2020-2021學年廣西來賓市高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年廣西來賓市高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.設(shè)集合/={劃一1<%<2},B={x[l<x<3},則4nB=()

A.{x|-1<x<3}B.{x|l<%<2}

C.{x[-1<x<2}D.{x|2<x<3}

2.若m>0,n>0,點(-m,n)關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點在直線x-y+2=0上，那么'+：

的最小值等于()

A.1B.IC.[D.I

248

3.正方體的全面積為6,它的頂點都在球面上，則這個球的表面積是()

A.3兀B.47rC.6兀D.87r

4.下列有關(guān)命題的說法正確的是()

A."％=-1”是_5x-6=0"的必要不充分條件

B.若P(f>1)=p,則P(-1<f<0)=1-p

C.命題“mxeR,使得/+%+1<0”的否定是“對vxeR,均有M+x+ico”

D.命題“若x=y,則sinx=siny"的逆否命題為真命題

5.設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞增，若/(}=(),△ABC的內(nèi)角滿足

f(cosA)<0,則4的取值范圍是()

A.(建)B.(Q)

C.(05)U(|兀㈤D.G《)U(|兀㈤

D.5

2

7.8.把多項式界份-2)+就2-分解因式等于

A

-(]-2)加+笳B.[a-2)涼-冰)

C.m(a—2)(m—1)D.m(a—2)(m+1)

8.函數(shù)/(%)=(%+2>一G尸的零點所在的一個區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

9.設(shè)Q，og36,如510,c=log714f()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

10.圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，

則該幾何體的體積為().

A.8

B.8-7T

C.8-|江

D.8

II.已知在平面直角坐標系中，點P是直線心％=上一動點，定點/G，0)，點Q為p尸的中點，動

點M滿足麗?前=0,麗=20F(AeR).過點M作圓(x-3)2+y2=2的切線，切點分別為S,

T，則必?而的最小值是()

A.|B.C.D.

5933

12.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難人微，數(shù)形結(jié)\/

合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)圖象來研究函\/

數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征，已知函數(shù)f(x)的圖象*

如圖所示，則函數(shù)/(X)的解析式可能是()

Zxx

A./(%)=(4+4-)|x|B./(x)=(4、-4-)log2|x|

Xz

CJ。)=(4、+4-x)log/|D./(%)=(4+4-)log2|x|

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若兩條直線小x+2y—6=0與52x+ay+8=0平行，則匕與間的距離是.

14.正方體ABCD-&BIGDI的棱長為L則異面直線BQ與力D所成角的余弦值是，該正方

體的外接球半徑為，內(nèi)切球的體積是.

15.\og23log3Slog52=.

16.在北緯60。圈上有甲、乙兩地，它們的緯度圈上的弧長等于5R(R為地球半徑)，則甲、乙兩地間

的球面距離是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合U=R,A={%|3<%<6},B-{x[4<x<8},C-(x\x<a}.

(1)求AUB和Q4

(2)若4nC=0,求a的取值范圍.

18.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A/iCiDi中，點E是棱的中點,

點F在棱8道上，

(1)當滿足&F=2FB.在棱GC上確定一點G,使4E,G,F四點共面，

并求此時C]G的長；

(2)當點F在棱上移動時，求三棱錐F-ADE的體積.

19.如圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間(0,1)中的實數(shù)徵對應(yīng)數(shù)軸上的點M,如

圖1；將線段4B圍成一個圓，使兩端點4、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標

系中，使其圓心在y軸上，點力的坐標為(0,1),如圖3；圖3中直線4M與％軸交于點N(n,0),則?n

的象就是n,記作/(m)=

(1)求方程/(x)=0的解;

(2)下列說法正確命題的序號是(填上所有正確命題的序號)

①6)=1；

②f(x)是奇函數(shù)；

③/(x)在定義域上單調(diào)遞增;

④/(x)的圖象關(guān)于點G，0)對稱;

(3)求y=/(%)的解析式.

20.如圖(1)在直角梯形4BCD中，4BAD=90°,AB//CD,CD=4,AB=2,AD=2,E為CD中點,

現(xiàn)將△CEB沿BE折起，使得2C=4,得到如圖(2)幾何體，記線段CB的中點為F.

(1)求證：平面CE。_L平面ABED.

⑵求點F到平面4c。的距離.

21.在直角坐標系xOy中圓C的參數(shù)方程為［:為參數(shù))，以原點。為極點，工軸的非

負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為。=3(PeR).

(1)求圓C的直角坐標方程及其圓心c的直角坐標；

(2)設(shè)直線，與曲線C交于48兩點，求△ABC的面積.

底：［可

22.已知函數(shù)劇減=然樸皆吟且舞|=3■讖=1

(1)求黑做；

(2)判斷，鐮%的奇偶性；

⑶判斷部蹴在a理廁上的單調(diào)性，并證明。

參考答案及解析

1.答案：B

解析：

本題考查了兩集合的交集.屬于基礎(chǔ)題.

解：因4={x|—1<x<2},B={x|l<x<3},

可得AnB=(x|l<x<2}.

故選艮

2.答案：B

解析：解：設(shè)點(-m,n)關(guān)于直線％+y—1=0的對稱點為P(a,b).

b-n1A_1

現(xiàn):gf二0,解得

(22

,?,點(一犯九)關(guān)于直線％+y-1=0的對稱點為P(1-n,14-m)在直線x-y+2=0上，

???1—幾一(1+m)+2=0,

化為m+n=2.

又m>0,n>0,

^^)=］當且僅當巾=多寸取等號.

...l+i=l(m+n)(l+l)=|(5+^+^)>|(5+271=2

—+士的最小值為*

Tnn2

故答案為：

利用軸對稱可得點(一犯n)關(guān)于直線x+y-l=0的對稱點為P(1-n,1+m),代入直線x-y+2=

0,可得m+n=2,再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了軸對稱的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

3.答案：A

解析：解：因為正方體的全面積為6,

所以正方體的棱長為：1,正方體的對角線為：遮.

因為正方體的頂點都在球面上，所以正方體的對角線就是外接球的直徑，

所以外接球的半徑為：理.

2

外接球的表面積為：4n(y)2=37r.

故選：A.

通過正方體的表面積求出棱長，然后求出正方體的外接球的半徑，即可求解表面積.

本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，考查計算能力.

4.答案：D

解析：解：命題“若/=1,則x=l”的否命題為：“若則xri"，故A錯誤；

對于4：當"x=—1"時，—5%—6=0w成立，當—5x—6=0"時，"x=—1或x=6”,

即“x=—1”不一定成立，故=是“產(chǎn)―5x—6=0”的充分不必要條件，故4錯誤；

對于B：若P(f>l)=p,則P(-1<0)=l—p,不滿足概率的性質(zhì)，所以B不正確；

對于D：命題“若x=y,則sinx=siny"為真命題，故命題“若x=y,則siruc=siny"的逆否命

題為真命題，故。正確；

若命題p："3x0GR使福+x0+1<0”為假命題，故"為真命題，故。錯誤；

故選：D.

根據(jù)充要條件的定義可判斷4利用概率的性質(zhì)判斷B的正誤；根據(jù)命題的否定與原命題真假性相反

可判斷C的正誤；根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同可判斷以

本題以命題的真假判斷為載體，考查了四種命題，充要條件，復(fù)合命題等知識點，難度不大，屬于

基礎(chǔ)題

5.答案：D

解析：

本題考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

由/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞增，易得到函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,0)上是

單調(diào)遞增，/(-1)=0,由/(cos4)<0,進而求出4的取值范圍.

解：/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

則/(0)=0，

又?.?函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞增，/(|)=0,

故函數(shù)/(x)在區(qū)間(一8,0)上是單調(diào)遞增，/(-|)=0,

若/(cosA)<0,

1]

則cos4<或0<cosA<

又Ae(0,TT)

則g<A<]或|兀<A<n,

故選D.

6.答案：D

解析：解：取4。的中點。，連結(jié)。B、OC

??ABl￥ffiBCD,CDu平面BCO,：.ABLCD,\\

又,：BC1CD,ABCBC=B,??.CD_L平面48C,

n--An--1-----

VACu平面ABC,.?.CD1AC,\/

TOC是Rt△4DC的斜邊上的中線，OC=1AD.c

同理可得：RtAABD中，OB=^AD,

???OA=OB=OC=OD=^AD,可得2、B、C、。四點在以。為球心的球面上.

RtAABD中，48=3且3。=4,可得2D=以7+BD2=5,

由此可得球。的半徑R=lAD=|,即三棱錐A-BCD外接球的半徑為|.

故選：D

取4。的中點。，連結(jié)。B、0c.由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出4B1B。月SCJ.CO,得到△48。與4

4CD是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出。4=。8=。。=。。=：4),所以4、B、C、。四點

在以。為球心的球面上，再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)利用勾股定理算出長，即可得到三棱錐4-BCD外接

球的半徑大小.

本題已知三棱錐的底面為直角三角形，由它的外接球的半徑.著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、

勾股定理與球內(nèi)接多面體等知識，屬于中檔題.

7.答案：C

解析：m2(a—2)+m(2—d)=m2(a—2)—m(a—2)=m(a-2)(m—1).

故選C

8.答案：B

解析：解：,?"(一2)=0—C)2=—4<0,f(—l)=1—G)T=-1V0，

/(0)=23-i=^>0,/(2)=43-i>0.

又函數(shù)f(x)=(x+2)3-G尸是實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)，

所以，函數(shù)f(%)=ex-2的零點所在的一個區(qū)間是(一1,0).

故選：B.

由函數(shù)解析式/(%)=(久+2)3-(：尸，分別求出/(一2),/(-I),/(0),門1)和f(2)的值，根據(jù)所求

各值的符號可判斷出連續(xù)函數(shù)/(x)=(x+2尸—G尸的零點所在的一個區(qū)間.

本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，連續(xù)函數(shù)若滿足f(a)"(b)<0,則函數(shù)

/(x)在(a,b)上一定存在零點.是基礎(chǔ)題.

9.答案:D

解析：解：因a=1g36=1+1og32,bogl=+log52,c=g71=1+log72,

因為=/og2x是增函數(shù),Lo27>lg25>log,

以a>b>c,

所以20g32>Iog2lo2,

故。.

用log(xy)=/ogx+ogax、y>0),簡a,b,c然比較1og32,Iog5lo7大小即可.

本題主要考查不等式不等關(guān)系對數(shù)函數(shù)的調(diào)性的應(yīng)用，不式的基本質(zhì)的應(yīng)，屬題.

10.答案：。

解析：解：根據(jù)幾何體的三視圖知，

該幾何體是棱長為2的正方體，挖去半個圓錐體，

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為

32

V=2--2x-3X7txlx32=8--.

故選：D.

根據(jù)幾何體的三視圖知：該幾何體是棱長為2的正方體，挖去半個圓錐體,

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積即可.

本題考查了幾何體三視圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

11.答案：A

解析：解：如圖，設(shè)P(/m),

???飛,0)，點Q為PF的中點，???Q(0,》

再設(shè)M(x0,y0),

???麗=(一:一%0，加一%)，OF=(1,0),

由M戶=4OF,得(一1一—y0)=(｝九0)，即

(4-0

(m-y0=0

?1■M(-j-m),

則MQ=C+/,_￡),PF—(1,—m).

再由而?前=0，得2+^2+弓=0,即一［一^4=9,

則M在拋物線y2=2x±,

設(shè)以(3,0)為圓心，以r為半徑的圓為(％-37+y2=r2；

聯(lián)立以二1+y2=產(chǎn)Wx2-4x+9-r2=0.

由A=(-4)2—4(9一72)=0,解得"=5.

???r=V5-

則拋物線y2=2x上的點M到圓心距離的最小值為迷，切線長的最小值為次,

且sin/SMC=旦COSNSMT=1-2s譏24sMe=1--=-.

<555

.?.市?而的最小值為I市I?I而I?COSNSM7=HX百x[=|.

故選：A.

由題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求得M在拋物線必=2x上，則問題轉(zhuǎn)化為過拋物線上一點，作圓

（X—3）2+y2=2的切線，切點分別為S,T,求亦?祈的最小值，然后求出滿足條件的點M,代入

平面向量數(shù)量積求解.

本題考查了圓的切線方程，考查/平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，綜合性較強,

是難題.

12.答案：D

解析：解：函數(shù)定義域為{x|x羊0},排除4

函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，排除B,

C選項中，當0<x<l時，/（X）>0,不滿足條件.排除C,

故選：D.

根據(jù)函數(shù)圖象特點，結(jié)合奇偶性，定義域，取值范圍，利用排除法進行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，定義域以及特殊值法，利用排除法是解

決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

13.答案：2星

解析：解：:,直線kx+2y-6=0與％：2x+ay+8=0平行，

="*V,解得a=4,

2a8

???直線，2的方程為：2x+4y+8=0,即x+2y+4=0,

??.k與％間的距離為5翳=2V5,

故答案為：2b.

先求出兩直線平行求出a的值，再利用兩平行線間的距離公式即可求解.

本題主要考查了兩直線平行的位置關(guān)系，考查了兩平行線間的距離公式，是基礎(chǔ)題.

14.答案：更；夜；I

326

解析：解：?:BC〃B[Ci，

“BDi（或其補角）為異面直線BO】與AD所成角

vBC=a,BD1=y/3a,BC1CDX,

?.cosz_CB￡）i=

正方體的對角線長為百，二該正方體的外接球半徑為立，

2

內(nèi)切球的體積是我X?）3=也

故答案為：立，立，7.

326

利用平移法得出4CBO】（或其補角）為異面直線3D1與4。所成角，進而可求異面直線BD】與4。所成角

的余弦值；求出正方體的對角線長，可得正方體的外接球半徑；利用體積公式求內(nèi)切球的體積.

本題考查異面直線所成角，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：1

解析：解：原式=捐嗡嗡=1,

故答案為1.

利用對數(shù)的換底公式即可得出.

本題考查了對數(shù)的換底公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：arccosf-R

8

解析：解：北緯60。圈的半徑是r=[R,

北緯60。圈上甲、乙兩地的緯度圓上的弧長等于l=gR,

則甲、乙兩地在北緯60。圈的圓心角N4CB=差=今(1)

所以甲、乙兩地的距離是48=g」/?=漁R；

22

設(shè)甲、乙兩地的球心角為a=Z-A0B,

則c.sa=a巴鴕=3其中ae(0,兀)；

2XRXR8

所以a=arccos-；

8

所以甲、乙兩地間的球面距離為乙=arccos。R.

8

故答案為：arccos|-R.

O

根據(jù)題意求出北緯60。圈的半徑r與地球半徑R的關(guān)系，

計算甲、乙兩地在北緯60。圈的圓心角，再求甲、乙兩地的球心角，

從而求出甲、乙兩地間的球面距離.

本題考查了球面距離及其計算問題，也考查了空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

17.答案：解：(1)?.?集合4={x|3WxV6},B={x|4<x<8},

???AUB=A={x|3<%<6]U{x|4<%<8}={x|3<%<8},

CuA=(x\x<3或%>6}；

(2)由4={x|3<%<6},C={x\x<a},

又4AC=0,

???a>6.

二滿足4nC=0的a的取值范圍是［6,+8).

解析：(1)直接利用交、并、補集的運算進行求解；

(2)由4rle=。，說明集合4與集合C沒有公共元素，所以集合C的端點值應(yīng)大于等于集合A的右端點

值.

本題考查了交、并、補集的混合運算，考查了利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值問題，解答此題的關(guān)

鍵是對集合端點值的取舍，是基礎(chǔ)題.

18.答案：(1)解:取GC的中點H,連結(jié)則

在平面BBiGC中，過點F作FG〃BH,貝ijFG〃/IE.

連結(jié)EG,則4,E,G,F四點共面.

因為=：。傳=：a,HG==1a,

所以GG=GC-CH-HG=-a.

故當GG=/a時，A,E,G,F四點共面.

o

(2)解：?.?在棱長為a的正方體4BCD—4B1C也中，點E是棱的中點,

???SAADE=gx4。xDE=x=#，

又???BBi〃平面4DE,且SB1到平面ADE的距離為a,點F在棱SB上移動,

二點尸到平面4DE的距離h=a,

VF-ADE=^S—DE'll=3X~Xa=12,

解析：⑴取C1C的中點H,連結(jié)BH,在平面BB1GC中，過點尸作FG〃BH,則FG〃人E.連結(jié)EG,則力,

E,G,尸四點共面.由此能求出當QG=：a時，A,E,G,F四點共面.

O

(2)由已知得SA4DE=：x4DxDE=Tax：a=；a2,點F到平面ADE的距離/i=a,由此能求出三棱

錐F—ADE的體積.

本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，

以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

19.答案：③④

解析：解:如圖，(1)方程/(x)=0,即N(0,0),M在A的正下方，

即有4M的弧長為土即巾=去解得％

(2)因為M在以(1,1-#為圓心，套為半徑的圓上運

動，

對于①當軻.M的坐標為(一5,1一盤)，直線

4M方程y=%+1,

所以點N的坐標為(一1,0),故/(》=—1,即①錯.

對于②，因為實數(shù)m所在區(qū)間(0,1)不關(guān)于原點對稱,

所以不存在奇偶性.故②錯.

對于③，當實數(shù)m越來越大時，

如圖直線4M與x軸的交點N(&0)也越來越往右，

即n也越來越大，所以/(%)在定義域上單調(diào)遞增，即③對.

對于④當實數(shù)巾=：時，對應(yīng)的點在點4的正下方,

此時點N(0,0),所以/(}=0,

再由圖形可知/(%)的圖象關(guān)于點G，0)對稱，即④對.

故答案為：：；(3)(4).

借助于圖形來看四個選項，先利用/(；)=-1,判斷出①錯；

在有實數(shù)加所在區(qū)間(0,1)不關(guān)于原點對稱，知②錯；

從圖形上可得在定義域上單調(diào)遞增，③對；

先找到〃》=0,再利用圖形判斷④對

本題考查了在新定義的條件下解決函數(shù)問題，是一道很好的題.關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定

義，并會用定義來解題

20.答案：(1)證明：由條件可知BA=DE,BA"DE,^BAD=90°,AB=AD,

???四邊形ABED為正方形，

BE1EC,BE1ED,ECCED=E,EC,EDu平面。EC,

BE_L平面。EC.

又BEu平面ABED,

所以平面CED_L平面ABED.

F

O

(I)D

(2)解：vAD//BE,BE_L平面DEC,.-.AD1平面DEC,

又DCu平面DEC,；.AD1DC,

■.Z-ADC=90°,CD=2V3，

:.乙CED=120°,ACED為等腰三角形.

過點E作EM1CD,

M為CD中點nME=1,二ME1CD,

???ADL平面