【中考沖刺】2020中考數(shù)學(xué)專題總復(fù)習(xí)：專題一-規(guī)律探究型問題

【中考沖刺】2020中考數(shù)學(xué)專題總復(fù)習(xí)：專題一規(guī)律探究型問題專題概述命題探究專題訓(xùn)練總綱目錄所謂的規(guī)律探究型問題是指根據(jù)已知條件所提供的若干特例,通過觀察、類

比、歸納,發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性的問題.一般地,規(guī)律探究型

問題主要有以下兩種:數(shù)式類規(guī)律探究問題、圖形類規(guī)律探究問題.專題概述規(guī)律探究型問題

【備考策略】泰安市中考題一般在第24題或選擇題中比較靠后的位置進(jìn)行考

查,屬于高頻考點(diǎn).考查時(shí)常結(jié)合數(shù)式規(guī)律、圖形變換、坐標(biāo)變化、圖形包含關(guān)

系等知識(shí)進(jìn)行綜合命題,給復(fù)習(xí)掌握造成了困難.找變化關(guān)系式時(shí),抓“變”與“不變”:一是找出數(shù)式中“變”與“不變”的部分;二是分析出“變”的規(guī)律

即數(shù)式的個(gè)數(shù)之間存在的規(guī)律,特別注意字母n和序數(shù)之間的關(guān)系.類型一

數(shù)式類規(guī)律探究問題類型二

圖形類規(guī)律探究問題命題探究類型一

數(shù)式類規(guī)律探究問題解答數(shù)式類規(guī)律探究問題時(shí)有一定的規(guī)律可循.從不同的角度,采用不同的

方法猜想或探索出其中蘊(yùn)含的數(shù)式規(guī)律,并將其進(jìn)行分類歸納或整體歸納,但得

出的規(guī)律要具有一般性,不能只適合于部分?jǐn)?shù)據(jù).命題點(diǎn)一

數(shù)字的變化規(guī)律例1

觀察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,則3+32+33

+34+…+32013的末位數(shù)字是

()A.0

B.1

C.3

D.7C解析由31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…觀察可得這組數(shù)字的

末位數(shù)字每4個(gè)一循環(huán),且每個(gè)循環(huán)組內(nèi)的4個(gè)數(shù)相加所得和的末位數(shù)字為0.∵2013÷4=503……1,∴3+32+33+34+…+32013的末位數(shù)字相當(dāng)于這組數(shù)字的第一個(gè)數(shù)的末位數(shù)字,即3.故選C.變式1-1

(2019安順)如圖,將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列,例如位于第3

行、第4列的數(shù)是12,則位于第45行、第7列的數(shù)是

2019

.解析觀察圖表可知:第n行第一個(gè)數(shù)是n2,∴第45行第一個(gè)數(shù)是2025,∴第45

行、第7列的數(shù)是2025-6=2019.命題點(diǎn)二

數(shù)式的變化規(guī)律例2

(2018濱州)觀察下列各式:

=1+

,

=1+

,

=1+

,……請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計(jì)算

+

+

+…+

,其結(jié)果為

.解析由題意,可得原式=1+

+1+

+1+

+…+1+

=9+

1-

+

-

+

-

+…+

-

=9+

=

.變式2-1

(2019棗莊)觀察下列各式:

=1+

=1+

,

=1+

=1+

,

=1+

=1+

,……請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計(jì)算

+

+

+…+

,其結(jié)果為2018解析原式=1+

+1+

+…+1+

=2018+1-

+

-

+

-

+…+

-

=2018

.方法技巧解答此類問題常用的解題方法有以下兩種:(1)合情推理:從簡(jiǎn)單(或特殊)的情形入手,通過研究簡(jiǎn)單(或特殊)問題中存在的

變化關(guān)系,猜測(cè)、歸納復(fù)雜(或一般)情形下存在的規(guī)律.(2)抓“變”與“不變”:把蘊(yùn)含的規(guī)律用含有序數(shù)的式子表示出來.類型二

圖形類規(guī)律探究問題根據(jù)點(diǎn)或圖形的個(gè)數(shù),確定圖中哪些部分發(fā)生了變化,變化的規(guī)律是什么,

通過分析找到各部分的變化規(guī)律后,用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是解答

此類問題的關(guān)鍵.解答圖形類規(guī)律探究問題的步驟:第一步:要標(biāo)序數(shù),按圖號(hào)標(biāo)序;第二步:找關(guān)系,找后一個(gè)圖與前一個(gè)圖中所求量之間的關(guān)系(一般是通過作差

或作商的形式觀察是否含有定量)或找出圖中的所求量與序數(shù)之間的關(guān)系;第三步:算結(jié)果,計(jì)算每個(gè)圖中所求量的個(gè)數(shù);第四步:找規(guī)律,對(duì)求出的結(jié)果進(jìn)行一定的變形,使其呈現(xiàn)一定的規(guī)律;第五步:歸納,歸納結(jié)果與序數(shù)之間的關(guān)系,即可得到第n個(gè)圖中所求量的個(gè)數(shù);第六步:驗(yàn)證.另外,可以考慮應(yīng)用函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行解答.命題點(diǎn)一

點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律例3

(2019東營(yíng))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=

x和y=-

x的圖象分別為直線l1,l2,過l1上的點(diǎn)A1

1,

作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作y軸的垂線交l1于點(diǎn)A3,過點(diǎn)A3作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A4,……,依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為

-31009

.解析由題意,可得A1

,A2(1,-

),A3(-3,-

),A4(-3,3

),A5(9,3

),A6(9,-9

),…,可得

的橫坐標(biāo)為(-3)n.∵2019=2×1009+1,∴點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為(-3)1009=-31009.

變式3-1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x+2交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)A1,點(diǎn)A

2,A3,…在直線l上,點(diǎn)B1,B2,B3,…在x軸的正半軸上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…

依次均為等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)都在x軸上,則第n個(gè)等腰直角三角形An

Bn的頂點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為

2n+1-2

.

解析由題意,得OA=OA1=2,∴OB1=OA1=2,B1B2=B1A2=4,B2B3=B2A3=8,…,∴B1(2,0),B2(6,0),B3(14,0),…,2=22-2,6=23-2,14=24-2,…,∴Bn的橫坐標(biāo)為2n+1-2.命題點(diǎn)二

圖形變化規(guī)律例4

(2019棗莊)如圖,小正方形是按一定規(guī)律擺放的,下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片,

適合填補(bǔ)圖中空白處的是

()

AD

B

C

D解析由題意,知原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10,符合此要求的只有

故選D.變式4-1下列每一幅都是由白色小正方形和黑色小正方形組成.

…n=1

n=2

n=3(1)第10幅圖中有

100

個(gè)白色正方形,

40

個(gè)黑色正方形;(2)第n個(gè)圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個(gè)數(shù)總和等于

n2+4n

.(用n

表示,n是正整數(shù))解析第1個(gè)圖形:白色正方形1個(gè),黑色正方形4×1=4個(gè),共有1+4=5個(gè);第2個(gè)圖

形:白色正方形22=4,黑色正方形4×2=8個(gè),共有4+8=12個(gè);第3個(gè)圖形:白色正方形

32=9個(gè),黑色正方形4×3=12個(gè),共有9+12=21個(gè);…,第n個(gè)正方形白色正方形n2個(gè),

黑色正方形4n個(gè),共有(n2+4n)個(gè).方法技巧對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的,然

后通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.一、選擇題專題訓(xùn)練1.下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的,其中圖形①中一共

有3個(gè)菱形,圖形②中一共有7個(gè)菱形,圖形③中一共有13個(gè)菱形,…,按此規(guī)律排

列下去,圖形⑨中菱形的個(gè)數(shù)為

()

A.73

B.81

C.91

D.109C解析圖形①中有(12+2)個(gè)菱形,圖形②中有(22+3)個(gè)菱形,圖形③中有(32+4)個(gè)

菱形,…,圖形⑨中有(92+10)個(gè)菱形,92+10=81+10=91.故選C.2.下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的:第1個(gè)

第2個(gè)第3個(gè)

第4個(gè)………

…根據(jù)此規(guī)律確定x的值為

()A.135

B.170

C.209

D.252C……解析依據(jù)題中的規(guī)律,可得

解得

故選C.3.(2019云南)按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式:x3,-x5,x7,-x9,x11,…,第n個(gè)單項(xiàng)式是

()A.(-1)n-1x2n-1

B.(-1)nx2n-1C.(-1)n-1x2n+1

D.(-1)nx2n+1

C解析∵x3=(-1

,-x5=(-1

,x7=(-1

,-x9=(-1

,x11=(-1

,…,由上,可知第n個(gè)單項(xiàng)式是(-1

.故選C.4.(2019濟(jì)寧)已知有理數(shù)a≠1,我們把

稱為a的差倒數(shù),如:2的差倒數(shù)是

=-1,-1的差倒數(shù)是

=

.如果a1=-2,a2是a1的差倒數(shù),a3是a2的差倒數(shù),a4是a3的差倒數(shù),…,依此類推,那么a1+a2+…+a100的值是

()A.-7.5

B.7.5

C.5.5

D.-5.5A解析∵a1=-2,∴a2=

=

,a3=

=

,a4=

=-2,……,∴這個(gè)數(shù)列以-2,

,

依次循環(huán),且-2+

+

=-

,∵100÷3=33……1,∴a1+a2+…+a100=33×

-2=-

=-7.5.故選A.5.(2019菏澤)在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是:從原點(diǎn)O出

發(fā),按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng),每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)

度,其移動(dòng)路線如圖所示,第一次移動(dòng)到點(diǎn)A1,第二次移動(dòng)到點(diǎn)A2,…,第n次移動(dòng)到

點(diǎn)An,則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是

()

A.(1010,0)

B.(1010,1)C.(1009,0)

D.(1009,1)C解析

A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),A5(2,1),A6(3,1),…,2019÷4=504……3,所以A2019的坐標(biāo)為(504×2+1,0),則A2019的坐標(biāo)是(1009,0).故選C.二、填空題6.某廣場(chǎng)用同一種如圖所示的地磚拼圖案,第一次拼成如圖1所示的圖案,第二

次拼成如圖2所示的圖案,第三次拼成如圖3所示的圖案,第四次拼成如圖4所示

的圖案,…,按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第n次拼成的圖案共用地磚

2n2+2n

塊.

解析第一次拼成如題圖1所示的圖案共用4塊地磚,4=2×(1×2);第二次拼成如

題圖2所示的圖案共用12塊地磚,12=2×(2×3);第三次拼成如題圖3所示的圖案共

用24塊地磚,24=2×(3×4);第四次拼成如題圖4所示的圖案共用40塊地磚,40=2×(4

×5);…,第n次拼成的圖案共用2n(n+1)=(2n2+2n)塊地磚.7.如圖,自左至右,第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三角形組成;第

2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、11個(gè)正方形和10個(gè)等邊三角形組成;第3個(gè)圖由3個(gè)正六

邊形、16個(gè)正方形和14個(gè)等邊三角形組成;…,按照此規(guī)律,第n個(gè)圖中正方形和

等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為

9n+3

.

解析由題圖及數(shù)字規(guī)律可知,第n個(gè)圖中正方形的個(gè)數(shù)為5n+1,等邊三角形的

個(gè)數(shù)為4n+2,所以其和為5n+1+4n+2=9n+3.8.(2019濱州)觀察下列一組數(shù):a1=

,a2=

,a3=

,a4=

,a5=

,…它們是按一定規(guī)律排列的,請(qǐng)利用其中規(guī)律,寫出第n個(gè)數(shù)an=

.(用含n

的式子表示)解析觀察分母,3,5,9,17,33,…,可知規(guī)律為2n+1,觀察分子,1,3,6,10,15,…,可知規(guī)

律為

,∴an=

=

.9.(2019聊城)數(shù)軸上O,A兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),按以下規(guī)律跳動(dòng):第

1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處,第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處,第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)

到A2O的中點(diǎn)A3處,按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4,A5,A6,…,An(n≥3,n是整數(shù))

處,那么線段AnA的長(zhǎng)度為

4-

(n≥3,n是整數(shù)).

解析由于OA=4,所以第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處時(shí),OA1=

OA=

×4=2,同理第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處,OA2=

×4,同理:跳動(dòng)n次后,OAn=

×4=

,故線段AnA的長(zhǎng)度為4-

(n≥3,n是整數(shù)).10.(2019濰坊)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原

點(diǎn)O,它們的半徑分別為1,2,3,…,按照“加1”依次遞增;一組平行線l0,l1,l2,l3,…都

與x軸垂直,相鄰兩直線的間距為1,其中l(wèi)0與y軸重合.若半徑為2的圓與l1在第一象

限內(nèi)交于點(diǎn)P1,半徑為3的圓與l2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P2,…,半徑為n+1的圓與ln在

第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Pn,則點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為

(n,

)

.(n為正整數(shù))

第10題圖解析連接OP1,OP2,OP3,l1,l2,l3與x軸分別交于A1,A2,A3,如圖所示.在Rt△OA1P1中,

OA1=1,OP1=2,∴A1P1=

=

=

,同理:A2P2=

=

,A3P3=

=

,…,∴P1的坐標(biāo)為(1,

),P2的坐標(biāo)為(2,

),P3的坐標(biāo)為(3,

),…,按照此規(guī)律可得點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是(n,

),即(n,

).

11.(2018孝感)我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形,我們稱之為“楊

輝三角”,從圖中取一列數(shù):1,3,6,10,…,記a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,那么a1+a11-2a10

+10的值是

-33

.

解析

∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,∴依據(jù)此規(guī)律可得an=

.∴a10=55,a11=66,∴a1+a11-2a10+10=1+66-2×55+10=-33.12.(2018成都)已知a>0,S1=

,S2=-S1-1,S3=

,S4=-S3-1,S5=

,……

即當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),Sn=

;當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí),Sn=-Sn-1-1

,按此規(guī)律,S2018=

-

.(用含a的代數(shù)式表示)解析

S1=

,S2=-

-1=-

,S3=-

,S4=-

,S5=-(a+1),S6=a,S7=

,….∵2018÷6=336……2,∴S2018=S2=-

.13.(2019淄博)如圖,在以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片ABC中,將B角折

起,使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D(不與點(diǎn)A,C重合)處,折痕是EF.

如圖1,當(dāng)CD=

AC時(shí),tanα1=

;如圖2,當(dāng)CD=

AC時(shí),tanα2=

;如圖3,當(dāng)CD=

AC時(shí),tanα3=

;……依此類推,當(dāng)CD=

AC(n為正整數(shù))時(shí),tanαn=

.解析觀察可知,正切值的分子是3,5,7,9,…,2n+1,分母與勾股數(shù)有關(guān)系,分別是

勾股數(shù)3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;2n+1,

,

中的中間一個(gè).∴tanαn=

=

.14.在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1,如圖所示,依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,……,正方形AnBnCn

,使得點(diǎn)A1,A2,A3,…在直線l上,點(diǎn)C1,C2,C3,…在y軸正半軸上,則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是

(2n-1,2n-1)

.

解析∵y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1,∴A1(1,0).∵四邊形A1B1C1O是正方形,∴B1(1,1).∵C1A2∥x軸,∴A2(2,1).∵四邊形A2B2C2C1是正方形,∴B2(2,3).∵C2A3∥x軸,∴A3(4,

3).∵四邊形A3B3C3C2是正方形,∴B3(4,7).∵B1(20,21-1),B2(21,22-1),B3(22,23-1),…,∴Bn(2n-1,2n-1).15.(2019德州)如圖,點(diǎn)A1,A3,A5…在反比例函數(shù)y=

(x>0)的圖象上,點(diǎn)A2,A4,A6…在反比例函數(shù)y=-

(x>0)的圖象上,∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°,且OA1=2,則An(n為正整數(shù))的縱坐標(biāo)為

(-1)n+1

(

-

)

.(用含n的式子表示)

解析如圖,過點(diǎn)A1作A1D1⊥x軸于點(diǎn)D1,∵OA1=2,∠OA1A2=∠α=60°,∴△OA1E是

等邊三角形,∴A1(1,

),∴k=

,∴y=

和y=-

,過點(diǎn)A2作A2D2⊥x軸于點(diǎn)D2,∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°,∴△A2EF是等邊三角形.設(shè)A2

,則A2D2=

.在Rt△EA2D2中,∠EA2D2=30°,∴ED2=

,∵OD2=2+

=x,解得x1=1-

(舍去),x2=1+

,∴EF=

=

=

=2(

-1)=2

-2,A2D2=

=

=

(

-1),即A2的縱坐標(biāo)為-

(

-1);過點(diǎn)A3作A3D3⊥x軸于點(diǎn)D3,同理可得:△A3FG是等邊三角形,設(shè)A3

,則A3D3=

,在Rt△FA3D3中,∠FA3D3=30°,∴FD3=

,∵OD3=2+2

-2+

=x,解得x1=

-

(舍去),x2=

+,∴GF=

=

=2(

-

)=2

-2

,A3D3=

=

=

(

-

),即A3的縱坐標(biāo)為

(

-

);…,∴An(n為正整數(shù))的縱坐標(biāo)為(-1

·

(

-

).

三、解答題16.(2018泰安模擬)觀察以下等式:第1個(gè)等式:

+

+

×

=1,第2個(gè)等式:

+

+

×

=1,第3個(gè)等式:

+

+

×

=1,第4個(gè)等式:

+

+

×

=1,第5個(gè)等式:

+

+

×

=1,……按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個(gè)等式:

;(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的等式表示),并證明.解析(1)

+

+

×

=1.(2)猜想:

+

+

·

=1.證明:左邊=

+

+

·

=

=

=1,右邊=1,∴左邊=右邊,∴原等式成立.∴第n個(gè)等式為

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=1.17.(2019常州)【閱讀】數(shù)學(xué)中,常對(duì)同一個(gè)量(圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等)用兩種不

同的方法計(jì)算,從而建立相等關(guān)系,我們把這一思想稱為“算兩次”.“算兩

次”也稱為富比尼原理,是一種重要的數(shù)學(xué)思想.【理解】(1)如圖1,兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b,c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三

角形拼成一個(gè)梯形.用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積,并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)