第6節(jié)無窮小量的比較

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第六節(jié)

無窮小量的比較一、無窮小量的比較二、等價(jià)無窮小量代換引

兩個(gè)無窮小量的和、差與乘積仍是無窮小量，但是兩個(gè)無窮小量的商，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

1一、無窮小量的比較

觀察下列極限

當(dāng)x

0時(shí),3x,x2,sinx都是無窮小,

上述極限中,分子、分母都是無窮小,但不同比的極限各不相同,反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度.下面給出無窮小量比較的幾個(gè)概念.2定義1

設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,（1）若則稱

是比

高階的無窮小,（2）若（3）若記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;（4）若則稱

是

的k階無窮小.若或則稱

是

的等價(jià)無窮小,記作3例如

,當(dāng)～時(shí)～～又如

，故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～且4例1.求解:原式例2.求解:令則原式說明:當(dāng)時(shí),有5例3.

證明:當(dāng)時(shí),～證:～6常用的等價(jià)無窮?。寒?dāng)x

0時(shí)78定理1

在自變量的同一變化過程中,

,二、等價(jià)無窮小量代換.證9例4求解因?yàn)楫?dāng)

所以例5求解10例6求解故注意：等價(jià)無窮小替換忌“加減”。即對(duì)于代數(shù)和各無窮小不能分別替換。11例7.

求解:12解:

例9.求13例10.

求解

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