2022年北京門頭溝高三一模數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京門頭溝高三一模數(shù)學(xué)202231．本試卷共6頁，共3道大題，21個(gè)小題．滿分分．考試時(shí)間分鐘．考生須知2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校和姓名，并將考試編號填寫（或條形碼粘貼）在答題卡相應(yīng)位置處．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．選擇題、作圖題用鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結(jié)束，將試卷、答題卡和草稿紙一并交回．第一部分（選擇題共分）一、選擇題（本大題共個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）（1）已知集合A=2,3,，B={xx，則A2（A）（）（D）(?（）（2）復(fù)數(shù)z=(1+對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的（A）第一象限（）第三象限（）第二象限（D）第四象限（3）函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)y=log2x的圖像關(guān)于y軸對稱，則f(=1（A）2（）2（）4（D）1（4）若點(diǎn)M為圓C:x（A）x?y?2=0（）x?y=02+y2?4x0的弦=的中點(diǎn)，則直線的方程是（）x+y?2=0（D）x+y=0（5）已知拋物線y2=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過其焦點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且AB=10，則中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（A）2（）5（）3（D）61（6）已知a=log32，b=20.1，c=，則3（A）cab（）cba（）acb（D）abc（7）角,的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對稱是“?)=1”的（A）充分不必要條件（）必要不充分條件（）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）已知D是邊長為2的正△ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AD的取值范圍是（A）[3,4]（）[0,2]（）[3,2]（D）[2,4]x22y22（9）已知雙曲線C:?=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，過F作圓x2+y2=a的切線，交雙曲線右2121abπ支于M，若F=，則C的漸近線方程為124（A）y=3x（）y=2x（）y=2x（D）y=5x（10）新型冠狀病毒肺炎（COVID?19）嚴(yán)重影響了人類正常的經(jīng)濟(jì)與社會(huì)發(fā)展．我國政府對此給予了高度重視，采取了各種防范與控制措施，舉國上下團(tuán)結(jié)一心，疫情得到了有效控制．人類與病毒的斗爭將是長期的，有必要研究它們的傳播規(guī)律，做到有效預(yù)防與控制，防患于未然．已知某地區(qū)爆發(fā)某種傳染病，當(dāng)?shù)匦l(wèi)生部門于4月202500日起開始監(jiān)控每日感染人數(shù)，若該傳染病在當(dāng)?shù)氐膫鞑ツＰ蜑閕t)=（i(t)表示自4月20日開始t（單位：1+9e?0.2t天）時(shí)刻累計(jì)感染人數(shù)，i(t)的導(dǎo)數(shù)it)表示t時(shí)刻的新增病例數(shù)，ln92.1972），根據(jù)該模型推測該地區(qū)新增病例數(shù)達(dá)到頂峰的日期所在的時(shí)間段為（A）4月30日~5月2日（）5月6日~5月8日B）5月3日~5月5日D）5月9日~5月11日第二部分（非選擇題共二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分．）（11(2x2?5的展開式中，的系數(shù)為x4．（用數(shù)字作答）（12）下表記錄了某地區(qū)一年之內(nèi)的月降水量.月份123456789101112月降水量/mm584853465656517156536466根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)表，該地區(qū)月降水量的中位數(shù)是；80%分位數(shù)是2π．（13△ABC中，AC=2，AB=23，C=，則B=；D為BC的中點(diǎn)，則的長為．3（14）請舉出一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)且公差不為0的等差數(shù)列a}，使得它的前n項(xiàng)和S滿足：nn數(shù)列{S}也是等差數(shù)列，則a=．nnπ（15）如圖，已知四棱錐P的底面是邊長為2的菱形，且?==，⊥，，F(xiàn)，3O分別是PA，的中點(diǎn)，E是線段PB上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；⊥②；=5③直線PO與底面ABCD所成角的正弦值為；56④△AEC面積的取值范圍是[,15].2其中所有正確結(jié)論的序號是．PFEDCOAB三、解答題（本大題共6小題，滿分分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明．）（16）（本小題滿分πππ2π已知函數(shù)f(x)=x+)0,|)，x=是函數(shù)f(x)的對稱軸，且f(x)在區(qū)間(,)上單調(diào)．6326（Ⅰ）從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得f(x)的解析式存在，并求出其解析式；1條件①：函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,)；2π條件②：(,0)是f(x)的對稱中心；35π條件③：(,0)是f(x)的對稱中心.12注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅰ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．π（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中確定的f(x)，求函數(shù)y=f(x)(x的值域．2（17）（本小題滿分第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日在北京、張家口盛大開幕．為保障本屆冬奧會(huì)順利運(yùn)行，共招募約2.7萬人參與賽會(huì)志愿服務(wù)．賽會(huì)共設(shè)對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)、競賽運(yùn)行服務(wù)、媒體運(yùn)行與轉(zhuǎn)播服務(wù)、場館運(yùn)行服務(wù)、市場開發(fā)服務(wù)、人力資源服務(wù)、技術(shù)運(yùn)行服務(wù)、文化展示服務(wù)、賽會(huì)綜合服務(wù)、安保服務(wù)、交通服務(wù)、其他共12類志愿服務(wù)．（Ⅰ）甲、乙兩名志愿者被隨機(jī)分配到不同類志愿服務(wù)中，每人只參加一類志愿服務(wù)．已知甲被分配到對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)，求乙被分配到場館運(yùn)行服務(wù)的概率是多少？1（Ⅱ）已知來自某中學(xué)的每名志愿者被分配到文化展示服務(wù)類的概率是，設(shè)來自該中學(xué)的2名志愿者被分配到文化展示服務(wù)類的人數(shù)為，求的分布列與期望．（Ⅲ）2.7萬名志愿者中，18?35歲人群占比達(dá)到95%，為了解志愿者對某一活動(dòng)方案是否支持，通過分層抽樣獲得如下數(shù)據(jù)：18?35歲人群支持其它人群支持不支持不支持方案90人5人1人4人假設(shè)所有志愿者對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．將志愿者支持方案的概率估計(jì)值記為p，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估計(jì)值記為p，試比較p與p的0101大?。ńY(jié)論不要求證明）（18）（本小題滿分如圖，在正三棱柱ABCABC中，?AB=AA1=2，111D，P分別是BC，1的中點(diǎn)．（Ⅰ）在側(cè)棱BB上作出點(diǎn)F，滿足//平面P，并給出證明；11（Ⅱ）求二面角B?AP?C的余弦值及點(diǎn)B到平面ABP的距離．111C1A1B1PCADB（19）（本小題滿分已知f(x)=ksinx+2x．（Ⅰ）當(dāng)k2時(shí)，判斷函數(shù)=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；π（Ⅱ）求證:?sinx+2xln(x+(x；2π（Ⅲf(x)ln(x+在x)恒成立,求k的最小值．2（20）（本小題滿分x22y223已知橢圓C：+=1(ab0)的離心率為，長軸的右端點(diǎn)為(2,0)．a(chǎn)b2（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直線l:y=+m與橢圓C分別相交于M,N兩點(diǎn)，且AM⊥AN，點(diǎn)A不在直線l上，（i）試證明直線l過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；8（ii）從點(diǎn)A作AD⊥MN垂足為D，點(diǎn)B(,2)，寫出||的最小值（結(jié)論不要求證明）．5（21）（本小題滿分素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)，是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)．早在2000多年前，歐幾里德就在《幾何原本》中證明了素?cái)?shù)是無限的．在這之后，數(shù)學(xué)家們不斷地探索素?cái)?shù)的規(guī)律與性質(zhì)，并取得了顯著成果．中國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“1+2”，即表達(dá)偶數(shù)為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和，成為了哥德“”巴赫猜想研究上的里程碑，在國際數(shù)學(xué)界引起了轟動(dòng)．如何篩選出素?cái)?shù)、判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)，是古老的、基本的，但至今仍受到人們重視的問題．最早的素?cái)?shù)篩選法由古希臘的數(shù)學(xué)家提出．1934年，一名印度數(shù)學(xué)家發(fā)明了一種素?cái)?shù)篩選法，他構(gòu)造了一個(gè)數(shù)表A，具體構(gòu)造的方法如下：A中位于第i行第j列的數(shù)記為a，首項(xiàng)為i1且公差為2i1的等差數(shù)列的第項(xiàng)恰好為a，其中i=++j；ijijj=．請同學(xué)們閱讀以上材料，回答下列問題：（Ⅰ）求53；（Ⅱ）證明：a=a；ijji（Ⅲ）證明：①若s在A中，則2s+1不是素?cái)?shù)；②若s不在A中，則2s+1是素?cái)?shù)．參考答案一、選擇題（本大題共個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）（1）解：C；（2）解：B；z=3+i(?3,1)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限（3）解：D；法一：由題意可知，y21，f(2)=1==2法二：由題意可得：f(x)(x)，=?f(2)=12（4）解：C；由題意可知，kMC=?1kAB=1x?y=0（5）解：B；設(shè)(x,y)，B(x,y)，M(x,y)，由拋物線定義得：x2+1=?4=6，x=311221213（6）解：A；b=20.120=132=a3==cC333（7）解：C；由題意得：?=2+πkZ)，?)=π=?1，反之，若?)=1，則?=2π，角,的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對稱（8）解：D；法一：由數(shù)量積的幾何意義可知，取值范圍是[2,4]DAB法二：坐標(biāo)法可得同樣結(jié)論．M法三：用幾何運(yùn)算也可以得到同樣結(jié)論yB（9）y=5xA解：B；由題意得：|FB|b，=|BM=2a，|=22a，2F1OF2x1由雙曲線定義得：b+2a?22a=2ab=2a4500e0.2t?450025001+9e?0.2t（10）解：A；it)=，求導(dǎo)得：i(t)==)2，根據(jù)基本不等式得：+9e?0.2t1?0.2t+18+e?0.2tt=ln9t，選A二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分25分．）（11）解：?40；由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式得：r15=r25?r(rx102r?102r=4r=3?（12）解：5664；數(shù)據(jù)按從小到大排序得：46，，，，，56，，，，，它的中位數(shù)為56；80%12=9.6，第個(gè)數(shù)是64Cπ（13）解：由正弦定理得：B=；D6AB由余弦定理得：=7．（14）解：開放性問題，n=2n?1，等AC⊥BD（15）解：①④；得：AC⊥平面，②不正確；PBD①正確；計(jì)算可得PO=5CF=22AC⊥PD255由線面角定義知，POD就是直線PO與底面ABCD所成的角，sinPOD=③不正確；12由AC⊥平面PBD得，AC⊥OE，SACE==3，=5，當(dāng)PB⊥OE時(shí)最小，2=④正確．2三、解答題（本大題共6小題，滿分分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明．）πππ2π（16）解：（Ⅰ）由題意得：+=+，kZ，在區(qū)間(,)上單調(diào)，63T2πππ≥?=≤2．6223621ππ若選①：sin==，=6k+2，得=2，符合題意，得：f(x)=sin(2x+)．2665πππ若選③：法一：+=π，mZ，可得=(m?k)π?，即=4(m?k)?2，1242ππ可得=2，則=，符合題意，得：f(x)=sin(2x+).66T5πππππ法二：若直接解出=?==2，符合題意，則=，符合題意，得：f(x)=sin(2x+)．4126466ππππ7π1（Ⅱ）由（）得f(x)=sin(2x+)，0≤x≤≤2x+，?≤f(x)≤1，≤626662π1所以函數(shù)y=f(x)(x的值域?yàn)閇?．22（17）解：（Ⅰ）在甲分配到對外聯(lián)絡(luò)服務(wù)的條件下，乙被分配到場館運(yùn)行服務(wù)這一事件為B，1P(B)=11（Ⅱ）01，2181111811P=0)=?)2=；P==C21?)=；P=2)=C22(2)=10100101010010100012P81181100100100115=2=（）1p010（18）解：（Ⅰ1的中點(diǎn)為E，的中點(diǎn)為F，則EC//BP，DF//EC，則DF//BP，C1A111B1DF平面ABP，//平面P．11（ⅡO是邊AC的中點(diǎn)，Z是AC的中點(diǎn)，11PC則OZ⊥平面ABC，△ABC為正三角形，EFADB所以，OB⊥AC，OB，OC，OZ兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系O?XYZ．ZC1A1則(0,0)，1(3,，P，=，B1=(2)，設(shè)平面P的法向量為n=(x,y,z)，111PC2y+z=0則1=(2)，+y+2z=0OA平面C的法向量為n=0)，12DB6n,n，124|n||n|126所以二面角BAP1的余弦值為??．14|=(0,2)，設(shè)點(diǎn)B到平面P的距離為d，則d=2．11|1|（19）解：（Ⅰk2時(shí)，=f(x)=2cosx+2≥，0f(x)=2sinx+2x單調(diào)遞增，f(0)=0，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=0；1x+1=??0增，g(x)g(0)=0．g(x)（Ⅱg(x)2xsinxln(xg(x)2x=??+（Ⅲ）解法一：當(dāng)k≥1時(shí)，由（?Ⅱf(x)?sinx+2xln(x+，恒成立．1x+11當(dāng)k?1時(shí)，設(shè)h(x)=f(x)?ln(x+h(x)=2+kx?h(x)=?ksinx+0．(x+2π1=+10，h()=?0由零點(diǎn)定理，h(x)0，所以=h(x)增，h(0)k2π021+2h(x)在(0,x)上減，h(x)h(0)=0不恒成立，所以k的最小值為?1．001x+1解法二：設(shè)h(x)f(x)ln(xh(x)=?+=+2kcosx?．1x+1ππ①當(dāng)k≥1時(shí)，h(x)kx?=+2?0，h(x)在)增，h(x)h(0)=0，f(x)ln(x+在x)恒成22立．1x+11②當(dāng)k?1時(shí)，設(shè)h(x)=f(x)?ln(x+h(x)=2+kx?h(x)=?ksinx+0．(x+2π1=+10，h()=?0由零點(diǎn)定理，h(x)0，所以=h(x)增，h(0)k2π021+2h(x)在(0,x)上減，h(x)h(0)=0不恒成立，所以k的最小值為?1．0（20）解：（Ⅰ）（Ⅱ）0c3x2=，a=2，得b=1，C的方程：+y=12a24y=+m（i）設(shè)M(x,y)，N(x,y)x2(4k2+x2