專題04 實數(shù)重難點及規(guī)律性探究基礎(chǔ)鞏固+技能提升（解析版）

專題04基礎(chǔ)鞏固+技能提升【基礎(chǔ)鞏固】1.（2021·山西晉城期末）下列說法錯誤的是（）A．中的可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零B．中的不可能是負(fù)數(shù)C．?dāng)?shù)的平方根一定有兩個，它們互為相反數(shù)D．?dāng)?shù)的立方根只有一個【答案】C.【解析】解：A.中的a可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，正確；B.中的a不可能是負(fù)數(shù)，正確；C.0的平方根只有一個0，原說法錯誤；D.數(shù)a的立方根只有一個，正確；故答案為：C．2．（2020·浙江月考）如圖所示，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】C.【解析】解：∵12.25＜14＜16，∴3.5＜＜4，∴在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是點P．故答案為：C．3．（2021·四川成都期末）如圖，數(shù)軸上有M，N，P，Q四點，則這四點中所表示的數(shù)最接近﹣的是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】B.【解析】解：∵9<10<16，∴3<<4，∴-4<-<-3觀察數(shù)軸，點N最接近，故答案為：B．4.（2021·江蘇無錫期末）給出下列四個說法：①一個數(shù)的平方等于1，那么這個數(shù)就是1；②4是8的算術(shù)平方根；③平方根等于它本身的數(shù)只有0；④8的立方根是±2．其中，正確的是（）A．①② B．①②③ C．②③ D．③【答案】D.【解析】解：①∵（±1）2＝1，∴一個數(shù)的平方等于1，那么這個數(shù)就是1，故①錯誤；②∵42＝16，∴4是16的算術(shù)平方根，故②錯誤，③平方根等于它本身的數(shù)只有0，故③正確，④8的立方根是2，故④錯誤．故答案為：D．5．（2020·河南南陽期末）下列命題錯誤的是（）A．4是16的算術(shù)平方根 B．2是4的一個平方根C．平方根等于它本身的數(shù)是0 D．的算術(shù)平方根是【答案】D.【解析】解：A.4是16的算術(shù)平方根，說法正確；B.2是4的一個平方根，說法正確；C.平方根等于它本身的數(shù)是0，說法正確；D.的算術(shù)平方根是，說法錯誤，故答案為：D．6．（2020·江蘇揚(yáng)州期末）2020年3月14日，是人類第一個“國際數(shù)學(xué)日”．這個節(jié)日的昵稱是“”．在古代，一個國家所算得的圓周率的精確程度，可以作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)與科技發(fā)展水平的一個主要標(biāo)志．我國南北朝時的祖沖之是世界上最早把圓周率的精確值計算到小數(shù)點后第7位的科學(xué)巨匠，該成果領(lǐng)先世界一千多年．以下對于圓周率的四個表述：①圓周率是一個有理數(shù)；②圓周率是一個無理數(shù)；③圓周率是一個與圓的大小有關(guān)的常數(shù)；④圓周率是一個與圓的大小無關(guān)的常數(shù)．其中表述正確的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】D.【解析】解：因為圓周率π是一個無理數(shù)，是一個與圓的大小無關(guān)的常數(shù)，它等于該圓的周長與直徑的比，所以表述正確的是：②④；故答案為：D.7．（2020·蘇州吳江區(qū)月考）若和互為相反數(shù)，則的值為________．【答案】-2.【解析】解：∵和互為相反數(shù)，∴+=0，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴=-2，故答案為：-2．8．（2020·浙江杭州期末）定義一種運(yùn)算：對于任意實數(shù)a，b，都有，則_________．【答案】5.【解析】解：∵a※b=（a-1）2+b2，∴原式==2+3=5，故答案為：5．9．（2021·廣東深圳期末）若一個正數(shù)m的兩個平方根分別是a-1和4-2a，則m的值為________．【答案】4.【解析】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是a-1和4-2a，∴a-1+4-2a=0，∴a=3，∴a-1=2，∴這個正數(shù)m的值是22=4，故答案為：4．10．（2021·北京月考）已知，，則__．【答案】-0.12639．11．（2020·吳江市月考）一個正數(shù)的平方根分別是和，則為___________．【答案】.【解析】解：根據(jù)題意，得：2m?1＋（）＝0，解得：m＝，故答案為：．12．（2021·廣東期末）下列說法：①無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；②滿足﹣＜x＜的x的整數(shù)有4個；③﹣3是的一個平方根；④不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；⑤不是有限小數(shù)的不是有理數(shù)；⑥對于任意實數(shù)a，都有＝a．其中正確的序號是_____．【答案】②③.【解析】解：①開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，但是有的數(shù)不開方也是無理數(shù)，如：π，故①不正確；②滿足﹣＜x＜的x的整數(shù)有﹣1，0，1，2共4個，故②正確；③﹣3是9的一個平方根，而＝9，故③正確；④π是無理數(shù)，不帶根號的數(shù)也不一定是有理數(shù)，故④不正確；⑤無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，故⑤不正確；⑥若a＜0，則＝|a|＝﹣a，故⑥不正確；正確的結(jié)論有：②③，故答案為：②③．13．（2021·浙江溫州期末）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．【答案】15．【解析】解：∵輸入的x為，是無理數(shù)，∴以x為邊長的正方形的面積是：，故答案為：15．14．（2021·四川宜賓期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的時，輸出的等于__________．【答案】.【解析】解：∵=3，3是有理數(shù)，需要繼續(xù)轉(zhuǎn)換，3取算術(shù)平方根為，∵是無理數(shù)，∴符合題意，故答案為：．15．（2019·渠縣月考）將1、、、按如圖方式排列．若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個數(shù)，則（15，7）表示的數(shù)是____．【答案】.【解析】解：（15，7）表示第15排從左往右數(shù)的第7個數(shù)，由圖可得：1、、、四個數(shù)一循環(huán)，從第1個數(shù)起至（15,7）共有1+2+3+……+14+7=112個數(shù)，112÷4=28，故第112個數(shù)為，即（15，7）表示的數(shù)是，故答案為：．16．（2019·成都月考）已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡：______．【答案】-a+c+b.【解析】解：由題意知，b<a<0<c，a+b<0，c-a>0原式=|a|+|c-a|-|a+b|=-a+c-a-(-a-b)=-a+c+b故答案為：-a+c+b．17．（2020·重慶月考）如圖，實數(shù)、在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為、，則_______________．【答案】1-a.【解析】解：由題意知，a<b，b-1<0，原式=b-a+1-b=1-a故答案為：1-a．18．（2020·蘇州吳江區(qū)月考）求下列各式中x的值．（1）（2）【答案】（1）x=-1；（2）x=4或x=-2【解析】解：（1）2x=-2x=-1（2）3（x-1）2=27，（x-1）2=9x-1=3或x-1=-3∴x=4或x=-2．19．計算：【答案】.【解析】解：==.20．（2021·江蘇鹽城期末）已知某正數(shù)的兩個不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根為﹣3；c是?的整數(shù)部分；（1）求a+b+c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．【答案】（1）-33；（2）±7.【解析】解：（1）∵某正數(shù)的兩個平方根分別是3a-14和a+2，∴（3a-14）+（a+2）=0，∴a=3，∵b+11的立方根為-3，∴b+11=(-3)3=-27，∴b=-38，∵4<6<9，∴，∵c是的整數(shù)部分，∴c=2；∴a+b+c=3+(-38)+2=-33；（2）當(dāng)a=3，b=-38，c=2時，3a-b+c=3×3-(-38)+2=49，∴3a-b+c的平方根是±7．21．已知的平方根是，的算術(shù)平方根是6，求的平方根．【答案】±7.【解析】解：根據(jù)題意，得2a-1=17，3a+b-1=36，∴a=9，b=10故a+4b=49∴a+4b的平方根是±7．22．（2021·江蘇泰州市期末）已知2x＋3的算術(shù)平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．【答案】±9.【解析】解：由題意得：2x+3=25，5x+y+2=27∴x=11，y=-30∴x﹣2y＋10＝81，故x﹣2y＋10的平方根為：．23．（2021·河北邯鄲期末）閱讀材料：圖中是嘉淇同學(xué)的作業(yè)，老師看了后，問道：“嘉淇同學(xué)，你標(biāo)在數(shù)軸上的兩個點對應(yīng)題中的兩個無理數(shù)，是嗎？”嘉淇點點頭老師又說：“你這兩個無理數(shù)對應(yīng)的點找的非常準(zhǔn)確，遺憾的是沒有完成全部解答．”請你幫嘉淇同學(xué)完成本次作業(yè)．請把實數(shù)0，，，，1表示在數(shù)軸上，并比較它們的大小（用號連接）．解：【答案】．【解析】解：根據(jù)題意，在數(shù)軸上分別表示各數(shù)如下：∴．24．（2020·江蘇徐州月考）如圖，數(shù)軸上點A，B，C所對應(yīng)的實數(shù)分別為a，b，c，試化簡．【答案】2a-c.【解析】解：由數(shù)軸得a<b<0<c，∴a-c<0，a+b<0，∴=-b-（c-a）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.【拓展提升】1.（2021·湖南懷化月考）規(guī)定用符號表示一個實數(shù)的整數(shù)部分，如，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B.【解析】解：∵∴即故答案為：B．2．（2021·江蘇揚(yáng)州期末）淇淇和嘉嘉想玩?zhèn)€數(shù)學(xué)游戲，他們的對話內(nèi)容所示，下列選項錯誤的是（）淇淇：嘉嘉，咱們玩兒一個數(shù)學(xué)游戲好嗎？嘉嘉：好?。⊥鎯菏裁从螒?？淇淇：在444=6等號的左邊添加適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算符號，使等式成立A． B． C． D．【答案】D.【解析】解：A：，計算正確；B：，計算正確；C：，計算正確；D：，計算不正確；故答案為：D．3．（2020·東北師大附中期中）若規(guī)定，f（x）表示最接近x的整數(shù)（x≠n+0.5，n整數(shù)）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，則f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D.【解析】解：由f（x）表示的意義可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，f（）＝2，f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，故答案為：D．4．對于兩個不相等的有理數(shù)，，我們規(guī)定符號表示，兩數(shù)中較大的數(shù)，例如.則方程的解為（）A．-1 B．-2 C．-1或-2 D．1或2【答案】A.【解析】解：①當(dāng)x>0時，即x>-x，則max，解得：x=-2，不符合題意舍去．②當(dāng)x<0時，即x<-xmax，解得：x=-1，符合題意故答案為：A．5．（2020·廣東深圳市月考）下列說法：①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；②與是互為相反數(shù)；③實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系；④兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)．其中錯誤的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B.【解析】解：①帶根號的數(shù)是無理數(shù)，判斷錯誤；②與是互為相反數(shù)，判斷正確；③實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系，判斷正確；④兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)，判斷錯誤；所以錯誤的有兩個命題．故答案為：B.6．（2021·河南鄭州月考）與－2最接近的整數(shù)是__________．【答案】2.【解析】解：，得，∴，故最接近的整數(shù)是2，故答案為：2．7．（2021·北京模擬）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則__．【答案】．【解析】解：∵，∴a=8，b=-8，∴2a-b=16-（-8）=24-故答案為：24-．8．（2021·四川成都期末）兩個數(shù)a與2在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離為3，已知b2＝4，且a＜b，則a﹣b的值為_____．【答案】-3．【解析】解：∵b2＝4，∴b=±2，∵a與2在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離為3，當(dāng)a在2左側(cè)時，a=-1，當(dāng)a在2右側(cè)時，a=5，∵a＜b，∴a=-1，b=2，a﹣b=-1-2=-3故答案為：-3．9．（2021·江西贛州期末）對于任意非零實數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：“”，則的值為__________．【答案】.【解析】解：根據(jù)題意，∵“”，∴，，……，∴=====．故答案為：．10．（2021·南京外國語學(xué)校七年級期末）對于正整數(shù)n，定義其中表示n的首位數(shù)字?末位數(shù)字的平方和．例如：，．規(guī)定，．例如：，．按此定義_____．【答案】145.【解析】解：F1（4）=16，F(xiàn)2（4）=F（16）=37，F(xiàn)3（4）=F（37）=58，F(xiàn)4（4）=F（58）=89，F(xiàn)5（4）=F（89）=145，F(xiàn)6（4）=F（145）=26，F(xiàn)7（4）=F（26）=40，F(xiàn)8（4）=F（40）=16，……通過計算發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)1（4）=F8（4），∴2021÷7=288……5，∴=145；故答案為：145．11．（2021·北京通州期末）給出下列對應(yīng)的表格：a0.00010.011100100000.010.1110100利用表格中的規(guī)律計算：已知，，，那么=_______．（用含k的代數(shù)式表示）【答案】10.1k.【解析】解：被開方數(shù)小數(shù)點向左或向右每移兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向左或向右移一位；，，∴m=，n=10k．∴m+n=0.1k+10k=10.1k．故答案為：10.1k．12．（2020·浙江杭州期中）小燕在測量鉛球的半徑時，先將鉛球完全浸沒在一個帶刻度的圓柱形小水桶中，拿出鉛球時，小燕發(fā)現(xiàn)小水桶中的水面下降了，小燕量得小水桶的直徑為，于是她就算出了鉛球的半徑．你知道她是如何計算的嗎？請求出鉛球的半徑．（球的體積公式，r為球的半徑．）【答案】3cm．【解析】解：設(shè)球的半徑為r，∵小水桶的直徑為12cm，水面下降了1cm，∴小水桶的半徑為6cm，∴下降的水的體積是π×62×1=36π(cm3)，即，解得：r=3即鉛球的半徑是3cm．13．（2021·長沙期末）已知：的立方根是，的算術(shù)平方根3，是的整數(shù)部分．（1）求的值；（2）求的平方根．【答案】見解析．【解析】解：（1）由題得：3a+1=-8，2b-1=9∴a=-3，b=5∵36<43<49∴6<<7，故c=6.（2）原式=2×（-3）-5+×6=1616的平方根為．14．（2021·湖南懷化）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上的乘客閱讀的雜志上有道智力題，求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙．你知道怎樣迅速的計算結(jié)果嗎？請你按下面的結(jié)果試一試．第一步：，，它的立方根是一個兩位數(shù)．第二步：的個位數(shù)是9，．能確定的個位數(shù)是9．第三步：如果劃出59319后面的三位數(shù)，得到數(shù)59而，可得．由此確定59319的立方根的十位數(shù)是3，它的立方根是39．[解答問題]根據(jù)上面的材料解答下面的問題：（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：______．【答案】（1）48；（2）44．【解析】解：（1）第一步：，，，∴，∴能確定110592的立方根是個兩位數(shù)．第二步：∵110592的個位數(shù)是2，，∴能確定110592的立方根的個位數(shù)是8．第三步：如果劃去110592后面的三位592得到數(shù)110，而，則，可得，由此能確定110592的立方根的十位數(shù)是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：∵，，，∴，∴能確定851