四川省德陽市龍居中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

四川省德陽市龍居中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中錯誤的個數(shù)為：（）①y=的圖象關(guān)于（0，0）對稱；②y=x3+x+1的圖象關(guān)于（0，1）對稱；③y=的圖象關(guān)于直線x=0對稱；④y=sinx+cosx的圖象關(guān)于直線x=對稱．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷，①③，根據(jù)對稱的定義判斷②，根據(jù)三角函數(shù)的圖象判斷④【解答】解：①y=，f（﹣x）=+=+=﹣=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），∴函數(shù)為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于（0，0）對稱，故正確②y=x3+x+1的圖象關(guān)于（0，1）對稱；由題意設(shè)對稱中心的坐標(biāo)為（a，b），則有2b=f（a+x）+f（a﹣x）對任意x均成立，代入函數(shù)解析式得，2b=（a+x）3+3（a+x）+1+（a﹣x）3+3（a﹣x）+1對任意x均成立，∴a=0，b=1即對稱中心（0，1），故正確③y=的圖象關(guān)于直線x=0對稱，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)關(guān)于y軸（x=0）對稱，故正確，④y=sinx+cosx=sin（x+）的圖象關(guān)于直線x+=對稱，即x=對稱，故正確．故選：A2.點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，設(shè)△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，則=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】延長OC到D，使OD=4OC，延長CO交AB與E，由已知得O為△DABC重心，E為AB中點(diǎn)，推導(dǎo)出S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，由此能求出結(jié)果．【解答】解：延長OC到D，使OD=4OC，延長CO交AB與E，∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，∴=，∴O為△DABC重心，E為AB中點(diǎn)，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，∴=．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查兩個三角形面積比值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量、三角形重心等知識的合理運(yùn)用．3.設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1、b2、b3滿足順時針旋轉(zhuǎn)30°后與bi同向，其中i=1，2，3，則

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D4.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9，S5=30，則a2+a4=(

) A．7 B．9 C．12 D．39參考答案：C考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得a1和公差d的方程組，解方程組可得．解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則若S3=3a1+d=9，S5=5a1+d=30，解得a1=0，d=3，∴a2+a4=2a1+4d=12故選：C點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題．5.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積（）

A．πB．2

C．（2）πD．（2）參考答案：B【考點(diǎn)】：由三視圖求面積、體積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是上、下部為共底面的圓錐體的組合體，從而求出它的表面積．解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是上、下部為共底面的圓錐體的組合體；該圓錐的底面半徑為1，高為1；∴該幾何體的表面積為S=2×π?1?=2π．故選：B．【點(diǎn)評】：本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6.若函數(shù)f（x）=sin2xcos+cos2xsin（x∈R），其中為實(shí)常數(shù)，且f（x）≤f（）對任意實(shí)數(shù)R恒成立，記p=f（），q=f（），r=f（），則p、q、r的大小關(guān)系是（

）A．r<p<q

B．q<r<p

C．p<q<r

D．q<p<r參考答案：C試題分析：,當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，函數(shù)的最小正周期,根據(jù)周期和對稱性知,,,位于函數(shù)的增區(qū)間，所以,故選C.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.比較大小.7.設(shè)全集U＝R，A＝{}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|x>0}

B．{x|x<－1}C．{x|－3<x<0}

D．{x|－3<x<－1}參考答案：D8.在等比數(shù)列中，則（

）

A.

B.3

C.2

D.參考答案：C略9.設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ex＋a·e－x的導(dǎo)函數(shù)是，且是奇函數(shù)．若曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．ln2

B．－ln2

C.

D.

參考答案：A略10.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的圖象如圖所示，若f（x0）=3，x0∈（，），則sinx0的值為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，求出函數(shù)的解析式．再由f（x0）=3求出sin（x0+）的值，可得cos（x0+）的值，再由兩角差的正弦公式求得sinx0=sin[（x0+）﹣]的值．【解答】解：由函數(shù)的圖象可得A=5，且=，解得ω=1再由五點(diǎn)法作圖可得1?+φ=，解得φ=．故函數(shù)的解析式為f（x）=5sin（x+）．再由f（x0）=3，x0∈（，），可得

5sin（1?x0+）=3，解得sin（x0+）=，故有cos（x0+）=﹣，sinx0=sin[（x0+）﹣]=sin（x0+）cos﹣cos（x0+）sin=﹣（﹣）=．故選A．【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+?）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，給出下列命題：

（1）；

（2）若在[0,上有最小值-1，則在上有最大值1；

（3）若在[1,上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)；其中正確的序號是：

．參考答案：⑴⑵12.已知函數(shù)，若存在，使得.則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________.參考答案：

(－2,0)13.若實(shí)數(shù)滿足則的最大值是

．參考答案：1滿足題中約束條件的可行域如圖所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函數(shù)在y軸上的截距的最大值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線平行移動到點(diǎn)A（0，1）時，截距最大，此時tmax=2，因此zmax=log22=1.故答案為：1．

14.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”．“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線C的漸近線方程為，一個焦點(diǎn)為．直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為_____．參考答案：由題意可得雙曲線的方程為，在第一象限內(nèi)與漸近線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與雙曲線第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，記與軸交于點(diǎn)，因?yàn)椋鶕?jù)祖暅原理，可得旋轉(zhuǎn)體的體積為．15.的內(nèi)角的對邊長分別為，若，且，則__________參考答案：3略16.對于函數(shù)定義域中任意的（），有如下結(jié)論：

①；②；③>0；④.當(dāng)時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是

參考答案：②③17.已知函數(shù)，且

，那么__________.參考答案：-26三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）若,求的最大值和最小值.參考答案：解析：（Ⅰ）解：

=.

…4分

因此的最小正周期為.由,得

,

故的單調(diào)遞減區(qū)間為.

……………8分

(Ⅱ)當(dāng)時,,

則的最大值為3,最小值為0.

……………13分19.（本小題滿分12分）設(shè)同時滿足條件：①；②(，是與無關(guān)的常數(shù))的無窮數(shù)列叫“特界”數(shù)列.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，求；（2）判斷（1）中的數(shù)列是否為“特界”數(shù)列，并說明理由。參考答案：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

則，

……2分

解得a1=8，d=-2

……4分

∴

……6分

（2）由

得，故數(shù)列適合條件①

……………9分

而，則當(dāng)或時，有最大值20

即，故數(shù)列適合條件②．

綜上，故數(shù)列是“特界”數(shù)列.

………12分略20.(本小題滿分13分)已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若，且關(guān)于x的方程在上恰有兩個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足，

求證：.參考答案：（（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析.試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由在時恒成立，得到在時恒成立，確定得到取最小值，即得所求.（Ⅱ）已知條件等價于方程在上有兩個不同的實(shí)根，設(shè)，求得，時，，時，，通過確定，由，得即得.（Ⅲ）先證：當(dāng)時，.令，可證時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，時.證得.用以上結(jié)論，由可得.進(jìn)一步得到從而當(dāng)時，，…，相乘得.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

……………2分依題意在時恒成立，則在時恒成立，當(dāng)時，取最小值，.

…………4分（Ⅱ）已知條件等價于方程在上有兩個不同的實(shí)根，設(shè)，，時，，時，， …………6分由，得則

……………8分（Ⅲ）先證：當(dāng)時，.令，可證時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，時.所以時，.

……………9分用以上結(jié)論，由可得.，故

……10分所以當(dāng)時，，…，相乘得.

………12分又故，即.

……………13分考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、證明不等式；2.數(shù)列的通項(xiàng)；3.不等式恒成立問題.21.某市調(diào)研機(jī)構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入（單位：百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)5c

1055頻率0.1ab0.20.10.1贊成人數(shù)4812531（Ⅰ）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）若從收入（單位：百元）在[55，65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求選中的2人至少有1人不贊成“樓市限購令”的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）由于所抽調(diào)的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，可得到b的值，再由頻率之和為1，即可得到a的值，進(jìn)而得到c的值，根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，即可得到頻率分布直方圖；（Ⅱ）設(shè)月收入在55，65的5人編號，列出任取2人共10種結(jié)果，含有不贊成的共7種情況，根據(jù)古典概型的公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（I）由頻率分布表得0.1+a+b+0.2+0.1+0.1=1，即a+b=0.5．因?yàn)樗檎{(diào)的50名市民中，收入（單位：百元）在[35，45）的有15名，所以，所以a=0.2，c=0.2×50=10，所以a=0.2，b=0.3，c=10，且頻率分布直方圖如下：（II）設(shè)收入（單位：百元）在[55，65）的被調(diào)查者中贊成的分別是A1，A2，A3，不贊成的分別是B1，B2，事件M：選中的2人中至少有1人不贊成“樓市限購令”，則從收入（單位：百元