自動控制原理 第2版 課件 第4章第一次課

中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?(1)根軌跡的基本概念(2)根軌跡的繪制方法(3)運用閉環(huán)特征方程根的分布來估算系統(tǒng)的性能第一節(jié)根軌跡的基本概念特征方程的根運動模態(tài)系統(tǒng)動態(tài)響應（穩(wěn)定性、動態(tài)性能）第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

為了避免直接求解高階系統(tǒng)特征根的麻煩，1948年W.R.Evans提出了一種圖解法－－根軌跡法。

中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?例:二階系統(tǒng)的根軌跡開環(huán)增益K從零變到無窮，可以用解析方法求出閉環(huán)極點的全部數值。根軌跡的定義:開環(huán)傳遞函數的某一個參數從零變化到無窮大時，閉環(huán)特征根在s平面上的軌跡稱為根軌跡。第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理3Ks1s200-20.25-0.3-1.70.5-1-11-1+j-1-j2.5-1+j2-1-j2∞-1+j∞-1-j∞第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?

動態(tài)性能

由K值變化所對應的閉環(huán)極點分布來估計。穩(wěn)定性

考察根軌跡是否進入右半s平面。根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)傳遞函數在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許位置。中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?根軌跡法:從開環(huán)傳遞函數著手，通過圖解法來求閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的方法。

設控制系統(tǒng)如圖所示閉環(huán)極點與開環(huán)零、極點之間的關系開環(huán)傳遞函數第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理6第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理8根軌跡法的任務：由已知的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點。結論：閉環(huán)極點(特征根)與開環(huán)零點、開環(huán)極點、根軌跡增益均有關。第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?由閉環(huán)傳遞函數當求出相應的根，就可以在s平面上繪制出根軌跡。根軌跡方程根軌跡方程第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理10根軌跡方程可以進一步表示為幅角條件（相角條件）：（充分必要條件）幅值條件（模值條件）：第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?1模值條件:如果沒有開環(huán)零點:第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理12

表示由開環(huán)零、極點指向軌跡點的向量的方位角。第一節(jié)根軌跡的基本概念中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?3第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則常規(guī)根軌跡：可變參數為根軌跡增益相角條件：180o根軌跡法則1：根軌跡的分支數、對稱性和連續(xù)性分支數與m和n的最大值相同根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導致特征根也連續(xù)變化。實軸對稱：特征方程的系數為實數，特征根必為實數或共軛復數。中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?4法則2：根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。簡要證明：又從第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理15第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則

所以可以得出結論：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。

若開環(huán)極點數n大于開環(huán)零點數m，起始于開環(huán)極點的n條根軌跡將會有m條終止于m個開環(huán)零點。另外n-m條根軌跡終止于哪里呢？我們將會在法則4里找到答案。

中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?6法則3：實軸上的根軌跡若實軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實數零點數+開環(huán)實數極點數）為奇數。由相角條件

jωσ

×

×

×

×

4-2根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理17法則4當開環(huán)極點數n大于開環(huán)零點數m時，則有（n-m)條根軌跡分支終止于無窮遠處。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則設系統(tǒng)開環(huán)極點數n大于開環(huán)零點數m時，可以發(fā)現在S平面上的無窮遠處，存在著滿足根軌跡幅角條件的點。

在處，可以認為所有開環(huán)極點和開環(huán)零點引向點s的

向量的幅角都相等，并假定等于根據幅角條件有

中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?8與實軸夾角與實軸交點第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則幅角為的射線遠端各點都滿足幅角條件，如圖4.5所示。這些射線的遠端也稱為系統(tǒng)的無限開環(huán)零點（當時）。這些射線就是根軌跡的漸近線。

可以認為系統(tǒng)的(n-m)條根軌跡沿著(n-m)條漸近線趨于無限零點，漸近線與實軸的夾角為

中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理19例設單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數為（2）有4條根軌跡的分支，對稱于實軸（1）（3）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理20與實軸夾角與實軸交點第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?1第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理22法則5：根軌跡分離點兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點稱為分離點。分離點的坐標d

由下列方程所決定：分離角為：如果沒有開環(huán)零點：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?3分離點會合點0j0j第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?4分離點（舍去）第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理25分離點的另外一種求法：由于分離點為特征方程的重根：聯立方程組，消去得：為便于記憶，寫為：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?6解得：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理27解（1）開環(huán)零點例4.3

繪制圖示系統(tǒng)大致的根軌跡根軌跡分支數為3條，有兩條趨向于無窮遠處。（2）實軸上的根軌跡：開環(huán)極點第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?8（3）趨向無窮遠處的漸近線的夾角與交點（4）分離點第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理29法則6：根軌跡與虛軸的交點交點對應的根軌跡增益和角頻率可以用勞斯判據或閉環(huán)特征方程（）確定。將代入閉環(huán)特征方程，得：解出：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?0例4.4設單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數：試繪制該控制系統(tǒng)的根軌跡圖。（1）根軌跡起始于開環(huán)極點

無有限開環(huán)零點，三條根軌跡均終止于無窮遠處。（2）實軸上的根軌跡線段為[－2，0]，（∞，－4]。

（3）根軌跡的漸近線：有3條漸近線，與實軸交點和夾角分別為：

第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理31（4）根軌跡的分離點：由系統(tǒng)特征方程得

解得

（不在實軸的根軌跡上，應舍去）

第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?2（5）根軌跡與虛軸的交點：方法1：根軌跡與虛軸的交點可以通過將s=jω代入特征方程

解得：方法2：列勞斯表

解得：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?3第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理34法則7：根軌跡的出射角和入射角出射角(起始角)：根軌跡離開開環(huán)復數極點處的切線與實軸的夾角

。起始角＝180°+∑[各零點指向本極點的方向角]-∑[其他極點指向本極點的方向角]第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理35終止角(入射角)：根軌跡進入開環(huán)復平面上開環(huán)復數零點處的切線與實軸的夾角。終止角＝180°-∑[其他零點指向本零點的方向角]+∑[各極點指向本零點的方向角]第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理36例3：設單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數為（1）一個開環(huán)零點，兩個開環(huán)極點；兩條根軌跡分支；其中一條趨向于無窮遠處。試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解:（2）漸近線與實軸重合的，實軸上根軌跡（-

，-2]。第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理37（3）會合點解得或（舍去）(4)確定開環(huán)共軛復數極點的出射角。對應開環(huán)極點的出射角因為根軌跡對稱于實軸，所以對應的出射角第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?8

由兩個極點（實極點或復數極點）和一個實零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要實零點沒有位于兩個實極點之間，當根軌跡增益由零變到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復數部分是以實零點為圓心，以實零點到分離點的距離為半徑的一個圓或圓的一部分，這個結論在數學上可以嚴格證明。中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理39證明：已知系統(tǒng)的開環(huán)零點和極點分別為，，令s=u+jv為根軌跡的任一點，由相角條件可得

應用三角公式即將上式等號左邊合并可得到4-2根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理40方程表示在S平面上的根軌跡是一個圓心位于點、半徑為的圓弧。將上式等號兩邊取正切，則有（以上證明為選學部分）4-2根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理41例設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的大致根軌跡。解：（1）該系統(tǒng)無開環(huán)零點，4個開環(huán)極點分別為

在實軸上的根軌跡：[-3，0]。第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?2（3）分離點首先判斷d應該位于[-3-1.25]之間（2）有4條分支趨向無窮遠處。漸近線的夾角與交點第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理43（5）與虛軸的交點—運用勞斯判據（4）起始角列勞斯表：第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院?？×肿詣涌刂圃?4由勞斯表第一列、第四行元素為零，得：解輔助方程第二節(jié)根軌跡繪制的基本法則中國礦業(yè)大學信電學院常俊林自動控制原理45法則

8：閉環(huán)極點之和設控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫