第19章 矩形、菱形與正方形 數(shù)學華師大版八年級下冊自我評估（二）及答案

第19章矩形、菱形與正方形自我評估（二）（本試卷滿分100分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AC=6，則OB的長為（）A．2 B．4 C．3 D．6圖1圖2圖3圖42.如圖2，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點的坐標分別是（0，0），（0，6），點C在第一象限，則點C的坐標是（）A.（6，3） B.（3，6）C.（0，6）D.（6，6）3.下列四邊形不一定是菱形的是（）A．四條邊都相等的四邊形 B．一組鄰邊相等的平行四邊形 C．對角線互相垂直的平行四邊形 D．對角線相等的平行四邊形4.如圖3，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，P為邊BC上一點，若BP=OB，則∠COP的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°5.如圖4，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC=6，BD=8，EF為過點O的一條直線，則圖中陰影部分的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．126.下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線相等；②它是一個正方形；③它是一個矩形.下列推理過程錯誤的是（）A.由①推出② B.由③推出① C.由②推出③ D.由②推出①7.（2020年連云港）如圖5，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點A落在對角線BD上的A'處.若∠DBC=24°，則∠A'EB等于（）A.66° B.60°C.57° D.48°圖5圖6圖7圖88.如圖6，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且點O是BD的中點，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，則AC的長為（）A.6 B.8C.3 D.49.如圖7．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P為斜邊AB上一動點．過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，連結(jié)EF.則線段EF的最小值為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.810.如圖8，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點E從點D向C以每秒1個單位的速度運動，以AE為一邊在AE的右側(cè)作正方形AEFG.同時垂直于CD所在直線的MN也從點C向D以每秒2個單位的速度運動，當直線MN和正方形AEFG開始有公共點時，經(jīng)過的時間是（）A．2s B．2.5s C．3s D．3.5s二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.已知菱形的周長為24，則它的邊長是__________.12.如圖9，在□ABCD中，AC與BD相交于點O，AB=AD，要使四邊形ABCD為正方形，可添加一個條件為_________________．圖9圖10圖11圖1213.為了檢查平行四邊形書架的側(cè)邊是否與上、下邊都垂直，工人師傅用一根繩子比較了其對角線的長度，若二者長度相等，則該書架的側(cè)邊與上、下邊都垂直，請你說出其中的數(shù)學原理_____________________．14.如圖10，正方形ABCD的邊長為3cm，∠ABE=15°，且AB=AE，則DE的長是__________cm.15.如圖11，已知矩形ABCD，延長邊BC到點E，連接DE，DB平分∠ADE.若BC=2，AB=4，則DE=__________.16.如圖12，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.若BF⊥CD，AD=5cm，AF=18cm，四邊形ABCF的周長為__________cm.三．解答題（本大題共7小題，共52分）17.（5分）如圖13，□ABCD的對角線交于點O，且AB=13，AC=24，BD=10.求證：四邊形ABCD是菱形.圖1318.（6分）如圖14，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點（點G與B，C不重合），AE⊥DG于點E，CF⊥DG于點F.求證：AE=DF.圖1419.（6分）如圖15，在菱形ABCD中，點E在BC上，且AE=AD，∠EAD=2∠BAE，求∠BAE的度數(shù).圖1520.（8分）如圖16，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC.（1）求證：四邊形OCED是正方形；（2）若AC=，求點E到邊AB的距離.圖1621.（8分）如圖17，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和CD的延長線交于點M，N，與邊AD交于點E，垂足為O.（1）求證：△AOM≌△CON；（2）連接CE，若AB=3，AD=6，請直接寫出AE的長為__________.圖1722.（9分）如圖18，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，DF=BE，連接AF，CE.（1）求證：∠AFD=∠CEB；（2）點H，G分別是AF，CE上的點，若AH=CG，∠AEH+∠CEB=90°，試判斷四邊形HEGF的形狀，并證明你的結(jié)論.圖1823.（10分）如圖19，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于點D，點P是線段AD上任意一點（不與點A重合），過點P作EF∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，作PQ∥AC，交AB于點Q，連接QE與AD相交于點G.（1）求證：四邊形AEPQ是菱形；（2）四邊形EQBF是平行四邊形嗎？若是，請證明；若不是，請說明理由；（3）直接寫出點P在線段EF的何處位置時，菱形AQPE的面積為四邊形EQBF面積的一半.圖19附加題（20分，不計入總分）數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖①所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證.（以上材料來于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國數(shù)學》和《古代世界數(shù)學泰斗劉徽》）（1）請根據(jù)圖①完成這個推論的證明過程.證明：S矩形NFGD＝S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC-（+）.易知，S△ADC=S△ABC，＝，＝.所以S矩形NFGD＝S矩形EBMF.（2）如圖②，點P是矩形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF∥BC分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PA，PC.若PE＝5，DF＝4，求圖中陰影部分的面積.①②（河南劉振超）

第19章矩形、菱形與正方形自我評估（二）參考答案一、1.C2.D3.D4.B5.B6.A7.C8.A9.B10.A二、11.612.∠BAD=90°（答案不唯一）13.對角線相等的平行四邊形是矩形14.315.516.56三、17.證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A=AC=12，OB=BD=5.因為OA2+OB2=122+52=169，AB2=132=169.所以O(shè)A2+OB2=AB2.所以∠AOB=90°.所以AC⊥BD.所以?ABCD是菱形.18.證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADC=90°.又因為AE⊥DG，CF⊥DG，所以∠AED=∠DFC=90°.所以∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°.所以∠EAD=∠FDC.在△AED和△DFC中，∠AED=∠DFC，∠EAD=∠FDC，AD＝DC，所以△AED≌△DFC.所以AE=DF.19.解：設(shè)∠BAE=x，所以∠EAD=2x.因為四邊形ABCD是菱形，所以AB=AD，AD∥BC.所以∠AEB=∠EAD=2x.因為AE=AD，所以AB=AE.所以∠ABE=∠AEB=2x.在△ABE中，∠BAE+∠ABE+∠AEB=x+2x+2x=180°，解得x=36°.所以∠BAE的度數(shù)為36°.20.（1）證明：因為CE∥BD，DE∥AC，所以四邊形OCED是平行四邊形.在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD=OC，所以∠COD=90°.所以□OCED是正方形．（2）解：如圖1，連接EO并延長，交AB于點G，交CD于點H.由（1）知四邊形OCED是正方形，所以CD⊥OE.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD.所以EG⊥AB.因為AC=，所以AB2+BC2=2，即2AB2=2，AB=1.圖1所以AB=BC=CD=OE=1，GO=BC=0.5.圖1所以EG=OE+GO=1+0.5=1.5.所以點E到邊AB的距離為1.5.21.解：（1）因為MN是AC的垂直平分線，所以AO=CO，∠AOM=∠CON=90°.因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以∠M=∠N.在△AOM和△CON中，∠M=∠N，∠AOM=∠CON，AO=CO，所以△AOM≌△CON.（2）提示：因為MN是AC的垂直平分線，所以CE=AE.設(shè)AE=CE=x，則DE=6-x.因為四邊形ABCD是矩形，所以∠CDE=90°，CD=AB=3.在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即32+（6-x）2=x2，解得x=，即AE的長為.22.（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以∠D=∠B，AD=CB.在△ADF和△CBE中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△ADF≌△CBE.所以∠AFD=∠CEB.（2）四邊形HEGF是矩形.理由如下：因為四邊形ABCD是菱形，所以DC∥AB.所以∠DCE=∠CEB.因為∠AFD=∠CEB，所以∠AFD=∠DCE.所以AF∥CE.因為△ADF≌△CBE，所以AF=CE.因為AH=CG，所以AF-AH=CE-CG，即HF=GE.又HF∥GE，所以四邊形HEGF是平行四邊形.因為∠AEH+∠CEB=90°，所以∠HEG=90°.所以□HEGF是矩形.23.（1）證明：因為EF∥AB，PQ∥AC，所以∠QAP＝∠EPA，四邊形AEPQ是平行四邊形.因為AB＝AC，AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD.所以∠EAP＝∠EPA，所以EA＝EP.所以□AEPQ是菱形.（2）解：四邊形EQBF是平行四邊形.理由如下：因為四邊形AEPQ是菱形，所以AD⊥EQ，即∠AGQ＝90°.因為AB＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，即∠ADB＝90°.所以EQ∥BC.圖2又因為EF∥QB，所以四邊形EQBF是平行四邊形圖2（3）解：點P在EF的中點時，菱形AEPQ的面積為四邊形EQBF面積的一半.提示：如圖2，過點E作EN⊥AB于點N.當點P在EF的中點時，EP=FP=EF.由（2）得四邊形EQBF是平行四邊形，所以S菱形AEPQ=