高三數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第八章35空間幾何體的表面積及體積

【課時(shí)訓(xùn)練】空間幾何體的表面積及體積一、選擇題1．(2018石家莊調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．4＋eq\f(π,2) B．4＋eq\f(3π,2)C．4＋eq\f(5π,2) D．4＋π【答案】C【解析】由題意可知，幾何體的體積為圓柱的體積加長方體的體積再減去與長方體等高的圓柱的體積的eq\f(1,2)，即π·12·3＋2×2×1－eq\f(1,2)π·12×1＝4＋eq\f(5π,2).2．(2018大同模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，且其側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角形，則這個(gè)幾何體的體積為()A．eq\f(4＋π\(zhòng)r(3),3) B．eq\f(8＋π\(zhòng)r(3),6)C．eq\f(8＋π\(zhòng)r(3),3) D．(4＋π)eq\r(3)【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是由一個(gè)半圓錐和一個(gè)四棱錐組成的，其中半圓錐的底面半徑為1，四棱錐的底面是一個(gè)邊長為2的正方形，它們的高均為eq\r(3)，則V＝eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π＋4))·eq\r(3)＝eq\f(8＋π\(zhòng)r(3),6).故選B.3．(2018日照模擬)一個(gè)直棱柱被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．9 B．10C．11 D．12【答案】C【解析】如圖所示，根據(jù)三視圖，可知幾何體為長方體截去三棱錐A1－AED1所剩的幾何體，所以幾何體的體積V＝V長方體－V三棱錐A1－AED1＝2×2×3－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×3＝11.故選C.4．(2018東北三校聯(lián)考)已知四面體ABCD中，△ABC和△BCD都是邊長為6的正三角形，則當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其外接球的表面積是()A．60π B．30πC．20π D．15π【答案】A【解析】當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，平面ABC⊥平面BCD，設(shè)其外接球球心為O，分別取△ABC，△BCD的中心為O1，O2，則OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD，連接O2D.在Rt△OO2D中，OO2＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝eq\r(3)，O2D＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝2eq\r(3)，所以R＝OD＝eq\r(\r(3)2＋2\r(3)2)＝eq\r(15)，所以S＝4πR2＝60π.故選A.5．(2018廣東東莞一中、松山湖學(xué)校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是()A．eq\f(20,3)π B．6πC．eq\f(10,3)π D．eq\f(16,3)π【答案】C【解析】該幾何體是由半個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體，所以V＝eq\f(1,2)×π×4×1＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×4×2＝eq\f(10,3)π.故選C.6．(2018福建三明一中1月月考)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1AA．eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．2 D．1【答案】A【解析】由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，則正方形的邊長為eq\r(2).∵ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1.∴BC為截面圓的直徑．∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側(cè)面ABB1A1的面積為eq\r(2)×1＝eq\r(2).故選A.7．(2018廣西質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個(gè)幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)【答案】C【解析】由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為eq\f(1,2)，故選C.8．(2018沈陽模擬)已知四面體P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且BC＝1，PB＝AB＝2，則球O的表面積為()A．7π B．8πC．9π D．10π【答案】C【解析】依題意，記題中的球的半徑是R，可將題中的四面體補(bǔ)形成一個(gè)長方體，且該長方體的長、寬、高分別是2、1、2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9,4πR2＝9π，所以球O的表面積為9π，選C.二、填空題9．(2018合肥第二次質(zhì)量檢測)已知球O的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則球O的表面積為________．【答案】8π【解析】由題意可得，球心在軸截面正方形的中心，則外接球的半徑R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，該球的表面積為4πR2＝8π.10．(2018武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2eq\r(2)，則該球的表面積為________．【答案】25π【解析】如圖，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)榈酌孢呴L為2eq\r(2)，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝eq\f(5,2).所以球的表面積S＝4πR2＝25π.11．(2018三門峽陜州中學(xué)對抗賽)如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1，則三棱錐P－ABC體積的最大值為________．【答案】eq\f(1,3)【解析】VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，三棱錐P－ABC體積達(dá)到最大值．當(dāng)CO⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為eq\f(1,2)×2×1＝1，此時(shí)VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3).三、解答題12．(2018山東青島二模)如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1(1)該幾何體的體積．(2)截面ABC的面積．【解】(1)過點(diǎn)C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點(diǎn)A2，B由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2則該幾何體的體積V＝VA1B1C1－A2B2C＋VC－ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(22＋3－22)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2\r(2)2＋4－22)＝2eq\r(3).則S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(\r(5)2－\r(3)2)＝eq\r(6).13．(2018長春一模)如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝eq\r(3).(1)求證：DE⊥平面ADC；(2)設(shè)AC＝x，V(x)表示三棱錐B－ACE的體積，求函數(shù)V(x)的解析式及最大值．(1)【證明】∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C.∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.(2)【解】∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝eq\r(3).在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝eq\r(4－x2)(0<x<2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)x·eq\