數(shù)學(xué)思想方法難點(diǎn)歸納

函數(shù)方程思想

重難點(diǎn)歸納:

函數(shù)與方程的思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，要注意函數(shù)，方程與不等式

之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.考生應(yīng)做到：

(1)深刻理解一般函數(shù)y/x)、的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、

最值和圖象變換)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，這是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基

礎(chǔ).

(2)密切注意三個(gè)“二次”的相關(guān)問題，三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、

一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密

切的聯(lián)系.掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)，二次方程實(shí)根分布條件，二次不等式的轉(zhuǎn)

化策略.

典型題例示范講解：

例1已知函數(shù)Ax)=log,”上2

x+3

(1)若式x)的定義域?yàn)閇a,￡],(￡>a>0),糊/(x)在定義域上的增減

性，并加以說明；

(2)當(dāng)OVmVl時(shí)，使於)的值域?yàn)閇1。即[加(2-1)],logm[m(a-1)]]

的定義域區(qū)間為[(￡>。>0)是否存在？請說明理由.

命題意圖：本題重在考查函數(shù)的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用.

知識(shí)依托：函數(shù)單調(diào)性的定義判斷法；單調(diào)性的應(yīng)用；方程根的分布；解

不等式組.

錯(cuò)解分析：第(1)問中考生易忽視“。>3”這一關(guān)鍵隱性條件；第(2)問中

轉(zhuǎn)化出的方程，不能認(rèn)清其根的實(shí)質(zhì)特點(diǎn)，為兩大于3的根.

技巧與方法：本題巧就巧在采用了等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，借助函數(shù)方程思想，

巧妙解題.

解：(1)=-3或x>3.

x+3

?."(x)定義域?yàn)椋踑,￡］a>3

設(shè)￡2為>翹2。，有五三_±2=6(*看)>0

$+3x2+3(x,+3)(X2+3)

當(dāng)OVmVl時(shí)，/(x)為減函數(shù)，當(dāng)〃?>1時(shí)，/(x)為增函數(shù).

(2)若/)在［。，￡］上的值域?yàn)椋踠og”M(￡-l),log,?m(a-1)］

???OV〃z<l,_/U)為減函數(shù).

f(優(yōu)=log,.4s1=log,,m(/3-1)

.B+3

??<

a—3

/(a)=log,,,--=log,,,Ma-1)

a+3

\m/32+(2m-1)/?-3(/7?-1)=0

即〈，乂夕>a>3

ma2+(2m-l)a-3(m-l)=0

即。，￡為方程mx2+(2m-l)x-3(m-1)=0的大于3的兩個(gè)根

0<m<l

A=16m2-16m+1>0

2-73

2772-1：.0<m<

>34

2m

［對(duì)⑶>0

故當(dāng)。<內(nèi)苧時(shí)，滿足題意條件的“存在.

例2已知函數(shù)-(〃2+l)X+/"(/”eR)

(1)若tanAtanB是方程/(x)+4=0的兩個(gè)實(shí)根，A、B是銳角三角形48c的兩

個(gè)內(nèi)角.求證：加25;

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,恒有/(2+cosa)W0,證明用23;

(3)在(2)的條件下，若函數(shù)式sin。)的最大值是8,求機(jī).

命題意圖：本題考查函數(shù)、方程與三角函數(shù)的相互應(yīng)用；不等式法求參數(shù)

的范圍.

知識(shí)依托：一元二次方程的韋達(dá)定理、特定區(qū)間上正負(fù)號(hào)的充要條件，三

角函數(shù)公式.

錯(cuò)解分析：第⑴問中易漏掉△20和tan(A+6)V0,第⑵問中如何保證Ax)

在［1,3］恒小于等于零為關(guān)鍵.

技巧與方法：深挖題意，做到題意條件都明確，隱性條件注意列.列式要

周到，不遺漏.

(1)證明：/(x)+4=0即%2-(加+l)x+m+4=0.依題意：

A=(“2+1)2-4(m+4)>0

vtanA+tanB=m+1>0

tanA-tanB=m+4>0

又A、8銳角為三角形內(nèi)兩內(nèi)角

TT

：.-<A+B<冗

2

?rmzn、tanA+tan8m+1八

..tan(A+B)<0,B|Jtan(A+B)=-----------------=---------<0

1-tanAtanB-m-3

m~-2/W-15>0

+1〉0

??'m+4>0??加三5

?！?

(2)證明：-l)(x-m)

又一l〈cos〃Wl,???l〈2+cosQ<3,恒有A2+COSQ)W0

即1WxW3時(shí)，恒有加)W0即(x-l)(x-m)WO

??771三XfSXmax=3,??/71NXmax=3

(3)解：

V/(sina)=sin2a-(6+l)sinQ+m=(sina-m+^)2+—

24

且空122,

2

...當(dāng)sina=-1時(shí)，/(sin。)有最大值&

即l+("?+l)+〃?=8,/.m=3

例3關(guān)于x的不等式2?32A-3'+"25-3>0,當(dāng)OWxWl時(shí)恒成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為.

解析:設(shè)f=3x,則￡[1,3],

原不等式可化為/-4-3>-2*+”e[1,3].

等價(jià)于a2-a-3大于X0=-2*+t在[1,3]上的最大值.

答案：(-oo,-i)u(2,+co)

例4對(duì)于函數(shù)Ax),若存在X。eR,使Ax())=xo成立，則稱M)為f(x)的不動(dòng)點(diǎn).

己知函數(shù)_/(x)=ax2+s+l)x+S-l)(aWO)

(1)若。=1力=-2時(shí)，求大幻的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)從函數(shù)Ax)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若)三/U)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)/U)的

不動(dòng)點(diǎn)，且A、8關(guān)于直線尸丘+五七對(duì)稱，求匕的最小值.

解：(1)當(dāng)a=\,b=-2時(shí)，式外=?-x-3,

由題意可知x=x2-x~3,得xi=-l42=3.

故當(dāng)a=\,b=-2時(shí)，/)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-1,3.

(2),.7(x)=ax2+S+l)x+(。-l)(aWO)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

/.x=ax2+(b+1)x+(b-1),

即ax2+bx+(b-1)=0恒有兩相異實(shí)根

/.A=b2~4ab+4a>O(bCR)恒成立.

于是△'=(4a『-16aV0解得0<aVl

故當(dāng)匕WR,/(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，OVaVL

(3)由題意A、8兩點(diǎn)應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(XI4I),B(X2X2)

又A、B關(guān)于y=kx+—\—對(duì)稱.

：.k=-1.設(shè)A8的中點(diǎn)為M(x',y')

是方程ax2+bx+(h-1)=0的兩個(gè)根.

?X,-vf_為+Zb

2五

上有-2b1

又點(diǎn)M在直線y=-x+—------1----9---

2a2a21+1

gp/7=--^-=——1—

2a+12a+-

a

'：a>0,：.2a+-^2y[2當(dāng)且僅當(dāng)2a=，即a=—e(0,1)時(shí)取等號(hào),

aa2

故be-—!尸，得/,的最小值-立

2V24

學(xué)生鞏固練習(xí)：

1.已知函數(shù)火X)=10g。[五-3)2]對(duì)任意[g，+8]都有意義，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1B.(0二)C[y,l)D.(J，)

44442

2.函數(shù)人工)的定義域?yàn)镽,且x#l,已知?x+l)為奇函數(shù)，當(dāng)xVl時(shí)，

Ax)=2f-x+l,那么當(dāng)x>l時(shí)，/(x)的遞減區(qū)間是()

5577

A.[—>+°°)B.(1,—]C.[—,+°°)D.(1,—]

4444

3.關(guān)于x的方程lg(ax-1)-lg(x-3)=1有解，則a的取值范圍是.

4.如果)-1-sin2x-mcosx的最小值為-4,則m的值為.

5.設(shè)集合A=[xI4V-2A+2+a=0^ER}.

(1)若A中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值集合8;

(2)若對(duì)于任意a@B,不等式f-6xVa(x-2)恒成立，求x的取值范圍.

6.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，旦aWO)滿足條件-。=#(3-

工)且方程yoo=2x有等根.

(1)求人處的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m<n=,使-x)定義域和值域分別為[〃?,”]和

[4m,4n1,如果存在，求出機(jī)、”的值；如果不存在，說明理由.

7.已知函數(shù)/(x)=6x-6f,設(shè)函數(shù)gi(x)=f(x),g2(x)=fEgl(x)l,g3(x)=f

[g2(X)],…g"(x)手[g"l(x)],…

(1)求證：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)xo，滿足gi(xo)=xo，那么對(duì)一切“GN,

g”(Xo)=Xo都成立；

(2)若實(shí)數(shù)X0滿足g"(xo)=xo,則稱X0為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，試求出所有這些穩(wěn)

定不動(dòng)點(diǎn)；

(3)設(shè)區(qū)間A=(-8,0),對(duì)于任意xGA,有g(shù)i(x)4(x)=aV0,g2(x)=/[gi(x)]

=/(0)<0,

且〃22時(shí)，g?(x)<0.試問是否存在區(qū)間8(AABW。)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任

意實(shí)數(shù)x,只要〃22,都有g(shù)“(x)<0.

8.已知函數(shù)/(x)=」一」(a>0^>0).

ax

(1)求證：/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(2)若/(x)W2x在(0,+8)上恒成立，求。的取值范圍；

(3)若/X)在［〃?,〃］上的值域是(〃?Wn),求a的取值范圍.

參考答案：

1.解析：考查函數(shù)以=?和”=(2。>的圖象，顯然有0V2aVl.

由題意R=(2a)；得a=L,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得答案.

V24

答案：A

2.解析：由題意可得/(-x+l)=令f=-x+l,則x=l-3

故/(0=-人2-。，即f(x)=-/(2-X).

于是有/(x)=-/(2-x)=-2(x-1尸-工，其遞減區(qū)間為［1，+°°).

484

答案:C

3.解析：顯然有x>3,原方程可化為紀(jì)【=10

x—3

故有(10-a)?x=29,必有10-a>0得aVIO

又犬=上一>3可得“>上

10-a3

答案：-<?<10

3

4.解析：原式化為y=(C0SX-5)2-去

3—<-l,ymin=l+m=-4=>/?!=-5?

當(dāng)-^l,yin=——=_4=>m=±4不符.

2m4

當(dāng)5>1,ymin=l-m=-4=m=5.

答案：±5

5.解：(1)令2'=f(f>0),設(shè)人。=/-4/+4

由f(t)=O在(0,+8)有且僅有一根或兩相等實(shí)根，則有

①/⑺=0有兩等根時(shí)，△=()=>16-4a=0na=4

馬僉證：t2-4z+4=0=>t=2G(0,+°°),這時(shí)x=l

②/“)=0有一正根和一負(fù)根時(shí)/(0)V0naV0

③若犬0)=0,則a=0,此時(shí)4'-4?Z'WnZM)(舍去)，或2'=4,；.x=2,即

A中只有一個(gè)元素

綜上所述，aWO或a=4,即8={aIaWO或”=4}

(2)要使原不等式對(duì)任意“6(-8,o]u{4}恒成立.即g(a)=(x-2)a

-(x2-6x)>0恒成立.只須

x-2W0x<2

=>5-V17<xW2

g(4)〉0-1Ox+8<0

6.解：(1)方程ax2+bx=2x有等根，二△=(b-2)2=0,得b=Z

一h

由-1)H(3-x)知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=-'—=1得。=-1,故

2a

f(x)=-X2+2X.

(2)f(x)=~(x-1)2+1^1,；.4后1,即“W上

4

而拋物線y=~X2+2X的對(duì)稱軸為x=\

時(shí)，式x)在[肛”]上為增函數(shù).

4

若滿足題設(shè)條件的m,n存在，則("‘")=4m

f(n)=4n

門」一加2+2m=4m-0或次=-2

即《=>〈、

一〃2+2〃=4〃n=0或〃=-2

又加-2,〃=0,這時(shí)定義域?yàn)閇-2,0],值域?yàn)長_8,0].

4

由以上知滿足條件的加、〃存在，m=-2,z?=0.

7.(1)證明：當(dāng)〃=1時(shí)，gi(x())=xo顯然成立；

設(shè)n=k時(shí)，有g(shù)Kx())=x()伏GN)成立，

則gk+M=f[g?(xo)]=f(xo)=gM=xo

即〃=k+l時(shí)，命題成立

，對(duì)一切nGN,若gi(xo)=xo，貝Ug"(xo)=x?

(2)解：由(1)知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)沏只需滿足Axo)=xo

由/(xo)=xo，得6xo-6XQ2=XO,x=O或xo=-

o6

，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)為0和*.

6

(3)解：V/(x)<0,得6x-VOnxVO或x>1.

???g〃a)vo=/[gi⑹vo=gG)〈O或

要使一切〃RN,〃>2,都有g(shù)〃a)V0,必須有g(shù)i(x)〈?；騡i(x)>有

由gi(x)<。=6x-6X2<0O^<0或x>1

由gi(x)>0<=>6x-6x>1o——<x<--------

66

故對(duì)于區(qū)間(三g,三也)和(1,+8)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)X,

66

只要〃22,〃￡N,都有&Q)V0.

8.(1)證明：任?。?>必>0,

/UD■"AX2)=———=—~~

aXjax2x2%)xxx2

Vxj>%2>0,/.XiX2>0,X\-X2>0,

?7/Ul)-人檢)>0，即加1)刁(工2)，故7U)在(0,+8)上是增函數(shù).

(2)解：???,—4W2x在(0,+8)上恒成立，且”>0,

ax

.'.a2」丁在(0,+8)上恒成立，

2x+-

X

令g(x)=±?~^7嘩

2x+—2J2x--

x'x

（當(dāng)且僅當(dāng)"=:即、=等時(shí)取等號(hào)）'

要使心“在(。,+8)上恒成立‘則心率

故。的取值范圍是［也,+8).

4

(3)解：由(1)“X)在定義域上是增函數(shù).

1

即"0-—優(yōu)+1=0,幾--—〃+1=0

aa

故方程/-Lx+l=0有兩個(gè)不相等的正根根，〃，注意到機(jī),幾=1,

a

故只需要△=(4)2-4>0,由于&>0,則0Va<L

a2

課前后備注:

.數(shù)形結(jié)合思想

重難點(diǎn)歸納：

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：

(1)集合的運(yùn)算及韋恩圖

(2)函數(shù)及其圖象

(3)數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象

(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線

以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的

結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.

以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果

與幾何定理的結(jié)合.

典型題例示范講解：

例1設(shè)4={》|-2WxWa},B={yIy=2x+3,且x^A},C={ZIz=xi,且x

GA),若CqB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

命題意圖：本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運(yùn)算的題目.

知識(shí)依托：解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確

定集合C進(jìn)而將用不等式這一數(shù)學(xué)語言加以轉(zhuǎn)化

錯(cuò)解分析：考生在確定z=/,xe［-2,a］的值域是易出錯(cuò)，不能分類而

論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉2這一種特殊情形.

技巧與方法：解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言

“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語

言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.

解：\'y=2x+3在［-2,a］上是增函數(shù)

，-iWyW2a+3,即B={yI-iWyW2a+3}

作出z=f的圖象,

同的位置情況如下：

①當(dāng)-2WaW0時(shí)，即C={zIdWzW4}

要使必須且只須2a+324得a2!與-2<?<0矛盾.

2

②當(dāng)0WaW2時(shí)，0WzW4即C={zI0WzW4},要使C=8,由圖可知:

2a+3>4

必須且只需

0<a<2

解得一WaW2

2

③當(dāng)a>2時(shí)，0&《2,即c={z\0&，2},

要使。工8必須且只需

aY2a+3解得2<QW3

④當(dāng)aV-2時(shí)，A=0止匕時(shí)8=C=0,則C=8-2i2a成立.

綜上所述，。的取值范圍是(-8「2)3,3].

例2已知acos。+加ina=c,acos￡+bsin￡=c(abWO,a-￡Wkn,RGZ)求證

命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力.

知識(shí)依托：解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程.進(jìn)而

由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)知其在單位圓上.

錯(cuò)解分析：考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一,如何巧妙

利用其幾何意義是為瓶頸之二.

技巧與方法：善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)

論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題.

證明:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(cosa,sina)與點(diǎn)8(cos￡,

sinB)是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=l的兩個(gè)交點(diǎn)如圖.

從而：IABI2=(cosQ-cosy?)2+(sin。-sin75)2

12-2cos(a-Z?),c2

1---------------------=a2

4a2+Z?

.2a一/c2

??cos-------=-----r

2a2+b2

例3曲線尸1+)4-，(-2WxW2)與直線y=r{x-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)

數(shù)，?的取值范圍

解析：方程y=l+，4-程的曲線為半

y=r(x-2)+4為過(2,4)的直線.

答案：(―,-

124

例4設(shè)段)=氏2-2ax+2,當(dāng)xW［-1,+8)時(shí)，f{x}>a恒成立，求a的取值范

圍.

解法一：由f(x)>a,在［-1,+8)上恒成立

=x?-2ax+2-40在［-1,+8)上恒成立.

考查函數(shù)g(x)=x?-2ox+2-a的圖象在［-1,+8］時(shí)位于x軸上方.

如圖兩種情況：

不等式的成立條件是：

(1)A=4a2-4(2-a)<0^aG(-

A>0

(2)<a<-1=>aW(-3,-2],

g(-l)>0

綜上所述a《(-3,1%

解法二：由/(x)>au>x2+2>a(2x+l)

2

令yi=x+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)

的圖象.

如圖滿足條件的直線I位于/I與/2之間，而直線1卜

L對(duì)應(yīng)的。值(即直線的斜率)分別為1，-3,

故直線/對(duì)應(yīng)的aW(-3,1).

學(xué)生鞏固練習(xí)：

1.方程sin(x--)=-x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()

44

A.2B.3C.4D.以上均不對(duì)

2.已知/(x)=(x-a)(x-與-2(其中aVb),且a、￡是方程?=0的兩根

(aV￡),則實(shí)數(shù)a、氏a、￡的大小關(guān)系為()

A.a<a<b<6B.a<a<<b

aa<a<b<D.a<a<0<b

3.(4cos0+3-2/)2+(3sin0-l+2f/,(9、f為參數(shù))的最大值是.

4.已知集合A={xI5}，B={xIf-axWx-a},當(dāng)ASB時(shí)，

則a的取值范圍是.

5.設(shè)關(guān)于x的方程siar+V^cosx+a=0在(0,")內(nèi)有相異解a、￡.

(1)求a的取值范圍；

(2)求tan(a+￡)的值.

6.設(shè)A={(x,y)Iy=ylla2-x2,a>0},8={(x,y)I(x-1)2+(y-V3)2=a2,a>

0},且AABW0,求a的最大值與最小值.

7.已知A(1,1)為橢圓二+二=1內(nèi)一點(diǎn)，尸1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓

95

上一動(dòng)點(diǎn).求IPQI+I出I的最大值和最小值.

8.把一個(gè)長、寬、高分別為25cm、20cm、5cm的長方體木盒從一個(gè)正

方形窗口穿過，那么正方形窗口的邊長至少應(yīng)為多少？

參考答案：

1.解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出獷與帕&的圖象如圖.

答案：B

2.解析：。力是方程g(x)=(x-a)(x-b)=0的兩根，在同一坐標(biāo)系中作出函

數(shù)式X)、g(x)的圖象如圖所示：

答案：A

3.解析:聯(lián)想到距離公式,兩點(diǎn)坐標(biāo)為44cosJ,3sin，),6(2L3,1-2f)

點(diǎn)A的幾何圖形是橢圓，點(diǎn)6表示直線.

考慮用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

答案:當(dāng)

4.解析：解得A={xIxN9或xW3},8={xI(x-a)(x-1)WO},畫數(shù)軸可

答案：。>3

5.解：①作出y=sin(x+-)(xe(0,”))及產(chǎn)-|的圖象，知

當(dāng)?-￡.I<i且-色力無時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

222

故呷-2,-V3)U(-73,2).

②把sin+V3cosci--a,sin￡+J^cosB=-a

相減得tan空2=把，

23

故tan（。+￡）=3.

6.解：?.?集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點(diǎn)。為圓心，血。為半徑的

半圓；集合8中的元素是以點(diǎn)。'（1,依）為圓心，。為半徑的圓.如圖所示：

???AABW。，.?.半圓。和圓。'有公共點(diǎn).

顯然當(dāng)半圓。和圓。'外切時(shí)，。最小

V2a+a=|00'I=2,tzmin=2V2-2

當(dāng)半圓。與圓。'內(nèi)切時(shí)，半圓。的半徑最大，即正a最大.

此時(shí)正。-4=|00'|=2,amax=2V2+2.

22

7.解：由三+^=1可知〃=3力=6c=2,左焦點(diǎn)品（-2,0）,右焦點(diǎn)&（2,0）.

由橢圓定義，IPFi\=2a-IPF?I=6-IP&I,

AIPF,I+I/54I=6-IPF2I+II=6+IMI-IPF2I

如圖：

由II如I-IP&IIWIA&I=J(2_1)2+(0—1)2=應(yīng)知

-42^\PA\-IPF2I<V2.

當(dāng)尸在A&延長線上的尸2處時(shí)，取右“=”號(hào)；

當(dāng)P在A&的反向延長線的Pi處時(shí)，取左“=”號(hào).

即I抬I-IP&I的最大、最小值分別為正，-V2.

于是I尸后I+I必I的最大值是6+VL最小值是6-V2.

8.解：本題實(shí)際上是求正方形窗口邊長最小值.

由于長方體各個(gè)面中寬和高所在的面的邊長最小，所以應(yīng)由這個(gè)面對(duì)稱地

穿過窗口才能使正方形窗口邊長盡量地小.

如圖：

設(shè)AE=x,BE=y,

則有AE=A"=Cf=CG=x,BE=BF=DG=DH=y

.M+X2=202卜=10立

…2,2<2*5^/2

[y+y=5y=~2~

?4〃,in6工5收25后

??AB=x+y=10,2H----=-----?

22

課前后備注:

分類討論思想

重難點(diǎn)歸納:

分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題分類、求解，要特別注意分類

必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.分類討論常見的依據(jù)是：

1.由概念內(nèi)涵分類.如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平

面的夾角等定義包含了分類.

2.由公式條件分類如等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲

線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.

3.由實(shí)際意義分類.如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)

用問題也需分類討論.

在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變

更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論.

典型題例示范講解：

例1已知｛斯｝是首項(xiàng)為2,公比為;的等比數(shù)列，S”為它的前“項(xiàng)和.

⑴用S“表示S”+1；

(2)是否存在自然數(shù)c和h使得近二￡>2成立.

命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問

題的能力.

知識(shí)依托：解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡單的分式不等

式；數(shù)列的基本性質(zhì).

錯(cuò)解分析：第2問中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，不能確定出

3

^Sk-2<c<Sk.

技巧與方法：本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型,在探討第2

問的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類討論的思想：即對(duì)雙參數(shù)

k,c輪流分類討論，從而獲得答案?

解：(1)由*=4(1-得

2n

11*

S,m=4(l—^)=5S“+2,(〃dN)

S-c。一(3-2)

(2)要使2—￡>2,只要一2-----<0

S「cc-Sk

所以臬-弓4-2)=2-亂>0,(AdN*)

,3*

故只要一S*-2VcV&,aGN.)

2

因?yàn)镾*+i>Sk，也WN*)①

所以2s?-22—Si-2=1.

22

又S&V4,故要使①成立，c只能取2或3.

當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾i=2,所以當(dāng)k=l時(shí)，CVSK不成立，從而①不成立.

QC

當(dāng)42時(shí),因?yàn)閑S,—2=±>c,由S*<S*+i也6N*)得

22

那3-2<3沁「2

22

a

故當(dāng)上與2時(shí)，-S-2>c,從而①不成立.

2k

當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾i=2,52=3,

所以當(dāng)女=1,女=2時(shí)，cVS*不成立，從而①不成立

因?yàn)槿齋3—2=—>c,又一S「2V—S-1-2

2422

a

所以當(dāng)kN3時(shí)，-S-2>c,從而①成立.

2k

綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使以二>2成立?

SL-C

例2給出定點(diǎn)A(%0)(〃>0)和直線/:1二-1,8是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，Z

BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類

型與。值的關(guān)系.

命題意圖：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí)，分類討論

的思想方法.綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)

解題的能力.

知識(shí)依托：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

的基本特點(diǎn).

錯(cuò)解分析：本題易錯(cuò)點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿

足的關(guān)系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型.

技巧與方法：精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā),

探尋動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì).

解法一：依題意，記8(-1,b),0GR),則直線0A和。8的方程分別

為>=0和y=~bx.

設(shè)點(diǎn)C(x,y),則有0Wx<a,由0c平分NAOB,知點(diǎn)C到04、0B距離

相等.

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得IyI=^=①

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

b

---(x-a)

1+。

由x-aWO,得匕=一生今

②

x-a

將②式代入①式，得>2[(1-a)jC-2ax+(l+a))2]=0

若yWO,則

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)

若)=0則b=0,NA08=萬，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)滿足上式.

綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)

(i)當(dāng)a=l時(shí)，軌跡方程化為y2=x(0Wx<l)③

此時(shí)方程③表示拋物線弧段;

(ii)當(dāng)a#l,軌跡方程化為

——+^^=l(O<x<a)④

1—a\-a~

所以當(dāng)0<a<l時(shí)，方程④表示橢圓弧段；

當(dāng)時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段.

解法二:如圖，設(shè)。是/與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE_Lx軸，E是垂足.

(i)當(dāng)I6。I#0時(shí)，

設(shè)點(diǎn)C(x,y),則OVxVa,y#0

cl〃ccz,??,ICEI-IDAIIyI、

由CEHBD,得BIBD1=----------=-----(1+a).

\EA\a-x

■:ZCOA=ZCOB=ZCOD-ZBOD=萬-ZCOA-ZBOD

：.2ZC0A=萬-ZBOD

2tanCOA

tan(2NC0A)=

1-tan2coA

tan(乃-ZBOD)--tanBOD

VtanCOA^

X

tanBOD歿二里(")

IODIa-x

2.I2I

―二=—d(l+4)整理，得

i-4"x

X

(1-〃)尤2-2ax+(l+a)y2=0(0VxV〃)

(ii)當(dāng)I8。I=0時(shí)，NBOA=n,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0),滿足上式.

綜合(i)、(ii),得點(diǎn)C的軌跡方程為

(1-a)x2~2QX+(l+a)y2=0(0WXVQ)

以下同解法一.

解法三：設(shè)C(x,y)>B(-1,/?),

h

則BO的方程為尸-加;，直線A8的方程為)，=-----(x-a)

l+a

???當(dāng)匕W0時(shí)，OC平分NAOB,設(shè)NAOC=%

???直線OC的斜率為七tan9QC的方程為y=kx于是

2tan。_2k

tan20-

l-tan2^-l-^2

又tan20=-b

〈C點(diǎn)在A8上

:.kx=———(X-6Z)②

1+。

由①、②消去b,得(1+a)kx=2k￡(%一a)③

1—k

又k=2,代入③，有

X

2.2

(1+ci)?—?x----〃)

x13

X

整理，得(a-1*-(l+a)y2+2ax=0④

當(dāng)6=0時(shí),即8點(diǎn)在x軸上時(shí),C(0,0)滿足上式:

(x--^-)22

aWl時(shí)，④式變?yōu)椤猨—+—「=1

(―)2"-

1-?1-a2

當(dāng)OVaVl時(shí)，④表示橢圓弧段；

當(dāng)時(shí)，④表示雙曲線一支的弧段;

當(dāng)4=1時(shí)，④表示拋物線弧段.

例3若函數(shù)/(x)=g(a-1)丁+；如2_卜+"在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則a

的取值為.

解析：即f(x)=(a~l)x2+tzx-；=0有解.

當(dāng)a-1=0時(shí),滿足.當(dāng)〃-1W0時(shí)，只需△=a2~(a-l)>0.

答案：主必<?〈於或M

22

例4設(shè)函數(shù)人》)=工2+Ix-oI+1,xGR.

(1)判斷函數(shù)Ax)的奇偶性；

(2)求函數(shù)/(x)的最小值.

解:(1)當(dāng)4=0時(shí)，函數(shù)/(-x)=(-犬尸+I-XI+l=^(x),

此時(shí)人幻為偶函數(shù).

當(dāng)a#0時(shí),式0=。2+1<-a)=cr+2IaI+1.f［-a)+/⑷人-a)W-f(a)

此時(shí)函數(shù)/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

1Q

(2)①當(dāng)時(shí)，函數(shù)兀￥)=%2-x+a+l=(x-—y+a+—

24

若aWg,則函數(shù)人幻在(-8,幻上單調(diào)遞減.

從而函數(shù)/W在(-8°］上的最小值為/(〃)=/+1

若。污，則函數(shù)段)在(-8,〃］上的最小值為七)=：+%

且/(J)勺⑷?

1q

②當(dāng)x2a口寸，函數(shù)+x-^+l=(x+—『-

ii3

若。W-—，則函數(shù)“X)在［。,+8］上的最小值為八-一)=二-a,

224

且/(-3)(/■);

若則函數(shù)7U）在［a,+8）單調(diào)遞增.

從而函數(shù)/（x）在［a,+8］上的最小值為Aa）="2+1.

1a

綜上，當(dāng)aW-—時(shí)，函數(shù)/（X）的最小值為士-a；

24

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/U）的最小值是Y+1；

1?.13

當(dāng)a＞］時(shí)，函數(shù)兀0的最小值是“+屋

學(xué)生鞏固練習(xí)：

1.已知lim^2"——-a-"=1其中aWR,則a的取值范圍是（）

n

52"+a

A.aVOB.aV2或aW-2

C.-2<a<2D.。<-2或。>2

2.四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不

同的取法共有（）

A.150種B.147種C.144種D.141種

3.已知線段A8在平面a外，A、B兩點(diǎn)到平面a的距離分別為1和3,

則線段A8的中點(diǎn)到平面。的距離為.

4.已知集合A={xIx1-3x+2=0},8={xIx2-ax+{a-1）=0},C={xIx2-

mx+2=0},且AUB=A,AnC=C,則a的值為—，機(jī)的取值范圍為.

5.已知集合4={xIf+px+q：。},8={xIqx2+px+l=0},A,B同時(shí)滿足：

①An8#0,②4aB={-2}.求p、q的值.

6.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)。（2,0）和圓G/+）2=1,動(dòng)點(diǎn)〃到圓。的

切線長與IMQI的比等于常數(shù)兒（兒>0）.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表

示什么曲線.

7.已知函數(shù)y=Ax）的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)

〃+1（〃=0』,2,…）時(shí)，該圖象是斜率為y的線段（其中正常數(shù)b#l）,設(shè)數(shù)列{4}

由"￥”）="5=1,2,…）定義?

（1）求XI、X2和X”的表達(dá)式；

（2）計(jì)算limX”；

（3）求/U）的表達(dá)式，并寫出其定義域.

8.已知a>0時(shí)，函數(shù)/（x）=ax-

（1）當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意xGR都有/（x）Wl,證明aW2"

（2）當(dāng)〃>1時(shí)，證明：對(duì)任意xG[0,1],"（x）IW1的充要條件是b-

々。忘2%；

(3)當(dāng)OVbWl時(shí)，討論：對(duì)任意正[0,1],I於)I<1的充要條件.

參考答案：

1.解析：分4=2、IaI>2和IaI<2三種情況分別驗(yàn)證.

答案：C

2.解析：任取4個(gè)點(diǎn)共C；0=210種取法.四點(diǎn)共面的有三類：

(1)每個(gè)面上有6個(gè)點(diǎn)，則有4XC：=60種取共面的取法；(2)相比較的

4個(gè)中點(diǎn)共3種(3)一條棱上的3點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共6種.

答案：C

3.解析：分線段A8兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.

答案：1或2

4.解析：A={l,2},B={xI(x-l)(x-l+a)=O),

由可得1-a=l或1-a=2；

由AAC=C,可知C={1}或。.

答案：2或33(-2V2,2V2)

5.解：設(shè)MeA,x()是x(r+px()+q=O的根.

若x()=0,貝1JA={-2,0},從而p=2,q=0,8={-；}.

此時(shí)ACB=0與已知矛盾，故的"0,

將方程x(^+pxo+q=O兩邊除以xo\得

1,1

4(一)2+p(—)+1=0.

/%

即—滿足B中的方程，故LGA

工0xo

VAAB={一2},則一2WA,且-2￡瓦

設(shè)4={-2兩}，則8={-±-!-},且XoW2(否則AAB=0).

2%

若%()=-L則L-2￡B,與-2e8矛盾.

2尤o

又由AC8W0,，XO=L,即XO=±1.

即A={-2,1}或4={-2,-1}.

故方程f+px+gW有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-2,1或-2,-1

.［。=-(-2+1)=1或1。=-(-2-1)=3

??q=(-2)x1=-21q=(-2)?(―1)=2

6.解：如圖，設(shè)MN切圓C于M則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P={MIIMNI

=4IMQI,4>0}.

'：ON±MN,IOA/|=1,

/.\MN\2=\MO\2~\ON\2=\M0-1

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),

貝ijylx2+y2-l=^(x-2)2+y2

即(x2-l)(x2+y2)-4A2X+(442+l)=0.

經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P,

故方程為所求的軌跡方程.

（1）當(dāng)4=1時(shí)，方程為x=9,它是垂直于x軸且與x軸相交于點(diǎn)（工，0）

44

的直線；

2不，1+3不

（2）當(dāng)時(shí)，方程化為:…+尸諼十

2

它是以(7M9,0）為圓心，今生為半徑的圓.

22-1122-11

7,解：（1）依題意/（0）=0,又由/（修）=1,當(dāng)OWyWl,函數(shù)）三/&）的圖象

是斜率為戶=1的線段，

/(X,)-/(0),

故由

%1-0

/.Xl=l

又由犬X2)=2,當(dāng)時(shí)，函數(shù)產(chǎn)/⑴的圖象是斜率為b的線段,

故由/(々)一/(占)=}

即X2-Xl=-

b

.1

??%2=1--

■b

記M)=O,由函數(shù))=/a)圖象中第〃段線段的斜率為少一，

故得/(X")T(X,I)=bn-'

zf-i

又由f(x,^)=n/[xn-i)=n-1

z,1

xn-x?1=(y),?=1,2,....

b

由此知數(shù)列｛x「xI｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為L

h

因匕W1,得x“=Zg-xi)

k=\

11Y產(chǎn)

=1+-+,,,+——7=-----——

bb"''b-\

h-

即Xn=--

0-1

I1)"'b

(2)由(1)知，當(dāng)。>1時(shí)，limx〃=Iim--------=----

〃->8”->00b—1b—1

當(dāng)0<bVl,8,x”也趨于無窮大.limx”不存在.

n—>oo

(3)由(1)知，當(dāng)OWyWl時(shí)，y=x,即當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)=x;

當(dāng)wWyW〃+l,即x”WxWx"+]由(1)可知

/(x)=〃+b"(x-為?)(〃=1,2,…)，由(2)矢口

h

當(dāng)力＞1時(shí)，yjx)的定義域?yàn)椋?,——);