福建省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

新學(xué)期高二開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)1.1-1.3．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A.13 B.11 C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋缘膶?shí)部為13．故選：A.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)B，則B的坐標(biāo)為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系定義即可求得點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)故選：B3.某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)乒乓球、羽毛球運(yùn)動(dòng)的喜愛程度，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從高一、高二、高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有45人，則樣本容量為（）A.125 B.100 C.150 D.120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例相同運(yùn)算求解.【詳解】由圖可知高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有45人，所以樣本容量為．故選：A.4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2”，則與A互斥且不對(duì)立的事件是（）．A.擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù) B.擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)C.擲出的點(diǎn)數(shù)小于2 D.擲出的點(diǎn)數(shù)小于3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知寫出對(duì)應(yīng)事件的基本事件，根據(jù)互斥、對(duì)立概念判斷各項(xiàng)與事件A的關(guān)系.【詳解】由題意，，而事件，“擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”對(duì)應(yīng)基本事件有，與A不互斥，“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”對(duì)應(yīng)基本事件有，與A不互斥，“擲出點(diǎn)數(shù)小于2”對(duì)應(yīng)基本事件有，與A互斥且不對(duì)立，“擲出點(diǎn)數(shù)小于3”對(duì)應(yīng)基本事件有，與A對(duì)立．故選：C5.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】若向量共面，利用空間向量基本定理建立方程組，方程組有解.若無解則不共面.【詳解】已知構(gòu)成空間的一個(gè)基底，不共面，則，不共線.選項(xiàng)A，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序數(shù)對(duì)，使，則，則由空間向量基本定理得，，方程組無解.所以不共面．選項(xiàng)B，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序數(shù)對(duì)，使，則，則由空間向量基本定理得，，方程組無解.所以不共面．選項(xiàng)C，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序數(shù)對(duì)，使，則，則由空間向量基本定理得，解得，，即：，所以共面．選項(xiàng)D，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序數(shù)對(duì)，使，則，則由空間向量基本定理得，，方程組無解.所以不共面．故選：C.6.已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，母線長(zhǎng)為2，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助圓臺(tái)軸截面梯形性質(zhì)求解圓臺(tái)的高，再應(yīng)用體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，所以該圓臺(tái)上底面和下底面的半徑分別為，所以該圓臺(tái)的高為，故該圓臺(tái)的體積.故選：C.7.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)公式結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為10，所以，所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．故選：B8.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系和異面直線所成角定義可知所求角，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角）；，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，，，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】利用平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求出的值，利用平面向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；求出的坐標(biāo)，利用平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在上的投影向量為，D錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知甲、乙、丙、丁四組（每組均含100個(gè)數(shù)據(jù)）數(shù)據(jù)的方差分別為6.7，8.9，3.6，5.5，關(guān)于這四組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，下列判斷正確的是（）A.乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最大 B.丙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最大C.乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最小 D.丙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最小【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析判斷【詳解】數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性越大；數(shù)據(jù)的方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性越?。?yàn)椋砸医M數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最大，丙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最?。蔬x：AD11.分別為內(nèi)角的對(duì)邊．已知，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理以及基本不等式求得正確答案.【詳解】由余弦定理得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以BCD選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BCD12.已知一個(gè)正八面體如圖所示，，則（）A.平面 B.點(diǎn)到平面的距離為1C.異面直線與所成的角為 D.四棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定、異面直線的夾角、外接球等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】將正八面體置于一個(gè)正方體中，如圖所示，該正八面體的頂點(diǎn)為正方體六個(gè)面的中心，，則正方體的邊長(zhǎng)為2，由圖可知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，A正確．連接，由圖可知，點(diǎn)到平面的距離為，B正確．由圖可知，，則直線與所成角即與所成角，因?yàn)闉檎切?，所以，C錯(cuò)誤．四棱錐外接球的球心為正方形的中心，所以外接球的半徑為1，故四棱錐外接球表面積為，D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將正八面體放到正方體中是本題的突破點(diǎn)，然后根據(jù)線面平行的判定、異面直線的夾角、外接球等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)判斷.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.截至2021年末，福建省南平市轄2個(gè)市轄區(qū)、3個(gè)縣級(jí)市、5個(gè)縣，南平市總面積為2.63萬平方公里，其中的5個(gè)縣為順昌縣、浦城縣、光澤縣、松溪縣、政和縣，它們的面積（單位：平方公里）分別為1991.95，3374.73，2232.17，1040.25，1735.01，則這5個(gè)縣的面積的分位數(shù)為________平方公里．【答案】【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合百分位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解.【詳解】將這5個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，，，，，因?yàn)?，所以這5個(gè)縣的面積的分位數(shù)為平方公里．故答案為：.14.已知復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列方程求解.【詳解】設(shè)（，），則，所以得故．故答案為：15.在空間直角坐標(biāo)系中，，若四邊形為平行四邊形，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形得出向量相等計(jì)算即可.

【詳解】，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以，故答案為：?6.已知函數(shù)，若從集合中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)的概率是________．【答案】【解析】【分析】由，得，由，得，畫出的圖象結(jié)合，且，分情況求解即可.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，的最小值為．由，得，即，因?yàn)?，所以．而，?dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，3，2；當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，2，2；當(dāng)時(shí)，方程，的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)均為2．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)，故所求概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在底面為菱形的四棱錐中，底面，為的中點(diǎn)，且，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)為正三角形，由，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的寫法，即可求解；（2）利用空間向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，可得為正三角形，因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為的方向?yàn)檩S、軸和軸建立的空間直角坐標(biāo)系，可得．【小問2詳解】解：由（1）可得，所以.18.分別為內(nèi)角的對(duì)邊，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成角的形式，化簡(jiǎn)后可求得結(jié)果，（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋裕?，又，所以．【小?詳解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）．因?yàn)椋?，所以，所以的面積．19.在如圖所示的斜三棱柱中，．（1）設(shè)，，，用表示；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量運(yùn)算的幾何表示求解；（2）根據(jù)向量模的公式及數(shù)量積運(yùn)算求解.【小問1詳解】在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，則．【小問2詳解】依題意可得，則，所以長(zhǎng)為．20.小晟統(tǒng)計(jì)了他6月份的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時(shí)間（單位：分鐘）按照，，，，，分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求a的值；（2）求通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)；（3）試估計(jì)小晟這100次通話的平均時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．【答案】（1）（2）40（3）7.28分鐘【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為列方程來求得.（2）先求得通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的頻率，從而求得通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù).（3）根據(jù)頻率分布直方圖求得平均數(shù)的求法求得正確答案.【小問1詳解】由，得．【小問2詳解】因?yàn)橥ㄔ挄r(shí)間在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)為．【小問3詳解】這100次通話的平均時(shí)間的估計(jì)值為:分鐘．21.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，假設(shè)甲、乙、丙、丁是四位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中的機(jī)會(huì)是均等的，丁每次投壺時(shí)，投中的概率為．甲、乙、丙、丁每人每次投壺是否投中相互獨(dú)立，互不影響．（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壺1次，求只有一人投中的概率；（2）甲、丁進(jìn)行投壺比賽，若甲、丁每人各投壺2次，投中次數(shù)多者獲勝，求丁獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；（2）分情況根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件公式計(jì)算即可.【小問1詳解】將甲、乙、丙、丁各自在一次投壺中投中分別記為事件，則．設(shè)只有一人投中為事件，則．【小問2詳解】若甲投中0次，則丁至少投中1次；若甲投中1次，則丁投中2次．設(shè)丁獲勝為事件，則．22.如圖，在四棱錐中，，，，，平面，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)與平面交于點(diǎn)，作出點(diǎn)（說明作法），并求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）作圖及作法見解析，【解析】【