初二數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題綜合檢測(cè)試卷(一)

初二數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題綜合檢測(cè)試卷（一）2．已知△ABC是等邊三角形，△ADE的頂點(diǎn)D在邊BC上（1）如圖1，若AD＝DE，∠AED＝60°，求∠ACE的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AE＝AC，∠EAC＝90°，連CE，求證：CE＝2BF；（3）如圖3，若點(diǎn)D為BC的一動(dòng)點(diǎn)，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，已知△ABC的面積為4，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABE的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其面積；若變化請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知點(diǎn)A在x軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊OAB，A(x，0)，其中x是方程的解．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊ACD，連DB并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E，求的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)F為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在點(diǎn)A的右邊，連接FB，以FB為邊在第一象限內(nèi)作等邊FBG，連GA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．3．如圖，已知CD是線段AB的垂直平分線，垂足為D，C在D點(diǎn)上方，∠BAC=30°，P是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，E是射線AC上除A點(diǎn)外的一點(diǎn)，PB=PE，連BE．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖2，若P在C點(diǎn)上方，求證：PD+AC=CE；（3）若AC=6，CE=2，則PD的值為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．4．（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（3）類(lèi)比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．5．如圖，中，，．（1）如圖1，，，求證：；（2）如圖2，，，請(qǐng)直接用幾何語(yǔ)言寫(xiě)出、的位置關(guān)系____________；（3）證明（2）中的結(jié)論．6．已知，．（1）若，作，點(diǎn)在內(nèi)．①如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為；②如圖2，垂直平分，點(diǎn)在上，，求的值；（2）如圖3，若，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的度數(shù)．7．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且．(1)如圖甲，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：(2)如圖乙，若點(diǎn)不的中點(diǎn)，是否成立?證明你的結(jié)論．(3)如圖丙，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，試判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，，且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若BC交y軸于點(diǎn)M，AB交x軸與點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F，請(qǐng)?zhí)骄烤€段MN，ME，NF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若在點(diǎn)B處有一個(gè)等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，連接AG，點(diǎn)H為AG的中點(diǎn)，試猜想線段DH與線段CH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【參考答案】2．（1）60°；（2）見(jiàn)解析；（3）不變，【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由題意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CF解析：（1）60°；（2）見(jiàn)解析；（3）不變，【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由題意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=90°，利用直角三角形中30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，即可得證；（3）延長(zhǎng)AE至F，使EF=AE，連DF、CF，先證明△ADF是等邊三角形，然后證明△EGF≌△EHA，結(jié)合HG是定值，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵AD＝DE，∠AED＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴，即，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=60°；（2）連CF，如圖：∵AB=AC=AE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BAC=60°，∠EAC=90°，∴∠BAE=150°，∴∠AEB=∠ABE=15°；∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC=45°，∴∠BEC=30°，∠EBC=45°，∵AD垂直平分BC，點(diǎn)F在AD上，∴CF=BF，∴∠FCB=∠EBC=45°，∴∠CFE=90°，在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，∴CE=2CF=2BF；（3）延長(zhǎng)AE至F，使EF=AE，連DF、CF，如圖：∵∠AED＝90°，EF=AE，∴DE是中線，也是高，∴△ADF是等腰三角形，∵∠ADE＝30°，∴∠DAE=60°，∴△ADF是等邊三角形；由（1）同理可求∠ACF=∠ABC=60°，∴∠ACF=∠BAC=60°，∴CF∥AB，過(guò)E作EG⊥CF于G，延長(zhǎng)GE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證△EGF≌△EHA，∴EH=EG=HG，∵HG是兩平行線之間的距離，是定值，∴S△ABE＝S△ABC＝；【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．3．（1）；（2）；（3）的值是定值，9．【分析】（1）先求出方程的解為，即可求解；（2）由“SAS”可證△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四邊形內(nèi)角和定理可求解；（3）解析：（1）；（2）；（3）的值是定值，9．【分析】（1）先求出方程的解為，即可求解；（2）由“SAS”可證△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四邊形內(nèi)角和定理可求解；（3）由“SAS”可證△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．【詳解】解：（1）∵是方程的解．解得：，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，，∴是原方程的解，∴點(diǎn)；（2）∵△ACD，△ABO是等邊三角形，∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，∴△CAO≌△DAB（SAS）∴∠DBA＝∠COA＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠AOE＋∠ABE＋∠OAB＋∠BEO＝360°，∴∠BEO＝120°；（3）GH?AF的值是定值，理由如下：∵△ABC，△BFG是等邊三角形，∴BO＝AB＝AO＝3，F(xiàn)B＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，∴△ABG≌△OBF（SAS），∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，∴AG＝OF＝OA＋AF＝3＋AF，∵∠OAH＝180°?∠OAB?∠BAG，∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，∴AH＝6，∴GH?AF＝AH＋AG?AF＝6＋3＋AF?AF＝9．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．4．（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，見(jiàn)解析；（3）1【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：△BPE為等邊三角形，則∠CBE=60°，故∠ABE=90°；解析：（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，見(jiàn)解析；（3）1【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：△BPE為等邊三角形，則∠CBE=60°，故∠ABE=90°；（2）如圖2，過(guò)P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，構(gòu)造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（3）分三種情況討論，根據(jù)（2）的解題思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，將數(shù)值代入求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，CD是線段AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°，∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°，∵PB=PE，∴△BPE為等邊三角形，∴∠CBE=60°，∴∠ABE=90°；（2）如圖2，過(guò)P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，∵CD垂直平分AB，∴CA=CB，∵∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD=60°，∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°，∴∠GPC=∠HPC=30°，∴PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，在Rt△PGB和Rt△PHE中，，∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．∴BG=EH，即CB+CG=CE-CH，∴CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，又∵CB=AC，∴CP=PD-CD=PD-AC，∴PD+AC=CE；（3）①當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，由（2）得：PD=CE-AC，當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=2-3=-1，不符合題意；②當(dāng)P在線段CD上時(shí)，如圖3，過(guò)P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC于G，此時(shí)Rt△PGB≌Rt△PHE（HL），∴BG=EH，即CB-CG=CE+CH，∴CB-CP=CE+CP，即CP=CB-CE，又∵CB=AC，∴PD=CD-CP=AC-CB+CE，∴PD=CE-AC．當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=2-3=-1，不符合題意；③當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，如圖4，同理，PD=AC-CE，當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=3-2=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，綜合運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題時(shí)，注意要分類(lèi)討論．5．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；6．（1）見(jiàn)解析；（2）⊥；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)解析：（1）見(jiàn)解析；（2）⊥；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)合圖形可猜想：⊥；（3）如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長(zhǎng)FD交CP于點(diǎn)P，先證明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后證明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，進(jìn)一步即可推出∠4+∠2=90°，問(wèn)題得證．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∵，∴∠DAC+∠BAE=90°，∴∠ACD=∠BAE，在△DAC和△EBA中，∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，∴（AAS）；（2）結(jié)合圖形可得：⊥；故答案為：⊥；（3）證明：如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長(zhǎng)FD交CP于點(diǎn)P，∵AF=CE，∴AE=CF，∵，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠FCP=90°，∴△BAE≌△FCP，∴∠3=∠P，AB=CP，∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠PCP=90°，AB=CP，∴∠FCD=45°，AC=PC，∴∠ACB=∠PCD，∵CD=CD，∴△ACD≌△PCD，∴∠4=∠P，∵∠3=∠P，∴∠3=∠4，∵∠3+∠2=90°，∴∠4+∠2=90°，∴∠AGE=90°，即⊥．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接，得，，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質(zhì)計(jì)算可得；②構(gòu)造“一線三垂直”模型，證解析：（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接，得，，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質(zhì)計(jì)算可得；②構(gòu)造“一線三垂直”模型，證明三角形，利用面積比等于等高的三角形的底邊的比，結(jié)合已知條件即可解得．（2）構(gòu)造等邊，通過(guò)證明，等邊代換，得出等腰三角形，代入角度計(jì)算即得．【詳解】（1）①連接ＡＥ，在，因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．②過(guò)Ｃ作交ＤＦ延長(zhǎng)線于Ｇ，連接ＡＥＡＤ垂直平分ＢＥ，，，，，故答案為：；（2）以AB向下構(gòu)造等邊，連接DK，延長(zhǎng)AD，BK交于點(diǎn)T，，，，，，，等邊中，，，，，在和中，，等邊三角形三線合一可知，BD是邊AK的垂直平分線，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形的方法證明全等，全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用很關(guān)鍵，熟記幾何圖形的性質(zhì)和判定是解決圖形問(wèn)題的重要方法依據(jù)．8．（1）詳見(jiàn)解析；（2）成立，理由詳見(jiàn)解析；（3），證明詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)即可求得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)BD=DE即可解題；（2）過(guò)D作DF∥BC，交AB于F，解析：（1）詳見(jiàn)解析；（2）成立，理由詳見(jiàn)解析；（3），證明詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)即可求得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)BD=DE即可解題；（2）過(guò)D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DP∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，證明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．【詳解】證明:是等邊三角形，為中點(diǎn)，，,;(2)成立，如圖乙，過(guò)作，交于,則是等邊三角形，，，，，在和中，即如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),是等邊三角形，也是等邊三角形，,，在和中，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．9．（1）（2），見(jiàn)解析（3）且，見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于點(diǎn)T，根點(diǎn)B作BH⊥CT交CT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．證明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝解析：（1）（2），見(jiàn)解析（3）且，見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于點(diǎn)T，根點(diǎn)B作BH⊥CT交CT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．證明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：MN＝ME+NF．證明△BFN≌△BEK（SAS），推出BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，再證明△BMN≌△BMK（SAS），推出MN＝MK，可得結(jié)論；（3）結(jié)論：DH＝CH，DH⊥CH．如圖3中，延長(zhǎng)DH到J，使得HJ＝DH，連接AJ，CJ，延長(zhǎng)DG交AC于點(diǎn)M．證明△JDC是等腰直角三角形，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥y軸于點(diǎn)T，根點(diǎn)B作BH⊥CT交CT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．∵A（0，4），C（﹣2，﹣2），∴OA＝4，OT＝CT＝2，∴AT＝4+2＝6，∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°