福建省龍巖市2024屆高中畢業(yè)班五月教學質量檢測（三模）數學試題（含答案）

福建省龍巖市2024屆高中畢業(yè)班五月教學質量檢測（三模）數學試題(滿分:150分 考試時間:120分鐘)注意事項:1.考生將自己的姓名、準考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若全集,集合,則A. B. C. D.[0,3]2.若復數滿足,則復平面內對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量.若在上的投影向量為,則A.2 B.3 C.4 D.55.已知球的體積為,且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側面積相等,則該圓錐的體積為A. B. C. D.6.聲音的等級(單位:dB)與聲音強度x(單位:)滿足.噴氣式飛機起飛時,聲音的等級約為140dB.若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍,則一般說話時聲音的等級約為A.120dB B.100dB C.80dB D.60dB7.已知曲線與曲線相交于A,B兩點,直線AB交軸于點,則點的橫坐標的取值范圍為A. B. C. D.8.已知函數為的零點,為圖象的對稱軸,且在上有且僅有1個零點,則的最大值為A.11 B.9 C.7 D.5二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知函數,則A.在單調遞增 B.是的零點C.的極小值為0 D.是奇函數10.在中,內角所對的邊分別為且,則A. B.若,則C.若,則面積的最大值為 D.若,則11.已知拋物線與圓交于A,B兩點,且.過焦點的直線與拋物線交于M,N兩點,點是拋物線上異于頂點的任意一點,點是拋物線的準線與坐標軸的交點,則A.若,則直線的斜率為 B.的最小值為18C.為鈍角 D.點與點的橫坐標相同時,最小三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在的展開式中,的系數為____________.13.互不相等的4個正整數從小到大排序為,若它們的平均數為4,且這4個數據的極差是中位數的2倍,則這4個數據的中位數為____________.14.已知函數有且只有一個零點,則ab的取值范圍為____________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本題滿分13分)若數列是公差為1的等差數列,且,點在函數的圖象上,記數列的前項和為.(1)求數列的通項公式;(2)設,記數列的前項和為,證明:.16.(本題滿分15分)如圖,在四棱臺中,底面四邊形ABCD為菱形,平面ABCD.(1)證明:;(2)若M是棱BC上的點,且滿足,求二面角的余弦值.17.(本題滿分15分)某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產線進行試產.其芯片質量按等級劃分為五個層級,分別對應如下五組質量指標值:.根據長期檢測結果,得到芯片的質量指標值服從正態(tài)分布,并把質量指標值不小于80的產品稱為等品,其它產品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件作為樣本,統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據長期檢測結果,該芯片質量指標值的標準差的近似值為11,用樣本平均數作為的近似值,用樣本標準差作為的估計值.若從生產線中任取一件芯片,試估計該芯片為等品的概率(保留小數點后面兩位有效數字);(①同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表;②參考數據:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,.)(2)(i)從樣本的質量指標值在和[85,95]的芯片中隨機抽取3件,記其中質量指標值在[85,95]的芯片件數為,求的分布列和數學期望;(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元,一件等品芯片的利潤是元,根據(1)的計算結果,試求的值,使得每箱產品的利潤最大.18.(本題滿分17分)動圓與圓和圓都內切,記動圓圓心的軌跡為.(1)求的方程;(2)已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為,則曲線上一點處的切線方程為:.試運用該性質解決以下問題:點為直線上一點(不在軸上),過點作的兩條切線,切點分別為.(i)證明:;(ii)點關于軸的對稱點為,直線交軸于點,直線交曲線于G,H兩點.記的面積分別為,求的取值范圍.19.(本題滿分17分)若函數的定義域為,有,使且,則對任意實數k,b,曲線與直線總相切,稱函數為恒切函數.(1)判斷函數是否為恒切函數,并說明理由;(2)若函數為恒切函數.(i)求實數的取值范圍;(ii)當取最大值時,若函數為恒切函數,記,證明:.（注：是自然對數的底數.參考數據：)龍巖市2024年高中畢業(yè)班五月教學質量檢測數學試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678選項BCACBDDB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．題號91011選項BCACDBCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．513．14．8.[解析]為的零點為圖象的對稱軸，又當時,,當時，，故有2個零點,不符合，舍去.當時，當時，，此時有且僅有1個零點，符合，選B.[解析]因為拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，則第一象限內的交點A的縱坐標為，代入圓方程得橫坐標為2，即，所以，，即拋物線方程為，焦點為.設，對選項A，由得，則，又因為，解得，所以直線l的斜率為，故A選項錯誤；對選項B，由拋物線定義得，所以，當且僅當，即時等號成立，因此的最小值為，B正確；對選項C，如圖，不妨設在第一象限，設設直線，聯(lián)立拋物線的方程消，得，又，所以，，為鈍角.故C選項正確；對選項D，，，設，則，由拋物線的定義可得，，又，則，，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故D選項正確.故選：BCD.14.[解析]依題意得與只有一個交點，即兩曲線相切，則只有一個解，，化簡得，將其代入，得，，即，.，則，設，則，在單調遞減，,的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．15．（本題滿分13分）解：（1）由得，，………………3分點在函數的圖象上，…………5分顯然數列為等比數列，首項為1，公比為3，則，……7分…………10分. 13分16．（本題滿分15分）解：（1）在四棱臺中,延長后必交于一點，故四點共面， 1分因為平面,平面,故, 2分連接，因為底面四邊形為菱形，故, 3分平面,故平面, 5分因為平面,所以. 6分（2）過點A作的垂線，交與點N，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）,設，則，由于，故, 9分則,，則，，，記平面的法向量為,則,即，令，則，即，平面的法向量可取為，則. 14分所以二面角的余弦值為. 15分17．（本題滿分15分）解：（1）由題意，估計從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件的平均數為：．即 2分，所以，因為質量指標值近似服從正態(tài)分布，所以， 4分所以從生產線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為． 5分（2）（i），所以所取樣本的個數為20件，質量指標值在的芯片件數為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為：，，，，隨機變量的分布列為：0123 9分所以的數學期望. 10分（ii）設每箱產品中A等品有件，則每箱產品中等品有件，設每箱產品的利潤為元，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以. 12分令得，，又，所以當時，取得最大值. 14分所以當時，每箱產品利潤最大. 15分18．（本題滿分17分）（1）設動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，因為與，都內切，所以，，所以， 2分又，，故，所以圓心的軌跡是以，為焦點的橢圓，設的方程為：，則，，即所以，故的方程為：. 4分（2）（i）證明：設，，，由題意中的性質可得，切線方程為，切線方程為，……5分因為兩條切線都經過點，所以，，故直線的方程為：， 7分所以，.又，，所以直線. 9分（ii）由（i）知直線的方程為：，過定點，設直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，由韋達定理得， 11分又，所以直線的方程為， 12分令得，， 14分所以，設,同理得.不妨設.所以，所以，當且僅當時，即時取等號. 16分所以， 17分19．（本題滿分17分）解：（1）設函數為恒切函數，則有，使且，即，解得，故函數是恒切函數. 4分（2）（i）由函