外接球與內(nèi)切球問題解題技巧梳理

15/15外接球與內(nèi)切球問題解題技巧梳理外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合（2）推導(dǎo)過程：長方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑秒殺公式：（4）圖示過程秒殺公式：2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導(dǎo)過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過程3.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上（2）推導(dǎo)過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過程4.折疊模型使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊推導(dǎo)過程第一步：過兩個(gè)平面取其外心H1、H2，分別過兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計(jì)算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐（2）推導(dǎo)過程：第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O，取BC的中點(diǎn)為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過程6.麻花模型（1）使用范圍：對(duì)棱相等的三棱錐（2）推導(dǎo)過程：設(shè)3組對(duì)棱的長度分別為x、y、z,長方體的長寬高分別為a、b、c秒殺公式：圖示過程7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個(gè)平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導(dǎo)過程：根據(jù)球的定義可知一個(gè)點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過程鱷魚模型使用范圍：適用所有的棱錐推導(dǎo)過程：（3）秒殺公式：（4）圖示過程內(nèi)切球的半徑等體積法推導(dǎo)過程秒殺公式：圖示過程技巧1外接球之墻角模型【例1】已知長方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．球面上有四個(gè)點(diǎn)，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（）A． B． C． D．技巧2外接球之漢堡模型【例2】已知四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．2．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（）A．4π B．3π C．2π D．4π3．在長方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．4．（2020·全國高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為（）A． B． C． D．技巧3外接球之斗笠模型【例3】正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.2．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．技巧4外接球之折疊模型【例4】在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7π B．8π C． D．【舉一反三】1．已知二面角的大小為120°，且，，.若點(diǎn)P、A、B、C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為______.2．如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．π B．π C．π D．3π技巧5外接球之切瓜模型【例5】已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．技巧6外接球之麻花模型【例6】在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．技巧7外接球之矩形模型【例7】在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A． B． C． D．【舉一反三】1．四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知四面體滿足：，，則四面體外接球的表面積為_______.技巧8內(nèi)切球半徑【例8】正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積比為（）A． B． C． D．不確定【舉一反三】1．如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰13．正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．鞏固練習(xí)1．直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為（）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)P，A，B，C在同一個(gè)球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為（）A．6π B．8π C．12π D．16π5．四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．6．平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．張衡(78年~139年)是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家?文學(xué)家?數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段的最小值為，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為（）A．30 B． C． D．368．已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（）A． B． C． D．9．已知三棱柱(側(cè)棱底面，底面是正三角形)內(nèi)接于球O，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）A． B． C． D．10．在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A．10 B．20 C．24 D．3212．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形且，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．13．已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球?yàn)榍?，則外接球的表面積是__________．14．在三棱錐中，側(cè)棱底面且則該三棱錐的外接球的體積為__________．15．如圖所示，在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______.16．鱉臑（biēnào）出自《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個(gè)鱉臑，其中，，，且，過點(diǎn)B向AC引垂線，垂足為E，過E作CD的平行線，交AD于點(diǎn)F，連接BF．設(shè)三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．17．若體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在一球面上，則該球的體積為______.18．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中，，，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為___.19．在長方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.20．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積為________.21．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知某方錐各棱長均為2，則其內(nèi)切球的體積為______.22．已知在三棱錐中，，，，