,解得SFyfZ,

a

14.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為“=-1,

所以與=1,得r=2.

Ju

所以拋物線的方程為y-=4x.

⑵設(shè)Mg,%),

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且IMF]=3,

由拋物線定義知附產(chǎn)|=不+。=3,得痂=2.

由拉(Z外)在拋物線上，滿足拋物線的方程尸=也去口兄=±2播,

所以題/的面積為;pF|聞=；xlx2jl=&.

15.【解析】(1)設(shè)/(不兇),/^(_￥2，%)，則方+%2=8-〃，

而|"P|=X|+g閃目=/+^,

.?.|*+岫=%+/+0=8.

(2)當(dāng)p=2時(shí)，拋物線方程為/=4x.

①若直線極V的斜率不存在,則6(3,0).

②若直線,m的斜率存在，設(shè)4(3,t)(tW0),則由⑴知卜2一,整理得短一%2=4(%一3,

[%-=以2

???^■^■(弘+必)=4,即七N=2,

%—%2t

直線A/N:y-.=:(x-3),

2

二6點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3—1,

2

y-t=—(x-3),.

由丁t消去x得2)+2/—12=0,

,2=4x

由△>0得0<四12,

t2

.?.3--e(-3,3).

2

綜上，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)的取值范圍為(-3,3].

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查學(xué)生理解能力、分析判

斷能力以及綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與

圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的

問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單.在得到三角形的面積的表達(dá)式后，能否利用換元的方法，

觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問題的關(guān)鍵.

22

16.【解析】⑴設(shè)/(汨，％),庾打㈤，則為=2冏，丫2=20思

...runty舊=0.

，師二娼

.\jcixir4p2.

即4田兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值.

⑵二資-閨⑦學(xué)尸取XE),

...當(dāng)時(shí)苴線AB的方程為Xr=2p,

則直線AB的方程為y-x=-2p—?（X-%）,

y+%

2P2py\2p力及

.??產(chǎn)力+y2?廣力+力?茄弘二力+力?廣為+y2.

又力用二一47；

2P4P2_2p

/.片萬電?『為+y2~yi+y2（尸20）,

，直線48過定點(diǎn)（2p,0）.

17?【解析】（1）由題意設(shè)拋物線方程為f=2〃），（〃>0）,其準(zhǔn)線方程為y=一5,

???點(diǎn)產(chǎn)（見5）到焦點(diǎn)的距離等于尸到其準(zhǔn)線的距離，

5+—=6,p=2.

2

所以拋物線方程為，=4卜

⑵由⑴可得點(diǎn)拉（44）,

設(shè)直線MD的方程為。=h％-4）+4,

了=上（工-4）+4

聯(lián)立<1>得——4Ax+16A:-16=0,

1，=4y

設(shè)（再J2），則?xv-jq=16A;—16,

16左一16,工，

_一%,—4A:4,j…，

4

同理，巧=一三一4,%=4（河：

4（A;-1）2-4|i+l]

所以直線DE的方程為y一小體-1?=_________Ik）（x-4上+4）

4

4/t-4+-+4

k

-2〕

=1—L2L——七——2（%一4左+4）二=1%—：—2卜—4Z+4）,

Z+一

k

化簡得y=[左_：_2]x+4k_：=(x+4)+8.

，直線DE過定點(diǎn)(-4,8).

【名師點(diǎn)睛】(1)本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線和拋物線的位置關(guān)系和直線的定點(diǎn)問題.

(2)定點(diǎn)問題：對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連接所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，

證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法：

①特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)

在該直線或該曲線上(定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立).

②分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)4eR,結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)

得到等式工(x,+力(x,y"+力(x,y)=0,(一般地，,[(x,y)(z=1,2,3)為關(guān)于乂V的二元一

工(x,y)=o

次關(guān)系式)由上述原理可得方程組(&(x,y)=O,從而求得該定點(diǎn).

/(x,y)=o

1.【答案】D

【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)(-2,0)且斜率為g的直線方程為y=g(x+2),

2

y=-(x+2)

與拋物線方程聯(lián)立得?3''，消元整理得：/_6y+8=0,解得好。,2)W(4,4),又F(LO),

y=4x

所以由=(Q2),或=(3,4),

從而可以求得麗.成=0x3+2x4=8,故選D.

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問題，在求解的過程中，

首先需要根據(jù)題意