自動(dòng)控制原理 第2版 課件 第4章第一次課

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理1(1)根軌跡的基本概念(2)根軌跡的繪制方法(3)運(yùn)用閉環(huán)特征方程根的分布來(lái)估算系統(tǒng)的性能第一節(jié)根軌跡的基本概念特征方程的根運(yùn)動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能）第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

為了避免直接求解高階系統(tǒng)特征根的麻煩，1948年W.R.Evans提出了一種圖解法－－根軌跡法。

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理2例:二階系統(tǒng)的根軌跡開環(huán)增益K從零變到無(wú)窮，可以用解析方法求出閉環(huán)極點(diǎn)的全部數(shù)值。根軌跡的定義:開環(huán)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)從零變化到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上的軌跡稱為根軌跡。第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理3Ks1s200-20.25-0.3-1.70.5-1-11-1+j-1-j2.5-1+j2-1-j2∞-1+j∞-1-j∞第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理4

動(dòng)態(tài)性能

由K值變化所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布來(lái)估計(jì)。穩(wěn)定性

考察根軌跡是否進(jìn)入右半s平面。根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許位置。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理5根軌跡法:從開環(huán)傳遞函數(shù)著手，通過(guò)圖解法來(lái)求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的方法。

設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理6第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理7第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理8根軌跡法的任務(wù)：由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。結(jié)論：閉環(huán)極點(diǎn)(特征根)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)、根軌跡增益均有關(guān)。第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理9由閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)求出相應(yīng)的根，就可以在s平面上繪制出根軌跡。根軌跡方程根軌跡方程第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理10根軌跡方程可以進(jìn)一步表示為幅角條件（相角條件）：（充分必要條件）幅值條件（模值條件）：第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理11模值條件:如果沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn):第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理12

表示由開環(huán)零、極點(diǎn)指向軌跡點(diǎn)的向量的方位角。第一節(jié)根軌跡的基本概念中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理13第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則常規(guī)根軌跡：可變參數(shù)為根軌跡增益相角條件：180o根軌跡法則1：根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性分支數(shù)與m和n的最大值相同根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。實(shí)軸對(duì)稱：特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)，特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理14法則2：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。簡(jiǎn)要證明：又從第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理15第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則

所以可以得出結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。

若開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，起始于開環(huán)極點(diǎn)的n條根軌跡將會(huì)有m條終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。另外n-m條根軌跡終止于哪里呢？我們將會(huì)在法則4里找到答案。

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理16法則3：實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個(gè)區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為奇數(shù)。由相角條件

jωσ

×

×

×

×

4-2根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理17法則4當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，則有（n-m)條根軌跡分支終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。這些根軌跡分支趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的漸近線由與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)來(lái)確定。第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則設(shè)系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)在S平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)處，存在著滿足根軌跡幅角條件的點(diǎn)。

在處，可以認(rèn)為所有開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)引向點(diǎn)s的

向量的幅角都相等，并假定等于根據(jù)幅角條件有

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理18與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則幅角為的射線遠(yuǎn)端各點(diǎn)都滿足幅角條件，如圖4.5所示。這些射線的遠(yuǎn)端也稱為系統(tǒng)的無(wú)限開環(huán)零點(diǎn)（當(dāng)時(shí)）。這些射線就是根軌跡的漸近線。

可以認(rèn)為系統(tǒng)的(n-m)條根軌跡沿著(n-m)條漸近線趨于無(wú)限零點(diǎn)，漸近線與實(shí)軸的夾角為

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理19例設(shè)單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為（2）有4條根軌跡的分支，對(duì)稱于實(shí)軸（1）（3）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理20與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理21第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理22法則5：根軌跡分離點(diǎn)兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d

由下列方程所決定：分離角為：如果沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn)：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理23分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)0j0j第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理24分離點(diǎn)（舍去）第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理25分離點(diǎn)的另外一種求法：由于分離點(diǎn)為特征方程的重根：聯(lián)立方程組，消去得：為便于記憶，寫為：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理26解得：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理27解（1）開環(huán)零點(diǎn)例4.3

繪制圖示系統(tǒng)大致的根軌跡根軌跡分支數(shù)為3條，有兩條趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡：開環(huán)極點(diǎn)第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理28（3）趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近線的夾角與交點(diǎn)（4）分離點(diǎn)第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理29法則6：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益和角頻率可以用勞斯判據(jù)或閉環(huán)特征方程（）確定。將代入閉環(huán)特征方程，得：解出：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理30例4.4設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：試?yán)L制該控制系統(tǒng)的根軌跡圖。（1）根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)

無(wú)有限開環(huán)零點(diǎn)，三條根軌跡均終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡線段為[－2，0]，（∞，－4]。

（3）根軌跡的漸近線：有3條漸近線，與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角分別為：

第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理31（4）根軌跡的分離點(diǎn)：由系統(tǒng)特征方程得

解得

（不在實(shí)軸的根軌跡上，應(yīng)舍去）

第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理32（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：方法1：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可以通過(guò)將s=jω代入特征方程

解得：方法2：列勞斯表

解得：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理33第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理34法則7：根軌跡的出射角和入射角出射角(起始角)：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸的夾角

。起始角＝180°+∑[各零點(diǎn)指向本極點(diǎn)的方向角]-∑[其他極點(diǎn)指向本極點(diǎn)的方向角]第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理35終止角(入射角)：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)平面上開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸的夾角。終止角＝180°-∑[其他零點(diǎn)指向本零點(diǎn)的方向角]+∑[各極點(diǎn)指向本零點(diǎn)的方向角]第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理36例3：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)；兩條根軌跡分支；其中一條趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解:（2）漸近線與實(shí)軸重合的，實(shí)軸上根軌跡（-

，-2]。第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理37（3）會(huì)合點(diǎn)解得或（舍去）(4)確定開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。對(duì)應(yīng)開環(huán)極點(diǎn)的出射角因?yàn)楦壽E對(duì)稱于實(shí)軸，所以對(duì)應(yīng)的出射角第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理38

由兩個(gè)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)實(shí)零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)根軌跡增益由零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓或圓的一部分，這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上可以嚴(yán)格證明。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理39證明：已知系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為，，令s=u+jv為根軌跡的任一點(diǎn)，由相角條件可得

應(yīng)用三角公式即將上式等號(hào)左邊合并可得到4-2根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理40方程表示在S平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位于點(diǎn)、半徑為的圓弧。將上式等號(hào)兩邊取正切，則有（以上證明為選學(xué)部分）4-2根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理41例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的大致根軌跡。解：（1）該系統(tǒng)無(wú)開環(huán)零點(diǎn)，4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為

在實(shí)軸上的根軌跡：[-3，0]。第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理42（3）分離點(diǎn)首先判斷d應(yīng)該位于[-3-1.25]之間（2）有4條分支趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。漸近線的夾角與交點(diǎn)第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理43（5）與虛軸的交點(diǎn)—運(yùn)用勞斯判據(jù)（4）起始角列勞斯表：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院?？×肿詣?dòng)控制原理44由勞斯表第一列、第四行元素為零，得：解輔助方程第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院常俊林自動(dòng)控制原理45法則

8：閉環(huán)極點(diǎn)之和設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫