湖南省邵陽市杉木橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省邵陽市杉木橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且，連接AC，MN交于P點(diǎn)，若，則λ的值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D試題分析：因?yàn)椋?，所以，而三點(diǎn)共線，，，，故選D.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的共線的性質(zhì)、向量運(yùn)算的平行四邊形法則，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答(這種方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題你，更加直觀)．本題的解答主要根據(jù)向量運(yùn)算的平行四邊形法則解答的.2.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”.其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C

本題是一道新定義題，主要考查考生閱讀能力以及提取信息轉(zhuǎn)化與化歸能力。②錯(cuò)誤，因?yàn)?；①②③正確，故選C3.設(shè)是的重心，分別是角的對邊，若,則角（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D4.已知集合，則集合A∪B=（

）A.(－2,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(－2,+∞)參考答案：D【分析】根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求兩個(gè)集合的并集，屬于基礎(chǔ)題.5.已知集合，，則A∩B=（

）A． B．{0,1,2} C． D．{1,2}參考答案：A∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故選：A．

6.已知是虛數(shù)單位，則（

） A．

B．

C． D．參考答案：B7.已知函數(shù)，則的最小值等于A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知，，則tanθ=（）A．﹣2 B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號，求得tanθ的值．【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，則tanθ==﹣，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．9.下列命題中是假命題的是

（

）

A．，使是冪函數(shù)，且在上遞減

B．

C．;

D．都不是偶函數(shù)

參考答案：D10.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)若對任意給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，從而求得a的取值范圍．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．，當(dāng)時(shí)，f′（x）=0，f（x）在處取得最小值，由題意知，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，所以，解得，所以對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足條件且f（e）≥1因?yàn)閒（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得綜上所述，a的取值范圍是．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：

現(xiàn)在加密密鑰為，如上所示，明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文“6”。若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文為

；參考答案：14略12.已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，則對任意的正實(shí)數(shù)，的最小值是

參考答案：13.每年的三月十二號是植樹節(jié)，某學(xué)校組織高中個(gè)學(xué)生及其父母以家庭為單位參加“種一棵小樹，綠一方凈土”的義務(wù)植樹活動(dòng)．活動(dòng)將個(gè)家庭分成兩組，組負(fù)責(zé)種植棵銀杏樹苗，組負(fù)責(zé)種植棵紫薇樹苗．根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)，每個(gè)家庭種植一棵銀杏樹苗用時(shí)，種植一棵紫薇樹苗用時(shí).假定兩組同時(shí)開始種植,若使植樹活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短，則組的家庭數(shù)為

，此時(shí)活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間為

．參考答案：【知識點(diǎn)】函數(shù)模型及其應(yīng)用【試題解析】因?yàn)橛梢阎?，?/p>

所以，

故答案為：14.已知f（x）=alnx+，若對于?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞4，則a的取值范圍是

．參考答案：（4，+∞）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】解法一，假設(shè)x1＜x2，把＞4化為f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣4x，利用g（x）的導(dǎo)數(shù)g'（x）＞0，求出a的取值范圍．解法二：根據(jù)題意，得出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＞4，求出a的取值范圍．【解答】解：解法一，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵＞4，f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣4x，∴g（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴g'（x）=f′（x）﹣4=﹣4＞0；即+x﹣4＞0；∴a＞（4﹣x）x，設(shè)函數(shù)t=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，∴a＞4；∴a的取值范圍是（4，+∞）．解法二：根據(jù)題意，f（x）=alnx+，其中x＞0，∴f′（x）=+x=＞4，∴a+x2＞4x，即a＞4x﹣x2=4﹣（x﹣2）2；∵4﹣（x﹣2）2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，取“=”，∴a＞4；∴a的取值范圍是（4，+∞）．故答案為：（4，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念以及不等式恒成立問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，化為f′（x）＞4，從而使問題得以解答．15.設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域，對于區(qū)域D內(nèi)除原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，則的最大值是_______，的取值范圍是___.參考答案：，畫出可行域如圖所示令，，當(dāng)直線過點(diǎn)是有最大值，聯(lián)立，得，代入；第二空：解法一、由圖可知，令，則，，當(dāng)時(shí)，有最小值，代入得，故的取值范圍為.解法二、

如圖當(dāng)點(diǎn)在與平行的直線：上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為（負(fù)）定值，故對每一個(gè)，這道當(dāng)落在與的交點(diǎn)時(shí)，與原點(diǎn)的距離最小，從而取得最小值；當(dāng)變化時(shí)，與的交點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，故=，為常數(shù)，綜上知道，的最小值在線段上取到，最小值為，而最大值在線段上取到，最大值為0，故取值范圍為.解法三：注意到所求為一次齊次式，可以考慮分子分母同除以，當(dāng)時(shí)，得到；當(dāng)時(shí)，得到，這里為原點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，容易得到，從而上述的取值范圍為；當(dāng)是，得到這里為原點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，容易得到，從而上述的取值范圍為；綜上所述，知道取值范圍為.解法四：設(shè)，令，，由在可行域內(nèi)，，故.16.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

。參考答案：答案:

17.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為

．參考答案：16【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件表示的可行域，判斷目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的位置，求出最大值．【解答】解：作出約束條件不等式組的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在的交點(diǎn)A（5，6）處取最大值為z=2×5+6=16．故答案為：16．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的頂點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)，|AB|=|AC|，且BC的中點(diǎn)在y軸上．（Ⅰ）求C點(diǎn)的軌跡Γ的方程；（Ⅱ）已知過P（0，﹣2）的直線l交軌跡Γ于不同兩點(diǎn)M，N，求證：Q（1，2）與M，N兩點(diǎn)連線QM，QN的斜率之積為定值．參考答案：【考點(diǎn)】J3：軌跡方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求C點(diǎn)的軌跡Γ的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx﹣2，與拋物線方程聯(lián)立，求出斜率，即可證明結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y）（y≠0），因?yàn)锽在x軸上且BC中點(diǎn)在y軸上，所以B（﹣x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x﹣1）2+y2，化簡得y2=4x，所以C點(diǎn)的軌跡Γ的方程為y2=4x（y≠0）．（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得ky2﹣4y﹣8=0，所以，，，同理，，所以Q（1，2）與M，N兩點(diǎn)連線的斜率之積為定值4．19.已知二次函數(shù)+的圖象通過原點(diǎn)，對稱軸為，．是的導(dǎo)函數(shù)，且．（1）求的表達(dá)式（含有字母）；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，說明理由．參考答案：試題解析：（1）由已知，可得，，

∴解之得，

4分（2）

=

8分（3）

9分

（1）

（2）（1）—（2）得：

…11分=，即，當(dāng)時(shí)，

…12分，使得當(dāng)時(shí)，恒成立

13分略20.已知不等式|x+|＜的解集為A，關(guān)于x的不等式（）2x＞π﹣a﹣x（a∈R）的解集為B，全集U=R，求使?UA∩B=B的實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】綜合題；集合思想；定義法；集合．【分析】首先根據(jù)絕對值不等式，求出集合A；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出集合B，化簡B，根據(jù)A∩B=A?A?B，求出a的取值范圍【解答】解：由x+|＜解得﹣2＜x＜1，則A=（﹣2，1），∴?UA=（﹣∞．﹣2]∪[1，+∞），由（）2x＞π﹣a﹣x，得2x＜a+x，解得x＜a，∴B=（﹣∞，a），∵?UA∩B=B，∴B??UA，∴a≤2，即a的取值范圍為（﹣∞，﹣2]【點(diǎn)評】本題主要考查集合的包含關(guān)系及判斷，考查絕對值不等式和指數(shù)不等式的解法，考查基本的運(yùn)算能力，是一道中檔題．21..如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B，C分別在A的正東方20km和54km處。某時(shí)刻，監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波，8s后監(jiān)測點(diǎn)A、20s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號。在當(dāng)時(shí)的氣象條件下，聲波在水中傳播速度是.（1）設(shè)A到P的距離為xkm，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；（2）求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離。參考答案：（1)PA－PB＝x－PB＝，。同理，

（2）作，垂足為D，在中，答：靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為略22.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，過A1、B、C1三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1，E、F分別為A1B、BC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能證明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABCD的一個(gè)法向量和平面A1BC1的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：∵在△A1BC1中，E、F分別為A1B、BC1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（Ⅱ）解：以D為坐