第12講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（原卷版）

第12講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2.4【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運(yùn)用.【基礎(chǔ)知識(shí)】1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對(duì)稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當(dāng)△≥0且時(shí)，兩根同號(hào)．當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為正數(shù)；當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．②當(dāng)△＞0且時(shí)，兩根異號(hào)．當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大．要點(diǎn)：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例1．若、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A． B． C． D．例2．設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則的值是（

）A． B． C．2 D．4考點(diǎn)2：通過化簡、變形利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例3．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，若，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．例4．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024例5．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，則的值為（

）A．7 B．3 C．－5 D．9例6．已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則=（

）A． B．2 C． D．4例7．設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)3：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例8．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則m的值為（

）A．3或 B． C．3 D．2或例9．若關(guān)于的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則（

）A．3 B．1 C． D．例10．是方程的兩個(gè)實(shí)根，若恰成立，則的值為（

）A． B．或 C． D．或1考點(diǎn)4：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分析、判斷命題真假例11．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個(gè)正根B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值大C．兩個(gè)負(fù)根D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小例12．有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個(gè)結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號(hào)異號(hào)，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個(gè)根，那么一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是．其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)考點(diǎn)5：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系比較根的大小例13．設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．若，則（

）A． B． C． D．例14．關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，考點(diǎn)6：解答證明題例15．已知關(guān)于x的方程：．(1)求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，滿足，求a的值．例16．關(guān)于的一元二次方程：(1)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)若、是方程的兩根，且．求的值．例17．已知關(guān)于的方程(1)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值及相應(yīng)的．例18．閱讀下列材料并完成練習(xí)題：已知一元一次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和∵∴對(duì)比系數(shù)可得：，類比上面的證明方法：(1)如果一元三次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．例19．閱讀下列材料：韋達(dá)定理：若一元二次方程的兩根分別為．則，．閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過程：若一元二次方程的兩根分別為．求的值．解：該一元二次方程的判別式，由韋達(dá)定理可得：，，解答下列問題：(1)設(shè)方程的兩根分別為，不解方程，利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值；(2)若關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且，利用韋達(dá)定理求k的值．【真題演練】一、單選題1．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為，，若，則的值為（

）A． B． C．或3 D．或32．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的兩個(gè)根，則的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．123．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A． B． C．2 D．54．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A．-25 B．-24 C．35 D．365．（2014·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，則m的取值范圍是（）A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0二、填空題6．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)是方程的兩根，則______．7．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．8．（2022·四川眉山·中考真題）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為________．9．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為___________．三、解答題10．（2022·四川南充·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，若，求k的值．11．（2018·湖北孝感·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）試證明：無論取何值此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若原方程的兩根，滿足，求的值.12．（2017·湖北鄂州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出這樣的k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【過關(guān)檢測】一、單選題1．若是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（

）A． B． C． D．2．一元二次方程的兩個(gè)根為，則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．143．下列一元二次方程中，兩根均為負(fù)數(shù)的是(

)A． B．C． D．4．若、是一元二次方程的兩個(gè)根，且，那么這個(gè)一元二次方程是（

）A． B． C． D．5．若、是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則必有（

）A． B． C． D．6．已知一元二次方程的兩根為，則（

）A．0 B．1 C．2 D．7．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，則k=（

）A．1 B．-1C． D．8．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．69．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②；③，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)10．若四個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，，則的值為（

）A． B． C．2012 D．2011二、填空題11．設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且，則______．12．若、是一元二次方程的兩根，則的值是_______．13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0時(shí)，小明看錯(cuò)了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；小紅看錯(cuò)了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，則p＝________，q＝________．14．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為__．15．設(shè)一元二次方程x2－3x－1＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2(x22－3x2)＝____．16．已知關(guān)于x的一元二次方程的實(shí)數(shù)根，滿足，則m的取值范圍是_________．17．已知是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，則_____．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列結(jié)論：①若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；②若b＞a+c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③若b=2a+3c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若m是方程的一個(gè)根，則一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中結(jié)論正確的序號(hào)是__________．三、解答題19．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若m，n是方程的兩根，且，求k的值；20．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求m的值．21．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，求m的值．22．已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請(qǐng)求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．23．已知關(guān)于x的一元二次方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)從因式分解法可知，方程①也可轉(zhuǎn)化為②．把方程②的左邊展開化成一般形式后，可以得到方程①兩個(gè)根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：______，______；（用含k的式子表示）(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．規(guī)定：若（，m、n、p為有理數(shù)，為無理數(shù)）是一元二次方程（，a、b、c為有理數(shù)）的根，則也是該方程的根，稱是該方程的一對(duì)“共軛無理根”．(1)寫出一元二次方程的一對(duì)“共軛無理根”___________；(2)若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，求有理數(shù)b、c的值___________；(3)關(guān)于的一元二次方程（，a、b為有理數(shù)）的一對(duì)“共軛無理根”是．若（m、n為有理數(shù)），求代數(shù)式的值．25．閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則_________．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方