四川省資陽市弘普中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

四川省資陽市弘普中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線x+y=9過可行域內(nèi)的點(diǎn)A時，從而得到m值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=x+y，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過直線x+y=9與直線2x﹣y﹣3=0的交點(diǎn)A（4，5）時，z最大，將m等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入x﹣my+1=0得m=1，故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．2.若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函數(shù)，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要的條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】函數(shù)思想；定義法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡易邏輯．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若θ=+2kπ，則y=cos（ωx+θ）=cos（ωx++2kπ）=﹣sinωx為奇函數(shù)，即充分性成立，若y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函數(shù)，則θ=+kπ，k∈Z，則θ=+2kπ，k∈Z不一定成立，即p是q的充分不必要條件，故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3.函數(shù)在其定義域內(nèi)(

)A.是增函數(shù)又是偶函數(shù)

B.是增函數(shù)又是奇函數(shù)C.是減函數(shù)又是偶函數(shù)

D.是減函數(shù)又是奇函數(shù)參考答案：B因?yàn)閒故f(x)是奇函數(shù).又可見f(x)是增函數(shù),所以應(yīng)選B.

4.函數(shù)的圖像可能是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】分析四個圖像的不同，從而判斷函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解?！驹斀狻慨?dāng)時，，故排除D；由于函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏线B續(xù)，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案為A?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題。5.為三角形的內(nèi)角，則的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案：A略6.設(shè)、是非零向量，的圖象是一條直線，則必有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)，若的垂直平分線與軸的交點(diǎn)是，則的最大值為

（

）A.2

B.4

C.10

D.6參考答案：D8.已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，且滿足2A，5B，2C成等差數(shù)列，則tanB的值為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，即可得出．【解答】解：由已知得2A+2C=10B，∴A+C=5B=π﹣B，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，則整數(shù)對(a，b)的個數(shù)為A．20

B．25

C．30

D．42

參考答案：C解：5x－a≤0Tx≤；6x－b＞0Tx＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，則，即所以數(shù)對(a，b)共有C61C51＝30個．10.若命題p：，，命題q：，.則下列命題中是真命題的是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先判斷命題p和q的真假，再判斷選項(xiàng)得解.【詳解】對于命題p,,所以命題p是假命題，所以是真命題；對于命題q,，,是真命題.所以真命題.故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，若,則等于

.參考答案：答案:412.已知函數(shù)，若___________.參考答案：13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

．參考答案：答案：（3，+∞）14.從名男生和名女生中選人，分別從事項(xiàng)不同的工作，若這人中至少有名女生，則選派方案共有

種。（用數(shù)字作答）參考答案：15.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為1，則輸入x的值為_______.參考答案：-1執(zhí)行此程序框圖可知，當(dāng)時，，此時方程無解；當(dāng)時，，解得，所以輸入的值為.16.已知等比數(shù)列{的公比大于1，若向量

，，滿足,則_____________參考答案：略17.已知數(shù)列{an}滿足an≠0，a1=，an﹣1﹣an=2an﹣1?an（n≥2，n∈N*），則an=

；a1a2+a2a3+…+anan+1=

．參考答案：，．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】通過對an﹣1﹣an=2an﹣1?an（n≥2，n∈N*）變形可知﹣=2，進(jìn)而可知數(shù)列{}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，從而可知an=，進(jìn)而裂項(xiàng)可知anan+1=（﹣），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．【解答】解：∵an﹣1﹣an=2an﹣1?an（n≥2，n∈N*），∴﹣=2，又∵=3，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，∴=3+2（n﹣1）=2n+1，an=，又∵anan+1==（﹣），∴a1a2+a2a3+…+anan+1=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=，故答案為：，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（Ⅰ）證明：當(dāng)x＞1時，2lnx＜x﹣；（Ⅱ）若不等式對任意的正實(shí)數(shù)t恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：．參考答案：【考點(diǎn)】R6：不等式的證明．【分析】（Ⅰ）令函數(shù)，定義域是{x∈R|x＞1}，求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，運(yùn)用單調(diào)性即可得證；（Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式可化為（*）問題轉(zhuǎn)化為（*）式對任意的正實(shí)數(shù)t恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)0＜a≤2時，當(dāng)a＞2時，求出單調(diào)性，判斷不等式是否成立，即可得到；（Ⅲ）要證，即證，由（Ⅱ）的結(jié)論令a=2，有對t＞0恒成立，取可得不等式成立，變形整理即可得證．【解答】（Ⅰ）證明：令函數(shù)，定義域是{x∈R|x＞1}，由，可知函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＞1時，，即．（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化為…（*）問題轉(zhuǎn)化為（*）式對任意的正實(shí)數(shù)t恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，（1）當(dāng)0＜a≤2時，由t＞0，a（a﹣2）≤0，則g'（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（t）＞g（0）=0，即不等式對任意的正實(shí)數(shù)t恒成立．（2）當(dāng)a＞2時，a（a﹣2）＞0因此t∈（0，a（a﹣2）），g'（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；t∈（a（a﹣2），+∞），g'（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，故，由a＞2，即a﹣1＞1，令x=a﹣1＞1，由（Ⅰ）可知，不合題意．綜上可得，正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2]．（Ⅲ）證明：要證，即證，由（Ⅱ）的結(jié)論令a=2，有對t＞0恒成立，取可得不等式成立，綜上，不等式成立．19.（本題滿分12分）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中點(diǎn)。

（1）求證：B1C//平面A1BD；

（2）求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；

（3）求二面角A—A1B—D的余弦值。

參考答案：解：(1)證明：連交于點(diǎn)，連.則是的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴∵平面，平面，∴∥平面.…4分(3)法一：設(shè),∵,∴,且，作，連∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.…12分解法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，∴，，，設(shè)平面的法向量是，則由，取設(shè)平面的法向量是，則由，取記二面角的大小是，則，即二面角的余弦值是.…………12分20.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）當(dāng)a=2，時，求b、c的值；（2）若角A為銳角，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a(chǎn)=2，時，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由題意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．當(dāng)時，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；②當(dāng)最小時，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】第（1）問中，由正三角形底邊與高的關(guān)系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程組求得a2，b2；第（2）問中，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線PQ的方程，利用兩點(diǎn)間距離公式及弦長公式將表示出來，由取最小值時的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)T的坐標(biāo)．【解答】解：（1）依題意有解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．（2）設(shè)T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為N（x0，y0），①證明：由F（﹣2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2，則PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，從而，即，則直線ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率，得t=m．從而，即kOT=kON，所以O(shè)，N，T三點(diǎn)共線，從而OT平分線段PQ，故得證．②由兩點(diǎn)間距離公式得，由弦長公式得==，所以，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)x2=2時，取“=”號），所以當(dāng)最小時，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此時點(diǎn)T的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．22.（13分）已知橢圓C：+y2=1，圓O：x2+y2=4上一點(diǎn)A（0，2）．（Ⅰ）過點(diǎn)A作兩條直線l1、l2都與橢圓C相切，求直線l1、l2的方程并判斷其位置關(guān)系；（Ⅱ）有同學(xué)經(jīng)過探究后認(rèn)為：過圓O上任間一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線l1、l2，則直線l1、l2始終相互垂直，請問這位同學(xué)的觀點(diǎn)正確嗎？證明你的結(jié)論．參考答案：（Ⅰ）設(shè)切線方程為y=kx+2，代入橢圓方程并化簡，得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，由于直線與橢圓相切，∴△=144k2﹣36（1+3k2）=0，解得k1=1，k2=﹣1，∴兩切線方程分別為y=x+2，或y=﹣x+2，∵k1k2=﹣1，∴l(xiāng)1⊥l2．（Ⅱ）這位同學(xué)的觀點(diǎn)正確，即直線l1、l2始終相互垂直．證明如下：（i）當(dāng)過點(diǎn)P與橢圓C：相切的一條切線的斜率不存在時，此時切線方程為x=，∵點(diǎn)P在圓O：x2+y2=4上，則P（±3，±1），∴直線y=±1恰好為過點(diǎn)P與橢圓相切